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Unidade 3 Teoria de carteira 1 Modelo de Markowitz e a Fronteira eficiente 2. O Modelo simplificado de Sharpe (1963) 3. Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M. . Unidade teórica 3 . . O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios?

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Unidade teórica 3

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Unidade te rica 3

Unidade 3Teoria de carteira 1 Modelo de Markowitz e a Fronteira eficiente2. O Modelo simplificado de Sharpe (1963)3. Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M.

Economia Financeira MEMBF/MEIE


Unidade te rica 3

Unidade teórica 3

. O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios?

. Como modelizar a eficiência ?

. Razões de simplificação do modelo

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Unidade te rica 3

  • Eugene F. Fama e Merton H. Miller The Theory of Finance (Hinsdale, Illinois: Dryden Press, 1972) Chapter 7.

  • Harry Markowitz, Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1. (Mar., 1952), pp. 77-91.

    • Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance 19(Sept. 1964): 425-42.

    • Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review of Economics and Statistics 47(Feb. 1965): 13-37.

  • Black, Fisher, Machael C. Jensen, and Mayron S. Scholes (1972) The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Test. In Michael C. Jensen (ed.)

  • Studies in the Theory of Capital Markets. New York: Praeger. 79–121.

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Conceitos estat sticos de apoio teoria de carteira

Conceitos estatísticos de apoio à teoria de carteira

  • Rentabilidade do ativo j no estado de natureza S:

    rjs = (Ws – W0) / W0

  • Variância do activo j :

    σ2j = ∑sαs[rjs- E(rj)]2

  • Desvio padrão do activo j :

    σj = √σ2j

  • Covariancia da rentabilidade do activo i’ com a rentabilidade do activo j:

    Cov(ri, rj)= E[(ris- E(ri)) (rjs- E(rj))]

    =∑sαs[ris- E(ri)] [rjs- E(rj)]

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Conceitos estat sticos de apoio teoria de carteira1

Conceitos estatísticos de apoio à teoria de carteira

  • Correlação da rentabilidade do do activo i’ com a rentabilidade do activo j :

    ρij = Cov(ri, rj) / (σiσj)

    -1 ≤ ρij ≤ 1

    Quando ρij = 1 => i e j têm uma correlação perfeita e positiva

    When ρij = -1 => i e j têm uma correlação perfeita e negativa.

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Matem tica da fronteira de um portef lio o modelo de markowitz 1959

MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MODELO DE MARKOWITZ (1959)

  • HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ:

  • HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS

    H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O retorno de um activo financeiro para um período futuro é consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal.

    H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de uma forma independente uns de outros.

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Hip teses relativas ao comportamento dos investidores

Hipóteses relativas ao comportamento dos investidores

  • H3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos)

  • H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas.

  • H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só período.

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Fronteira eficiente

FRONTEIRA EFICIENTE

  • 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes)

  • 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do investidor.

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Segunda fase

Segunda Fase

  • Temos de ter em conta as funções de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença)

  • A fronteira de eficiência (dado objectivo)

  • Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença.

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Fronteira de efici ncia

Fronteira de eficiência

  • A fronteira de eficiência deriva da maximização de um retorno esperado dado um determinado risco.

  • Se não existir nenhum activo sem risco , a fornteira de eficiência será a metade mais elevada da fronteira com um mínimo de variância.

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Fronteira do portefolio

Fronteira do Portefolio

R Retornos do portfolio : wT R

Variância do Portfolio : wT Ω w

3

2

6

1

4

5

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Unidade te rica 3

  • Matematicamente, a técnica de Markowitzpara o cálculodafronteira de eficiência, resultanamaximização do declive (rácio de Sharpe) dalinha de transformaçãosujeito a umarestriçãoque a soma dos ponderadores é igual a um.

  • Assim, escolher um óptimo de Xi de modo a

  • SubstituíndoporRp e p o problemaresultaemescolher Xi de modo a

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Unidade te rica 3

  • Dá-nos N condições de 1ª ordem

  • Desdequeosretornos, variâncias e co-variânciassejamconhecidas, as condições de 1ª ordempodemsercalculadasemóptimasproporções de

    Zi e entãoparaponderaçõesóptimas de Xi.

    Zi é a quantidadeinvestidaemactivos com risco.

    Se Zi é inferior á unidade (1- Zi)seráinvestidonosactivossemrisco (lenders).

  • Se Zi é maiorque a unidade (1- Zi)seráinvestido no activosemrisco (borrowers).

  • Uma vezque as ponderaçõesóptimassãoconhecidas, o retornoesperado e o risco do portefólioóptimopodemsercalculados

  • O rácio de Sharpe para o portfolio P podeigualmentesercalculado.

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  • Cuthbertson eNitzsche (2001) reescrevem a equação (3) em forma matricial. Assumindo haver três activos :

  • Onde  é a matriz das variâncias-covariâncias dos retornos dos activos, z é um vector coluna de proporções óptimas e e um vector coluna do excesso dos retornos.

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  • A solução é dada por

  • As ponderações óptimas , Xi, são calculadas como atrás.

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Efici ncia segundo markowitz baseado na m dia e na vari ncia

Eficiênciasegundo Markowitz – baseadonamédia e navariância

Considere N activos num portfolio e as seguintes notações :

w=[w1 . . . wN]

Vector de ponderações

Matriz das variâncias-covariâncias

R=[R1 . . . RN]

Vector de retornos

1=[11 . . . 1N]

Vector unitário

wT Ω w

Variância do portfólio

wT R

Retorno do portfólio

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Efficiencia segundo markowitz m dia var

Efficiencia segundo Markowitz (Média-Var)

Para encontrar a fronteira de eficiência

s.a.

1=1T w

min wT Ω w

r=RT w

w

Optimização :

1

min wT Ω w + (1-1T w) + (r-RT w)

2

w

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Unidade te rica 3

FOC :

Eq. 1 : Ωw=1 + R

Eq. 1a :w=Ω-11 + Ω-1 R

Multiplicando equação 1 por 1T e RT :

Eq. 1b :1=a  +b 

Eq. 1c : r=b  +c 

onde : a=1T Ω-11, b=1T Ω-1R, c=RT Ω-1R

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Resolvendo em ordem a  e  nas equações 1b e 1c, e substituindo na eq 1a, obtem-se :

w=v1+v2 r

V1 e v2 são dois vectores fixos.

Por outro lado, qualquer combinação convexa de portfolios eficientes é também um portfolio eficiente.

O portfolio de mercado não é mais do que uma combinação ponderada de portfólios, e que,por sua vez também é eficiente.

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Modelo simplificado de sharpe

Modelo simplificado de Sharpe

  • Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959)

  • Conhecimento da matriz das co-varâncias

  • Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente:

  • Ři = αi + βiĨ + ũi

  • Ĩ = αn+1+ vn+1

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O papel do activo sem risco no modelo

O papel do activo sem risco no modelo

  • O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de representação porque diferentes investidores têm assumpções diferentes quanto ao risco. A introdução do activo sem risco resolve esta ambiguidade.

    • O activo sem risco reduz o número potencial de portfolios eficientes a um único portfolio.

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mp

rp

rf

sp

sp

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Fronteira de efici ncia onde existe um activo sem risco

Fronteira de eficiência onde existe um activo sem risco

  • Capital Market Line:

  • A fronteira de eficiência é encontrada pelo ponto de tangência da recta que passa pelo activo sem risco e a fronteira.

Retorno

B

A

FEM

RF

Risco

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Unidade te rica 3

  • Dentro deste equilíbrio, existe apenas um portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão ao risco pode ser retratado no modelo através de uma combinação de um portfolio simples e eficiente e um emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending) à taxa sem risco.

  • Considerando que o “portfolio índice” é o portfolio de mercado eficiente, ter-se-á:

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Unidade te rica 3

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Avalia o de activos financeiros modelos c a p m e a p t

Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T.

  • Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)

  • SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.

  • CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line.

  • APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos activos financeiros são função lineares de mais do que um factor

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Vers es do capm

Versões do CAPM

E[Zi]=i + ßi (E[Zm])

Sharpe-Lintner :

Este activo assume a presença de um

Activo sem risco

E[Ri]= i + ßi (E[Rm])

Black :

Este modelo trata a taxa sem risco como uma variável

aleatória

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Problema de minimiza o

Problema de minimização

  • Black version

  • Sharpe-Lintner (com activo sem risco)

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Sharpe Model

  • Regressão de Zit sobre Zmt

  • Hipótese nula :

    Versão de Black

  • Regressão

  • Hipótese nula α = (i-β)γ

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Modelo de sharpe lintner

Modelo de Sharpe-Lintner

  • A solução de Sharpe-Lintner é uma fronteira de eficiência.

  • Esta fronteira de eficiência combina uma posição longa no portfolio de mercado com um activo sem risco adquirido em situação de “lending” ou “borrowing”

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Black capm

Black CAPM

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Como testar o capm

Como testar o CAPM?

  • A intercepção é zero

  • Beta captura completamente a variação dos retornos em excesso.

  • O prémio de mercado é positivo.

Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo de excesso de retorno

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Testes sobre a intercept

Testes sobre a “intercept”

Sharpe-Lintner :

E[Zi]= i + ßi (E[Zm])

Testar se i = 0

Black :

E[Ri]= i + ßi (E[Rm])

Testar se

i = (1-ßi) E[R0]

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Zero beta capm

Zero-Beta CAPM

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R cio de sharpe

Rácio de Sharpe

Dada uma tangente a, e um portfolio de mercado m :

A diferença ra - rm dá-nos uma medida da ineficiência de m

a

m

rf

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Exemplo

Exemplo

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  • Precisamos de calcular as co variãncias ij=iji j.

  • Substituimos os valores nas três equ (3) que traduzem as condições de 1ª ordem.

  • Obtemos

  • Var AIB covar AIB BOI covar AIB CRH

  • Var BOI covarboi CRH

  • Var CRH

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(7)

  • Lewis (1998) no “ NBER Working Paper No. 6351” assume que

    • A utilidade do investidor depende do retorno esperado e do risco .

    • Os investidores maximizam a sua utilidade sujeita à linha de transformação óptima.

    • A solução óptima é o ponto de tangência das curvas de indiferença do investidor a linha de trasnformação e pode-se interpretar as proporções óptimas, z, como a quantidade de fundos investidos nos activos com risco.

  • A solução será

  • Onde RRA é o coeficiente de aversão relativa ao risco.

  • Quanto menor uma pessoa for avessa ao risco, mais longe é o ponto de intersecção da linha de transformação com a curva de indiferença do investidor no seu ponto de tangência, i.e. z é maior.

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Medidas de performance baseadas no apt

Medidas de Performance baseadas no APT

  • Modelo de dois factores

  • Nota:A medida é semelhante ao índice de Jensen Index:

  • .αj= Ri- (rf+βiM(RM-rf))

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Em forma de matriz 7 fica

Em forma de matriz (7) fica

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Unidade te rica 3

  • Suponha que A tem um coeficiente RRA=1 então as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a Zi como

  • Suponha que o investidor B tem menos aversão ao risco e tem um coeficiente de RRA=0.2 então as condições de 1ª ordem podem ser calculadas em relação a Zi como

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Unidade te rica 3

  • Se ambos os investidores tiverem as mesmas expectativas sobre os retornos esperados, desvios padrão dos retornos e correlações entre os retornos, então as mesmas condições de 1ª ordem podem podem ser resolvidas para as mesmas ponderações óptimas Xi.

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  • O valor esperado do retorno é dado por

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  • O risco esperado é dado por

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  • A equação da linha de transnformação que passa pelo portfolio P é dado por

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  • Os retornos esperados dos portfolios A e B são dados por

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  • Graficamente

Returno

P

14.67%

5%

Risco

5.82%

  • Onde se localizam os portfolios A e B?

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  • O risco esperado dos portfolios A e B é dado por

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  • Graficamente

Retorno

18.81%

B(-43%,143%)

P

14.67%

7.76%

A(71%,29%)

5%

Risco

1.66%

5.82%

8.29%

  • A é menos avesso ao risco que B.

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Exemplo 2 ativos com risco

Exemplo: 2 ativos com risco

  • Considere 2 ativos com risco (x e y) que deverá escolher , sendo ambos normalmente distribuídos.

    rx~ N(E(rx), σ2x) & ry~ N(E(ry), σ2y)

  • Vai afetar a do seu rendimento em x, b em y.

  • a + b = 1

  • Rentabilidade esperada do portefólio :

    E(rp) = E[arx + bry]=aE(rx)+ bE(ry)


Exemplo dois ativos com risco

Exemplo : doisativos com risco

  • rx~ N(E(rx), σ2x) & ry~ N(E(ry), σ2y)

  • Variância do Portefolio :

    σ2p= E[rp - E(rp)]2

    = E[(arx + bry)-E[arx + bry]]2

    = E[(arx- aE[rx])+(bry - bE[bry])]2

    = E[a2(rx- E[rx])2 + b2(ry - E[ry])2 + 2ab(rx- E[rx])(ry - E[ry])]

    = a2 σ2x + b2 σ2y + 2abCov(rx, ry)

    = a2 σ2x + b2 σ2y + 2abCov(rx, ry)

    σ2p = a2 σ2x + b2 σ2y + 2abσxσyρxy

    σp = √(a2 σ2x + b2 σ2y + 2abσxσyρxy)


Exemplo dois ativos com risco1

Exemplo : doisativos com risco

σp = √(a2 σ2x + b2 σ2y + 2abσxσyρxy)

σp aumenta assim que ρxy aumenta.

Implicação: dado a (e b), se ρxy for mais pequeno , a variância do portefólio será também menor.

Diversificação: Se se quiser manter a rentabilidade esperada a um determinado nível com risco menor de exposição. Iincluir outro ativo com rentabilidade esperada semelhante mas com elevada correlação negativa com o outro ativo.


Unidade te rica 3

TPC

  • Considere um portefólio constituído por quatro acções:

    1 a. Calcule a rentabilidade esperada do portfólio

    1 b. Calcule a co-variância de cada uma das acções com o portefólio

    1 c. Calcule a variância e o desvio padrão do portefólio

    1 d. Determine o Beta de cada uma das acções do portfólio. Comente os valores obtidos.

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Conclus o

CONCLUSÃO

  • Os modelos de portefólio partem do principio de não independencia entre os retornos dos activos de um portefólio (Matriz das co-variâncias).

  • Todos os activos se encontram relacionados a um factor.

  • O modelo de Sharpe assumiu esse factor como o excesso do portefólio de mercado em relação ao activo sem risco.

  • Um portefólio eficiente obedece ao princípio de diversificação (a ver na unidade 4…)

  • Validações empíricas aos modelos CAPM têm surgido com testes à eficiência do mercado e à capacidade de fazer melhor ainda que o portefólio de mercado ….(a ver na unidade 4…)

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