高階スピンカレントと Hawking 輻射

1. 高階スピンカレントとHawking輻射 森田 健 KEK Ref) hep-th/0701272 磯 暁 氏(KEK), 梅津 裕志 氏(OIQP) との共同研究

2. 高階スピンカレントとHawking輻射 森田 健 YITP(4月-) Ref) hep-th/0701272 磯 暁 氏(KEK), 梅津 裕志 氏(OIQP) との共同研究

3. 高階スピンカレントとHawking輻射 森田 健 Tata研究所(10月-) Ref) hep-th/0701272 磯 暁 氏(KEK), 梅津 裕志 氏(OIQP) との共同研究

4. Black hole Introduction and Motivation My motivation to study BH physics String Theory 今回の研究 一般相対論+場の理論でBlack holeを解析する。 超弦理論へ何らかの示唆を与えられないか? Energy general relativity Low energy effective theory 重力を記述する理論

5. 特に、near horizonでは理論は conformalになる。 : 部分波展開 運動方程式 2-dim massless scalar → CFT 物理的に言うと無限の赤方偏位が起こるので無限遠の観測者にはUV modeしか効かない。 massやpotentialは無視できる。 Introduction and Motivation ○ 高次元 Black hole → 2次元理論 一般にBHは 2次元平面 ((r,t)平面)に reductionすると扱いやすい。 • Back reaction (Callan-Giddings-Harvey-Strominger, 1992 )高次元重力→2次元重力+dilaton • エントロピー ★Near horizonでの Virasoro algebra (Carlip) • ★重力場のfluctuation→linear dilaton CFT (Iso-T.M.-Umetsu 基研2006) • Hawking輻射 • ○ CFTの trace anomalyによる導出 (Christensen-Fulling, 1977) • ○ Gravitational anomalyによる導出 (Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek Iso-T.M.-Umetsu 2005-)

6. これらの手法で Planck分布(Fermi-Dirac分布)を再現できるか? ? Introduction and Motivation ○ Hawking radiations from anomalies • trace anomaly Christensen-Fulling • gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M. consistent with the Planck/Fermi-Dirac distribution

7. あとで説明するが、これらの量は higher-spin currentの fluxに対応する。 Introduction and Motivation ○ Hawking radiations from anomalies • trace anomaly Christensen-Fulling • gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M. consistent with the Planck/Fermi-Dirac distribution これらの手法で Planck分布(Fermi-Dirac分布)を再現できるか? このことを確かめるには次のような量をanomalyを用いて計算できればよい

8. Introduction and Motivation ○ Hawking radiations from anomalies • trace anomaly Christensen-Fulling • gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M. consistent with the Planck/Fermi-Dirac distribution これらの手法で Planck分布(Fermi-Dirac分布)を再現できるか? このことを確かめるには次のような量をanomalyを用いて計算できればよい

9. Introduction and Motivation ○ 今回の目的 • trace anomaly Christensen-Fulling • gravitational anomaly Robinson-Wilczek, Iso-Umetsu-Wilczek, Iso-Umetsu-T.M. trace anomalyを用いた方法で、この分布を再現する。 BHの解析における CFTや anomalyの有用性を示す。

10. Plan of this talk • Introduction and Motivation • Energy Flux from Trace Anomaly • General Fluxes from Trace Anomalies • Conclusion

11. 2. Energy Flux from Trace Anomaly Christensen-Fulling (1977) Set up 4-dimensional Schwarzschild BH back ground における物質場を考える。 • metric 今回の研究では主に (u,v)座標と (U,V)座標を用いる。

12. 2. Energy Flux from Trace Anomaly Set up BH (u,v)座標が記述する領域 BH BH (U,V)座標が記述する領域

13. 2. Energy Flux from Trace Anomaly Point (u,v)座標で評価した物理量はhorizon近傍以外で正則 BH (U,V)座標で評価した物理量はhorizon近傍で正則 near horizon CFTにこれらの条件を考慮することでHawking輻射を導出する。

14. のconformal 変換 における変換則 Tensorとして変換していない Schwarzian derivative Trace anomalyの寄与 Trace anomaly 2. Energy Flux from Trace Anomaly Horizon近傍における 2-dim CFT Energy fluxを求めたいので energy-momentum tensorに注目する。 CFTで重要な役割を果たすのは conformal 変換を生成する conformal energy-momentum tensor

15. BH はhorizon近傍で regularであるべきなので という条件を得る。 2. Energy Flux from Trace Anomaly Regularity condition and Hawking flux この変換則をhorizon近傍のCFTに適応する。 singular at the horizon (U=0)

16. の正則関数 は Black hole backgroundは時間によらないので も時間によらないはず Trace anomaly がHawking flux.を再現した 2. Energy Flux from Trace Anomaly Regularity condition and Hawking flux

17. Introduction and Motivation • Energy Flux from Trace Anomaly • General Fluxes from Trace Anomalies • Conclusion and Discussion

18. 3. General Fluxes from Trace Anomalies 目標 Planck分布 または Fermi-Dirac分布を再現するために という量を trace anomalyを用いて再現したい。 方針 Noether current of diffeo. Noether current of higher-spin transf.. この currentに対する trace anomalyのようなものを計算することで、 Hawking輻射を再現できないか試みる。

19. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Higher-spin transformation and higher-spin current In flat metric この作用は次の変換に対して不変である。 and constant. Traceless symmetric Noether current (4階) 同様に 偶数階の higher-spin conserved current を作ることができる。 ( 注 奇数階の higher-spin conserved current は存在しない.(対称性が無い) )

20. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Higher-spin transformation and higher-spin current In curved metric curved backgroundにおける高階スピンカレントを構成するのは非常に難しい。 このままでは 目的の trace anomalyの計算ができない、、、

21. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Higher-spin transformation and higher-spin current Energy fluxの評価では conformal EM tensorの anomalousな変換性がわかれば十分だった。 今回も Holomorphic higher-spin currents に注目すれば十分 (flatで十分) Rank 4 今回も高階スピンカレントの anomalousな変換性を求めれば 十分である。 Rank 2n 2n

22. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of holomorphic higher-spin current normalization of the currents Remark 体積積分 の係数が 1 になるように currentのnormalizationを決める。 2n が Planck分布に従えば、

23. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of holomorphic higher-spin current 我々はこの currentのanomalousな変換性を point-splittingを用いて求めた。 Rank 4 : singular Regularization by a point-splitting method この regularizationを考慮することで、anomalousな変換性を出すことができる。

24. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of holomorphic higher-spin current Rank 4

25. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of holomorphic higher-spin current Rank 4 まともに tensor として変換した項 anomalousな項 Schwarz微分のような項 In case

26. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of holomorphic higher-spin current Rank 4 左辺は (U,V)座標の量→ horizon近傍で正則 Flux at the infinity

27. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of holomorphic higher-spin current Rank 4 同様に を評価する。 regularity at the horizon Flux at the infinity

28. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of holomorphic higher-spin current Rank 4 Consistent with the Planck distribution!

29. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of holomorphic higher-spin current Remark これらの量の違いは符号のみ. 一般に次を示せる。 2n についての変換性を求めれば十分である。

30. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of general higher-spin currents generating functionを用いて評価することができる。 Transformation (lhs) ここで

31. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of general higher-spin currents Derivation of the general Hawking fluxes regularity at the horizon 両辺 a で展開する。 a の次数毎に比較

32. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Conformal transformation of general higher-spin currents Derivation of the general Hawking fluxes Consistent with the Planck distribution!!

33. 3. General Fluxes from Trace Anomalies Relation to thermal propagator 今、導出した結果をもう一度 generating functionで見直す。 右辺は積分を用いて書き直すことができる。 この形は2次元有限温度場の理論における2点関数の温度依存部分として 知られている形である。 実際、generating functionは2点関数そのものなので、この結果は trace anomaly を用いた解析が2点関数の段階で有限温度理論を再現していることを意味している。

34. 3. General Fluxes from Trace Anomalies general higher-spin currents for fermion Generating function Transformation regularity at the horizon Consistent with the Fermi-Dirac distribution!

35. 4. Conclusion Conclusions • CFTを用いた解析で高階スピンカレントに対する Hawking輻射を求めた。 • 得られた輻射は Planck分布 または Fermi-Dirac分布と完全に一致する。 • 実は2点関数の段階で有限温度理論を再現している。 • 副産物として、高階スピン tensorに対する Schwarz微分の一般化を見つけた。 Future issues • Charged/rotating BH への応用 • gravitational anomaly method における Planck分布の導出 • higher-spin gauge fields を結合させる • Back reaction of gravitons in 2D String with G. Mandal (Tata) • The AdS/CFT correspondence への応用 • horizon近傍の CFTを用いた BH entropyの導出

36. 4. Conclusion 2006基研研究会でのポスター発表 horizon近傍の CFTを用いた BH entropyの導出 今回の研究: BH背景中の物質場の horizon近傍での振る舞いに注目した。 BH背景中の重力場の horizon近傍での振る舞いに注目する。 horizon近傍のCFTは linear dilaton 理論になる。 このとき dilaton (4次元重力子の一部のmode)の central charge ∝ BHの面積 このことを用いて、Cardy formula で entropyを評価すると となり、一応 面積則は再現するが知られている値 より大きくなってしまう。 また物理的に良くわからない点がいくつかある。

37. 2. Energy Flux from Trace Anomaly Regularity condition and Hawking flux 一般に energy-momentum tensorと conformal energy-momentum tensorは 異なる。 Remark conformal EM tensorは flat metricにおける EM tensor ○ Hawking輻射として評価したいのは EM tensorのほう ただし、Hawking輻射は無限遠 (flatな領域) で観測するので、 における conformal EM tensorとEM tensorの違いは効かない