COURS DE thermodynamique (Module En 21)

2 COURS DE thermodynamique (Module En 21) Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

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2 Un même système peut se trouver dans des états différents (exemple : un gaz plus ou moins comprimé par un piston) . Ces états sont alors caractérisés par des paramètres ou des grandeurs : les variables d’état. La température T d’un gaz ou d’un liquide, la pression Pqu’un fluide exerce sur les parois du récipient qui le contient, le volumeV qu’il occupe dans l’espace , la densité ρ … sont des paramètres thermodynamiques caractérisant l’état du fluide. On distinguera les variables extensives (elles dépendent de la masse et ont donc des propriétés additives, par exemple, V, m, n) des variables intensives (qui ne dépendent pas de la masse et n’ont donc pas de propriétés additives, par exemple, P, T, ) Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Un ensemble complet de paramètre thermodynamique est suffisant pour définir l’état du système. Les équations d’état sont les relations qui existent entre ces paramètres. P=f (T, V) Par exemple : Pour un échantillon de gaz parfait contenant n moles, la connaissance de P et V est suffisante pour décrire le système. En effet la température est déduite de l’équation d’état caractéristique des gaz parfaits : PV=n R T = n N AkBT pour une mole de gaz N A est le nombre d’Avogadro ( = 6.02 10 23 entités élémentaires / mole) kBest la constante de Boltzmann R = NkBla constante des gaz parfaits. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Un système se trouve à l’état d’équilibre s’il n’évolue plus, c’est à dire si il n’y a plus de transfert d’énergie entre lui et le milieu extérieur. On est alors en mesure de connaître par exemple la variation infinitésimale de P à partir des variations infinitésimales de T et de V : Formule mathématique pour une fonction à deux variables f(x,y): Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Un système peut subir des transformations qui l’amène d’un état initial caractérisé par des variables d’état ou coordonnées thermodynamiques ( Pi, Vi, Ti ….) à un autre état final caractérisé par d’autres variables d’état ou coordonnées thermodynamiques (Pf, Vf, Tf ….) , il va alors passer d’un état initial vers un état final en passant par des états intermédiaires plus ou moins bien définis. Lors de ce changement d’état ou transformation thermodynamique des échanges d’énergies ont lieu entre le système et le milieu extérieur. Au cours d’une transformation, un système passe par une suite d’états intermédiaires entre l’état initial et l’état final. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

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2 Si on est capable de caractériser une suite d’états entre un état initial et un état final, on définit le chemin que suit le système au cours de la transformation. Une même transformation peut être réalisée suivant différents chemins ; Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Si ces deux états, initial et final sont infiniment voisins, c’est à dire que les coordonnées thermodynamiques du système ne diffèrent que par une quantité infiniment petite, on dit que la transformation est infinitésimale ou élémentaire. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Si le système se trouve dans un état final identique à l’état initial, la transformation est dite cyclique. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 II-2-1 Transformations quasi-statiques Une transformation quasi-statiqueest une transformation lente, composée d’une suite continue d’états d’équilibre infiniment voisins, allant de l’état initial à l’état final. L’équilibre mécanique et thermique à chaque instant t de la transformation entre un fluide (de pression P et de température T à l’instant t) et le milieu extérieur (de pression Pe et de température Te à l’instant t) impose : P = Pe au niveau de toute paroi mobile etT = Te au niveau la paroi, c'est-à-dire que la transformation est très lente, pratiquement statique et que l’on peut considérer qu’à chaque instant on a un équilibre entre le système et le milieu extérieur. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 • II-2-2 Transformations réversible ou irréversible • Les transformations thermodynamiques peuvent être réversibles ou irréversibles. • Pour être réversible, il faut, condition nécessaire mais non suffisante, que la transformation soit infiniment lente. Elle sera alors formée d’une suite d’états d’équilibre. Toute transformation réversible est quasi-statique. Par contre l’inverse n’est pas vrai. • Ces transformations réversibles ne sont pas réelles, mais c’est le cas idéal pour les calculs en thermodynamique. • Une transformation irréversiblese traduit par une brusque rupture d’un état d’équilibre initial. Il n’est alors pas possible de définir la température T et la pression P du système à chaque instant. On ne connaît précisément que leurs valeurs dans l’état initial et final. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 II-2- 3 Quelques transformations particulières Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 II.3.1 Rappel mathématique Soit du(x,y) une différentielle totale exacte des deux variables x,y ; on a alors : du = M(x,y)dx + N(x,y)dy avec Cette condition est nécessaire pour que du soit une différentielle totale exacte ( d.t.e ) : C'est-à-dire : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Et dans ce cas on pourra écrire : Si on considère une différentielle du(x,y,z) de trois variables ( x, y, z ) ; du = M(x,y,z)dx + N(x,y,z)dy +P(x,y,z)dz siduest une d.t.e alors : Et dans ce cas, on pourra écrire : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Si f(x,y,z) = 0, alors df = 0 : On peut d’ailleurs toujours écrire une fonction sous cette forme, exemple PV = nRT d’où PV - nRT = 0 ; c'est-à-dire f (P,V,n ,T) = 0, on en déduit que : ( 1 ) On remplace le dy de la formule ( 1 ) par son expression de la formule (2) et on obtient : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 (4) On développe, on réduit et on obtient : On en déduit alors que chaque coefficient placé devant dx et dy doit être nul et on obtient : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 ( 5 ) ( 6 ) A partir de l’équation ( 5 ) ; on obtient : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 A partir de l’équation ( 6 ) ; on obtient : D’où : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 On peut appliquer cette formule en thermodynamique, les trois variables x, y, z sont P,V et T : pression , volume et température, on obtient alors : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 II.3.2 Les coefficients thermoélastiques L’équation d’état d’un gaz permet de connaitre les propriétés de ce gaz, mais la détermination d’une équation d’état pour un gaz donné, dans des conditions précises de température et de pression n’est pas toujours facile, pour connaitre les propriétés d’un gaz on définit alors un certain nombre de coefficients appelés coefficients élastiques ou thermoélastiques. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 • Le coefficient de dilatation volumique isobare α [α] = θ-1 dimension de α : inverse d’une température ; unité : Kelvin-1 Ce coefficient représente la variation relative de volume résultant d’une variation de température à pression constante. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 • Le coefficient de compression isochore β [β] = θ-1 dimension de β: inverse d’une température ; unité : Kelvin-1 Ce coefficient représente la variation relative de pression résultant d’une variation de température à volume constant. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 • Le coefficient de compressibilité isotherme χT Le coefficient χT est positif. [χT ] a la dimension de l’inverse d’une pression ; unité : Pascal-1 Ce coefficient représente la variation relative de volume résultant d’une variation de pression à température constante. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 . . Les coefficients thermoélastiques sont liés par la relation : = Ceci se démontre facilement en utilisant la relation mathématique des trois dérivées partielles en remplaçant x, y, z par P, V et T. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 • Le gaz parfait est un gaz idéal : • il correspond à un gaz dilué c’est à dire un gaz à pression réduite • c'est un ensemble de N atomes ou molécules identiques sans interaction entre eux et soumis à une agitation perpétuelle et aléatoire (dite agitation moléculaire ou thermique). Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 • Hypothèses du gaz parfait (Théorie cinétique des gaz) • Les atomes ou molécules du gaz sont assimilés à des masses ponctuelles, leur volume est donc négligeable devant le volume qu’elles occupent. • Il n’y a pas d’interaction entre les molécules, l’énergie potentielle d’interaction est donc nulle, Epi = 0. • La pression est due aux nombreux chocs des molécules sur les parois du système. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Soit N le nombre total de molécules dans le système ; étudions le choc élastique d’une molécule sur la paroi du système. D’après la deuxième loi de Newton, on a : Le choc étant élastique, l’énergie cinétique totale est conservée et donc la norme du vecteur-vitesse est donc conservée. La projection sur l’axe Ox donne : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 y x Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Connaissant la force exercée par la molécule sur la paroi du système, il est alors possible de déterminer la pression exercée sur la surface ou un élément de surface. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Les molécules frappant la surface Sde la paroi pendant l’intervalle de temps Δt sont comprises dans un cylindre de base S et de hauteur vxΔt: or d’après la théorie cinétique des gaz, à l’équilibre seulement la moitié de ces molécules se dirige vers la paroi : VxΔt Le nombre de molécules frappant la paroi est donc égal à : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 = = Avec n0lenombre de molécules par unité de volume et donc n0 = N/V P = -Or la répartition des vitesses dans l'enceinte est isotrope, on a : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 où √<v2> est la vitesse quadratique moyenne des molécules définie par : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 D'après la théorie cinétique des gaz, la température absolue T est une grandeur qui caractérise le degré d'agitation thermique des molécules. On en déduit alors : en posant, n = N/NA et R = kB NA = n R T C’est l’équation d’état des gaz parfaits. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Comme le nombre de moles est donnée par : n = N/ NA = m/M la loi des gaz parfait peut aussi s'écrire pour une m de gaz parfait : avec, r = R/Mdésignant la constante individuelle de chaque gaz. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 • Unités • Dans le système international SI ou MKS, les grandeurs de l’équation des gaz parfaits s’expriment dans les unités suivantes : • La pression P en pascal ( Pa ) • Le volume V en m3 • La température T en Kelvin ( k ) • La constante des gaz parfaits R = 8,314 en J/(K.mol) • La constante de Boltzmann : kB = R/ NA = 1,38.10-23 J/K Le nombre d'Avogadro : NA = 6,023.1023 entités/mole Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 • Autres lois des gaz parfaits. • Loi de Boyle-Mariotte : • à T = cte : • P1V1=P2V2 • Lois de Gay Lussac et Charles : • à V = cte : • à P = cte : Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Rapport de PV/nRT pour différents gaz à T = 273 K Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Rapport de PV/RT pour le diazote à différentes températures Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 L’équation d’état du gaz parfait ne peut représenter un gaz que dans un domaine bien déterminé de température et de pression. Les forces d’interaction entre les molécules sont alors inexistantes et le volume propre des molécules par rapport au volume occupé est négligeable. Cette différence de comportement par rapport au gaz parfait est observée expérimentalement. Le rapport Z = PV/nRT, appelé facteur de compression, pour une température donnée est constant pour un gaz parfait et égal à 1. Différents gaz n’obéissent plus à cette loi. On remarque aussi que lorsque la pression tend vers zéro, tous les gaz vérifient l’équation des gaz parfaits. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Diverses équations d’état ont été proposées pour les gaz réels, elles représentent l’état d’un gaz dans un domaine de pression et de température pour un gaz donné. • Equation d'état du viriel( KammerlinghOmnes, 1901 ). L'équation d'état s’écrit comme un développement en série de Z, soit en fonction de P, ou de V. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 • L'équation de Van der Waals ( 1879 ), Van Der Waals introduit deux corrections dans la loi des gaz parfaits: • Les molécules ont un volume non-nul et incompressible. • 2. Il existe des forces d'attraction entre les molécules. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 1. Les molécules ont un volume non-nul et incompressible. Les molécules occupent le volume du récipient moins le volume occupé par leur propre volume d’après Van der Waals. Vb = Nb appelé covolume est le volume occupé par N molécules de volume propre b. Les molécules occupent tout le volume d’après la théorie cinétique des gaz. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 2. Il existe des forces d'attraction entre les molécules. • Une molécule est en interaction avec toutes les molécules qui l'entourent. • Dans le cas d’une molécule se dirigeant vers la paroi du récipient à une certaine vitesse, elle est entourée de moins molécules et sa vitesse est ralentie et va donc ainsi exercer une pression moindre. La pression est alors donnée pour n moles par P + a n2/V2. Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 L'équation d'état de Van der Waals sous sa forme extensive s’écrit : Ou encore, sous forme intensive : Vm étant le volume molaire Vm = V/n Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Il existe aussi d’autres équations d’état : - celle de Berthelot : - ou celle de Diétérici Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

2 Fin de la leçon 2 Cours de thermodynamique M.Bouguechal En 21

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