قضیه حد مرکزی

1. قضیه حد مرکزی - مجموع و میانگین مقادیر یک نمونه تصادفیn تایی که از یک جامعه آماری انتخاب می شوند بطورتقریبی به یک توزیع نمونه گیری قرینه گرایش دارد. - در قضیه حدمرکزی اگر یک نمونه تصادفیn تایی که از یک جامعه غیرنرمال با میانگین و انحراف معیارانتخاب شود وقتی بزرگ باشد توزیع نمونه گیری تقریبا به صورت نرمال توزیع خواهد شد و میانگین و انحراف معیار زیر را خواهد داشت: x¯=x x¯=x/√n وقتی n بزرگ شود غیر نرمال به نرمال تبدیل می شود. در قضیه حد مرکزی هرگاه مجموع و یا متوسط مورد استفاده و اندازه نمونه به قدر کافی بزرگ باشد انتظار می رود که تخمین زننده دارای یک توزیع نرمال (البته به طور تقریبی) در نمونه گیریهای مکرر باشد.

2. ادامه قضیه حد مرکزی اهمیت قضیه حد مرکزی در این است: 1- این احساس عمومی را که بسیاری از متغیرهای تصادفی در حالت طبیعی خود دارای توزیعی همانند توزیع نرمال است قوت می بخشد. 2- حیطه کاربردی در آمار استنباطی دارد.

3. تخمین آماری آمار استنباطی شامل: • تخمین آماری • آزمون فرضیه ها اینکه به کدام طریق (تخمین، آزمون) استنباط صورت گیرد بستگی به نوع تحقیق دارد. اگر: 1- تحقیق از نوع سوالی و صرفا حاوی پرسش باشد  تخمین آماری 2- تحقیق حاوی فرضیه باشد و از مرحله سئوال گذشته باشد  آزمون فرضیه

4. ادامه تخمین آماری • تخمین دو نوع است: 1- تخمین نقطه ای Point Estimation 2- تخمین فاصله ای Interval Estimation آنچه تا کنون خواندیم مانند x¯ تخمین نقطه ای بوده است

5. تخمین فاصله ای 1- تخمین فاصله ای میانگین جامعه آماریx 1-1 توزیع جامعه آماری نرمال با انحراف معیار معلوم 2-1 توزیع جامعه آماری نرمال با انحراف معیار نامعلوم 3-1 توزیع جامعه آماری غیرنرمال 2- تخمین فاصله ای تفاضل میانگین دو جامعه آماری1-2 1-1 توزیع دو جامعه آماری نرمال با دو انحراف معیار معلوم 2-1 توزیع دو جامعه آماری نرمال با دو انحراف معیار نامعلوم 3-1 توزیع دو جامعه آماری غیرنرمال 3- تخمین فاصله ای نسبت موفقیت جامعه P 4- تخمین فاصله ای تفاضل نسبت موفقیت در دو جامعهP1-P2 5- تخمین فاصله ای واریانس جامعه  6- تخمین فاصله ای نسبت واریانس دو جامعه آماری 1/2 تعیین حجم نمونه

6. 1- تخمین فاصله ای میانگین جامعه آماریx • اگر از یک جامعه نامحدود نمونه گیری کنیم، خواهیم داشت: x¯x x¯=x/√n • اگر جامعه نمونه گیری نرمال باشد  بدون توجه به اندازه نمونه x¯دارای توزیع نرمال است. • اگر جامعه نمونه گیری غیرنرمال باشد  طبق قضیه حد مرکزی اگر نمونه بزرگ باشد خواهیم داشت: x¯x x¯=x/√n • تخمین فاصله ای یک پارامتر جامعه قاعده ای است که می گوید چگونه دو مقدار را بر پایه داده های نمونه محاسبه کنیم تا x¯ در وسط آن قرار گیرد • وقتی تخمین فاصله ای برای پارامتر جامعه آماری بکار رود  یک جفت عدد از تخمین زننده بدست می آید  که به آن تخمین فاصله ای ( فاصله اطمینان ) برای پارامتر گویند.

7. ادامه تخمین فاصله ای میانگین جامعه آماریx • تخمین فاصله ای x می شود: x¯± دقت برآورد : مقدار ثابتی است که به کمک آن حد بالا و حد پایین را می توان تعریف کرد.

8. ادامه تخمین فاصله ای میانگین جامعه آماریx • سطح اطمینان محقق : همان سطح احتمال تخمین زدن پارامتر است و یا سطح دلخواه در یک توزیع آماری که xدر آن قرار می گیرد. مثل سطح اطمینان 95%. • سطح خطا  • فاصله اطمینان خوب فاصله ای است که با کوچکترین عرض برآورد در برگیرنده پارامتر باشد. هرچه nنمونه بزرگتر باشد  صحت و دقت در یک فاصله اطمینان بیشتر و بالاتر است

9. ادامه تخمین فاصله ای میانگین جامعه آماریx • تخمین فاصله ای x و یا مقدار با توجه به شرایط : 1- نوع توزیع جامعه آماری (نرمال – غیر نرمال) 2- کیفیت انحراف معیار جامعه (معلوم – نامعلوم) 3- اندازه نمونه (کوچک – بزرگ) به سه صورت می باشد: 1-1 توزیع جامعه آماری نرمال با انحراف معیار معلوم 2-1 توزیع جامعه آماری نرمال با انحراف معیار نامعلوم 3-1 توزیع جامعه آماری غیرنرمال

10. تحمین زن فاصله ای • می خواهیم پارامتر  را آنچنان تخمین بزنیم که اختلاف  و ˆحد از اندازه  کمتر باشد. این حرف با اطمینان  همراه است، یعنی احتمال آن  است. P(|ˆ-|<)==1- بنابراین فاصله اطمینان در سطح  می شود: ˆ ˆ بنابراین حد بالا و پایین عبارت خواهد بود از: (Ļ,Ĺ) =ˆ ˆ • بطور کل در تخمین زن فاصله ای باید 4 مرحله را انجام داد: 1- احتمال قائل شدن برای تخمین زن 2- خطای حدی 3- فاصله اعتماد 4- تخمین فاصله ای

11. 1-1 توزیع جامعه آماری نرمال با انحراف معیار معلوم XNمعلوم به دنبال پیدا کردن تخمین فاصله ای برای  هستیم. پس در فرمول به جای  بایستی قرار داد. P(|ˆ-|<)==1- P(|x¯-==1- ­x¯+ ==1- z=u=(x¯- ­/x / + /  ==1- u1uu2 ==1-

12. 1-1 ادامه توزیع جامعه آماری نرمال با انحراف معیار معلوم U1=Uα⁄2 U2=U1-α⁄2 U2= x  U1-α⁄2 = x  = U1-α⁄2x = U1-α⁄2 / √n x¯ x¯ (Ļ,Ĺ) = x¯   x¯ 

13. مثال1-10 کتاب دکتر عادل آذر ص51 • تمرین: در آمد خانواده ها در یک جامعه برطبق قانون نرمال با امید ریاضی و واریانس 400 توزیع شده است. به منظور ارزیابی متوسط درآمد خانواده ها در این منطقه نمونه ای به حجم 100 خانوار بطور تصادفی انتخاب می کنیم و تخمین پارامتر (متوسط درآمد خانوارها) بصورت x¯=65000 بدست آمده است مطلوب است فاصله اعتماد و تخمین فاصله ای برای میانگین  در جامعه با احتمال اعتماد 99%.

14. حل تمرین: P(|x¯-==1-=%99 =%1=0.01 /2=0.005 1-/2=0.995 = U1-α⁄2 / √n = U0.995 (20 / √100)=2.58(20/10)=5.16 x¯ x¯= 0.99x¯5.16 x¯5.16 (Ļ,Ĺ)= x¯   x¯ =(65000-5.16 65000+5.16) با اطمینان 99% پارامتر در این فاصله قرار دارد.

15. 2-1 توزیع جامعه آماری نرمال با انحراف معیار نامعلوم XNنامعلوم چون واریانس نامعلوم است پس از S²x¯استفاده می کنیم و آماره (x¯-Sx¯ دارای توزیع t استیودنت خواهد بود P(|ˆ-|<)==1- P(|x¯-==1- t =(x¯- Sx¯ t=(x¯- )S/√n( = t1-α⁄2 , n-1S/ √n x¯ x¯ (Ļ,Ĺ) = x¯   x¯ 

16. مثال2-10 کتاب دکتر عادل آذر • تمرین: سابقه کارکنان یک موسسه برطبق قانون نرمال با امید ریاضی و واریانس² توزیع شده است. به منظور ارزیابی پارامتر نمونه ای به حجم 15نفر بطور تصادفی انتخاب می کنیم و تخمین پارامتر و ² به ترتیب x¯=22 و S²=36 بدست آمده است مطلوب است فاصله اعتماد و تخمین فاصله ای برای میانگین  در جامعه با احتمال اعتماد 99%.

17. حل تمرین: P(|x¯-==1-=%99 =%1=0.01 /2=0.005 1-/2=0.995 = t1-α⁄2 , n-1S/ √n=t0.995, 16 (6/ √15)=2.98(6/√15)=4.61 x¯ x¯= 0.99x¯4.61 x¯4.61 (Ļ,Ĺ)= x¯   x¯ =(22-4.61 22+4.61) با اطمینان 99% پارامتر در این فاصله قرار دارد.

18. 3-1 توزیع جامعه آماری غیرنرمال • اگر توزیع جامعه غیرنرمال و n>30 مانند دو حالت قبل میباشد. • اگر توزیع جامعه غیرنرمال و n<30 نرمال توزیع نشده بنابراین از قضیه چی بی شف استفاده می نماییم. P(|x¯-=1-(σ²x/n²) توزیعی مانند K خواهیم داشت که نمی دانیم چه توزیعی است. Kn)K=(x¯-n) P(|x¯-=1-(σ²x/nK²²/n))=1-(1/K²) برای ساختن فاصله اطمینان ابتدا 1-(1/K²) را برابر 1- قرار می دهیم. 1- =1-(1/K²)  K=√1/ x¯ x¯ (Ļ,Ĺ) = x¯   x¯ 

19. مثال3-10 کتاب دکتر عادل آذر ص58 • تمرین: وزن محصولات توزیع شده در یک واحد صنعتی برطبق قانون نامشخص با امید ریاضی  و واریانس² توزیع شده است. به منظور ارزیابی پارامتر نمونه ای به تعداد 20 محصول را بطور تصادفی انتخاب می کنیم و براساس نمونه ها تخمین های پارامتر و ² به ترتیب x¯=250 و S²=81 بدست آمده است مطلوب است فاصله اعتماد و تخمین فاصله ای برای میانگین  در جامعه با احتمال اعتماد 98%.

20. حل تمرین: P(|x¯-==1-=%98 =%2=0.02 Kn) =  √1/ )*n)  √1/ )*S20)= √1/ )*920)=14.23 x¯ x¯= 0.99x¯14.23 x¯14.23 (Ļ,Ĺ)= x¯   x¯ =(250-14.23 250+14.23) با اطمینان 98% پارامتر در این فاصله قرار دارد.