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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA RIOJA ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS PROFESOR EST. PIERFEDERICI MAURICIO A O 200 - PowerPoint PPT Presentation


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El estudio de la Estadstica no es un tema sencillo ya que requiere el aprendizaje de conceptos difciles, as como de hacer clculos matemticos Pero el estudiante de Estadstica no necesita ser un genio de las matemticas para entender y aplicar los mtodos estadsticos.A medida que vaya introd

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA RIOJA ELEMENTOS BASICOS DE MATEMATICAS PROFESOR EST. PIERFEDERICI MAURICIO A O 200

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA RIOJA

ELEMENTOS BASICOS

DE MATEMATICAS

PROFESOR

EST. PIERFEDERICI MAURICIO

AO 2009


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El estudio de la Estadstica no es un tema sencillo ya que requiere el aprendizaje de conceptos difciles, as como de hacer clculos matemticos Pero el estudiante de Estadstica no necesita ser un genio de las matemticas para entender y aplicar los mtodos estadsticos.

A medida que vaya introducindose en el estudio, se dar cuenta que solo se necesita un conocimiento acabado de algunas operaciones matemticas bsicas para el clculo e ir aprendiendo nuevos smbolos matemticos, que muchos de ellos lo ha ido viendo, desarrollado y aplicado en toda su Educacin Secundaria. Este Capitulo pretende ser un repaso de ese material que Ud. por desuso podra estar un poco olvidado, pero que durante todo este curso los va a necesitar. Se recomienda tratar de fijar estos conceptos y si considera que no es suficiente consultar algn libro de Matemticas.


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LOS NMEROS.

NATURALES

ENTEROS

NEGATIVOS

RACIONALES

REALES

FRACCIONARIO

IRRACIONALES


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Los nmeros naturales 1,2,3,4,................. aparecen al contar los objetos de un conjunto y con ellos resolvemos las expresiones de suma y multiplicacin.

Luego para resolver las operaciones de sustraccin es que surgen los nmeros negativos.

Los nmeros naturales con los negativos forman los llamados nmeros enteros. Podemos decir que con los nmeros enteros realizamos operaciones de suma, resta y multiplicacin.

Para resolver operaciones de divisin surgen los llamados nmeros fraccionarios. Con los nmeros racionales se resuelven operaciones de raz. Pero como surgen clculos de races que no son cuadrados perfectos, se crearon los nmeros irracionales, que generalmente son nmeros de infinitas cifras decimales.

El conjunto de los nmeros racionales e irracionales forman los llamados nmeros reales.


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  • SIMBOLOS ALGEBRAICOS

  • Es mayor que.

  • 8 3 8 es mayor que 3.

  • X 5 X es mayor que 5.

  • a b a es mayor que b.

  • Es menor que.

  • 8 5 es menor que 8.

  • a b a es menor que b.

  • 3 X 10 Que X es mayor que 3 y menor que 10.

  • El valor de X no incluye al 3 ni al 10.

  • Es mayor o igual a.

  • X 5 X es mayor o igual a 5.


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  • a b a es mayor o igual a b.

  • Es menor o igual a.

  • X 2 X es menor o igual a 2.

  • a b a es menor o igual a b.

  • X 8 X es mayor igual a 3 y menor o igual a 8.

  • Es decir que los incluye a ambos.

  • X 9 X es mayor o igual a 5 y menor que 9

  • Incluye al 5 u no incluye al 9.-

  • Una desigualdad permanece valida si se suma o resta el mismo nmero de ambos lados.

  • Ejemplo:

  • 6 2

  • Si sumamos 3 a ambos lados, o bien restamos observamos que se mantiene la desigualdad.

  • 9 5 o 5 1


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  • Cuando multiplicamos o dividimos en una desigualdad ambos lados por un nmero positivo, se mantiene la desigualdad.

  • Ejemplo:

  • 8 5

  • Si multiplicamos por 4 a ambos lados, 32 20

  • Cuando multiplicamos o dividimos ambos lados de la desigualdad por un mismo nmero negativo se invierte el smbolo de la desigualdad.

  • Por ejemplo:

  • 15 12

  • si multiplicamos por (-3) ambos lados ser:

  • - 45 - 36

  • Es distinto de.

  • 8 5 8 es distinto de 5.

  • X 2 X es distinto de 2.

  • a b a es distinto de b.


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X Valor absoluto de X.

El valor absoluto es igual a la magnitud X

sin importar que signo tiene.

+9 El valor absoluto de +9 es igual a 9.

-4 El valor absoluto de (- 4) es igual a 4.

OPERACIONES ARITMTICAS.

1.- Suma de dos nmeros positivos.

Para sumar dos nmeros positivos se suman valores absolutos y el resultado tendr signo positivo.

Ejemplo:

6 + 4 = 10


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2.- Suma de dos nmeros negativos.

Para sumar dos nmeros con signos negativos, se suman sus valores absolutos y el resultado tendr signo negativo.

Ejemplo:

(-5) + (-3) = - 8

3.- Suma de dos nmeros con signo opuesto.

Para sumar dos nmeros con signo opuesto, se determina la diferencia entre sus valores absolutos y el resultado tendr el signo del nmero con valor absoluto mayor.

Ejemplo:

20 + ( - 8 ) = 12 2 + ( - 6 ) = - 4


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4.-Resta de un nmero de otro.

Para restar un nmero de otro, se cambia el nmero por restar y se procede como en la suma ( casos vistos antes).

Ejemplo:

10 - 3 = 10 + ( - 3 ) = 7

6 - 9 = 6 + ( - 9 ) = - 3

10 - (-4) = 10 + (+4) = 14

- 3 - 8 = - 3 + ( - 8 ) = - 11

5.-Multiplicacin de una serie de nmeros.

a) Al multiplicar una serie de nmeros, el resultado es positivo si existe un nmero par de valores negativos en la serie.

Ejemplo:

3(- 4).(- 5).(6) = 360

- 4(-3).(- 5).(- 8) = 480

- a. ( - b ) = a . b


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b) Al multiplicar una serie de nmeros, el resultado es negativo si existe un nmero impar de valores negativos en la serie.

Ejemplo:

3.(- 2).(4) = - 24

- 4.(-6).(- 4).(8) = - 768

- b. (- a). (- c) = - a b c

6.- Divisin de una serie de nmeros.

a) Al dividir una serie de nmeros, el resultado es positivo si existe un nmero par de valores negativos en la serie.

Ejemplo:

-6/-36 = 1/6

- 3. (- 5). (- 4) / -20 = 3

- b /- a = b / a


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b) Al dividir una serie de nmeros, el resultado es negativo si existe un nmero impar de valores negativos en la serie.

Ejemplo:

- 3 / 4 = - 0,75

(- 3).(- 3) / - 4 = - 2,25

- a / b = - a / b

REGLAS PARA EL ORDEN DE LAS OPERACIONES ARITMTICAS.

1.- El orden en que se suman los nmeros no modifica el resultado.

Ejemplo:

3+8+5 = 8+5+3 = 5+3+8 = 16

4+(-3)+7 = (-3)+7+4 = 7+4+(-3) = 8


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2.- El orden en que multiplican los nmeros no modifica el resultado.

Ejemplo:

8 * 3 * 4 = 3 * 8 * 4 = 4 * 8 * 3 = 96

3.- Si aparece una multiplicacin y una suma o resta, la multiplicacin debe realizarse en primer lugar, a menos que los parntesis o corchetes indiquen lo contrario.

Ejemplo:

10 * 4 + 5 = 40 + 5 = 45

8 * ( 20 6) * 2 = 8 * 14 * 2 = 224

5 * 3 * ( 6 + 2) = 5 * 3 * 8 = 120

4 * 2 + (5 2) 2 * 5 = 8 + 3 10 = 11 10 = 1


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4.- Si aparece una divisin y una suma o una resta, la divisin debe realizarse en primer lugar salvo que los parntesis o corchete indiquen lo contrario.

Ejemplo:

15 / 3 + 6 - 2 = 5 + 6 - 2 = 8

20 / ( 3 + 2 ) + 6 = 20 / 5 + 6 = 4 + 6 = 10

( 9 - 3 ) / 2 + 8 = 6 / 2 + 8 = 3 + 8 = 11

REGLAS PARA PARENTESIS Y CORCHETES.

1.- Los parntesis y corchetes indican que lo encerrado por ellos debe considerarse como un solo nmero.

Ejemplo: (3 + 4) * (8 3+2) = 7 * 7 = 49

(1+2 - 5) * (10- 4+2) = (- 2) * (8) = - 16


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  • 2.-Cuando hay parntesis dentro de unos corchetes, primero se realiza las operaciones dentro de los parntesis.

  • Ejemplo: (5-1+2)*(2) + (6-3)* 2+(3-2) =

  • = 6 * 2 +3 * 2+1 =

  • = 12 + 3 *3 = 15 * 3 = 45

  • 3.-Cuando no sea conveniente reducir a un solo nmero lo encerrado por unos parntesis, estos pueden eliminarse como sigue:

  • Si aparece un signo positivo antes de los parntesis, estos se eliminan sin modificar el signo de los nmeros contenidos en ellos.

  • Ejemplo: 5 + (8 2 + 4) = 5 + 8 - 2 = 15


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  • Si aparece un signo negativo antes de los parntesis estos se eliminan cambiando el signo de los nmeros contenidos en ellos.

  • Ejemplo: 10 - (5 +4 - 2) = 10 - 5 - 4 + 2 = 3

  • Si aparece un nmero multiplicando fuera de los parntesis, todos los trminos dentro de ellos deben ser multiplicados por dicho nmero.

  • Ejemplo:

  • 2 ( 5 + 3 2 + 1) = 10 + 6 4 + 2 = 18 - 4 = 14

  • o tambin, resolver el parntesis

  • 2 ( 5 + 3 2 + 1) = 2 . 7 = 14


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  • Si tenemos letras solo podemos multiplicar cada trmino del parntesis por su multiplicando.

  • a ( b+c+d e) = a b + a c + a d + - a e

  • El producto de dos sumas se obtiene multiplicando cada elemento de una suma por los elementos de la otra.

  • Ejemplo: (a + b) . ( c + d) = a c + a d + b c + b d

  • (3 + 2) . (4 + 6) = 5 . 10 = 50

  • (3 + 2) . (4 + 6) = 12 + 18 + 8 + 12 = 50

  • Si los nmeros contenidos dentro de los parntesis se operan de alguna forma, siempre se realiza primero la operacin antes de combinarlos con otros trminos.


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Ejemplo 1. 3+2(4+2)+5 = 3+2 (6) +5 = 3+12+5 = 20

Ejemplo 2: 5+(2+4)/2+6 = 5+6/2+6 = 5+3+6 = 14

Ejemplo 3: 3+6+(2+2) +4 = 3 + 6 + 4 +4 =

= 3 + 6 + 16 + 4 = 29

Ejemplo 4: 6 2 + (3+2) - 2 + 8 - (5+4) / 3 =

= 6 2 + 25 - 2 + 8 - 3 =

= (6+25+8) (2+2+3) = 39 - 7 = 32

Ejemplo 5: 10 - (4 - 2) + 6 (3+4) - 6 + 2 - 42 =

10 - 2 + 42 - 6 + 2 - 42

como el (-2) y el (+2) el (-42) y (+42) se simplifica, nos queda:

= 10 - 6 = 4


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OPERACIONES CON FRACCIONES.

1.- Suma de fracciones.

Para sumar dos fracciones, 1 se determina el comn denominador, 2 se expresa cada fraccin en trminos del mnimo comn denominador, y 3 se suman los numeradores y se divide la suma entre el comn denominador.

Ejemplo:

a) 3/4 +1/5 = 15+4 / 20 = 19/20

b) 4/3 + 1/2 + 3/4 = 16/12+6/12+9/12 = 33/12

c) a/b +c/d = a d / b d + c b / b d

2.- Multiplicacin de fracciones.

Para multiplicar dos fracciones, se multiplican entre si los numeradores y se divide este resultado entre el producto de los denominadores.


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Ejemplo. a) 2/5 . (3/4) = 6/20

b) 3/2 . (-5/6) = - 15/12

3.- Divisin de fracciones.

Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la segunda invertida.

Ejemplo: a) 3/4 : 5/2 = 3/4 . 2/5 = 6/20

O tambin, se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y se divide este producto por el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

4.- Cambiar una fraccin por su equivalente decimal.

Para convertir una fraccin en decimal, se realiza la divisin indicada, redondeando al nmero necesario de cifras( generalmente a dos dgitos).

Ejemplo: 5/6 = 0,83


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5.- Multiplicar un entero por una fraccin.

Para multiplicar un entero por una fraccin, se multiplica el entero por el numerador de la fraccin y se divide este producto entre el denominador.

Ejemplo: 4/7 . (3) = 12/7

6.- Cambiar un decimal por un porcentaje.

Para convertir una fraccin decimal en un porcentaje, se multiplica la fraccin decimal por 100.

Ejemplo: 5/6 = 0,83 0,83 x 100 = 83 %

7.- Cancelacin.

Al multiplicar varias fracciones entre si, podemos cancelar los factores en el numerador y denominador.

Ejemplo: 4/3 . (12/8) . (10/5) . 7/5 =

= 1 . (2) . (2) 7/5 = 28/5


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OPERACIONES CON EXPONENTES.

1.- Multiplicacin de un nmero por si mismo N veces.

Ejemplo:

3 =(3).(3)(3)..............(3) lo multiplicamos

por si mismo N veces.

Un nmero al cuadrado

Ejemplo: 5 = 5 . (5) = 25

Un nmero al cubo.

Ejemplo: 2 = 2 . (2) .(2) = 8

y as sucesivamente.

2.-Multiplicacin de dos cantidades exponenciales con la misma base.

El producto de dos cantidades exponenciales con la misma base es la base elevada a la suma de los exponentes.

Ejemplo: (3) .(3) = (3) = (3) = 243

N

5

+


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3.-Divisin de dos cantidades exponenciales con la misma base.

El cociente de dos cantidades exponenciales con la misma base es la base elevada a la resta del exponente en el numerador menos el exponente del denominador.

Ejemplo:

(3) / (3) = (3) = (3) = 9

4.- Elevar una base a un exponente negativo.

Una base elevada a un exponente negativo es igual a 1 entre la base elevada al valor positivo del exponente.

Ejemplo: ( 3 ) = 1/(3) = 1/9

6- 4

6

4

- 2


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5.- Elevar un nmero o fraccin a dos exponentes.

Cuando tenemos una base elevada a dos exponentes es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

Ejemplo: a) [ ( 3 ) ] = (3) = 729

b) [ (1/4)] = (1/4 ) = 1/4096

6.- Fraccin elevada a exponente negativo.

Cuando tenemos una fraccin elevada a exponente negativo, se transforma en potencia positiva invirtiendo la base.

Ejemplo: (3/5) = ( 5/3) = 25/9

6

6

- 2


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FACTORIZACION

Al factorizar una expresin algebraica, intentamos reducir la expresin a los componentes ms sencillos tales que al ser multiplicados entre s dan la expresin original.

Ejemplos:

a b c - 2 a b = a b ( c - 2)

a b c + ad +a g = a ( b c + d + g)

a + b a c - a d e = a ( 1 + b c - de )

2x + 4xy - 8 xyz + 4xm = 2x( 1+2y-4yz+2m)

a + 2ab + b = ( a + b)


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ECUACIONES.

Las ecuaciones la enunciamos como A = B, donde A se llama miembro izquierdo y B miembro derecho de la ecuacin.

Al resolver ecuaciones con una incgnita, la idea bsica es dejar la incgnita de un lado de la ecuacin y reducir el otro lado a su menor valor posible. Para esto utilizamos el principio de que la ecuacin seguir siendo una igualdad si todo lo que hagamos a un lado de la ecuacin lo hacemos tambin al otro lado. As por ejemplo, la ecuacin sigue siendo una igualdad si sumamos el mismo nmero a ambos lados.

Para resolver una ecuacin, modificamos sta, sumando, restando, multiplicando, dividiendo, elevando al cuadrado, etc. de modo que la incgnita quede despejado de un lado de la ecuacin.


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Esto es vlido siempre que se realice la misma operacin en ambos lados de la ecuacin, con lo cual se mantiene la igualdad.

Una ecuacin con una incgnita se dice de primer grado o lineal, cuando el mayor grado con que figura la incgnita es el primero. As por ejemplo:

4 x + 5 = 3

Es una ecuacin de primer grado, pues la incgnita x figura nicamente elevada a la primer potencia.

Los trminos en que no figura la incgnita se llaman independientes; pasndolos todos a un miembro y efectuando las operaciones indicadas, puede reducirse a un solo trmino. En nuestro ejemplo, los trminos independientes son el 3 y el 5. Pasando el 5 y el 3 al segundo miembro, nos queda:

4x = 3 - 5 despejamos x

x = - 2/4 - 1/2


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Veamos otros ejemplos:

a) 12 = x - 3

12 + 3 = x

x = 15

b) 2 y + 4 = 10

2 y = 10 - 4

y = 6/2

y = 3

EJERCICIOS

1) 4 ( x + 1) = 3 ............Rpta: x = 1/4

2) x + x + 1 + x + 4 = 9x - 1 ...............Rpta: x = 1

3) 2x + 14 - 9x = 6x - 12 ..........Rpta: x = 2

4) 8x - 3 = 4 x - 2 ......Rpta: x = 1/4

5) 5 x = 7/2 x + 15 ........Rpta: x =10


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FUNCIONES.

Cuando a cada valor posible de una variable X le corresponde una o ms valores de otra variable Y, decimos que Y es funcin de X y la escribimos como Y = F (X).- La variable X se la llama variable independiente y a la variable Y dependiente.

La dependencia funcional de las variables a veces se anotan en una tabla, sin embargo podemos tambin indicarlas por medio de una ecuacin que conecta ambas variables.

Por ejemplo: Y = 4 X - 2

donde vemos que los valores de Y, depende de los valores que toma la variable X. Vemos que en este caso Y = F (X) y si la variable X toma el valor 2, entonces la variable Y vale 6.


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COORDENADAS RECTANGULARES.

Si consideramos dos rectas perpendiculares, llamadas ejes cartesianos ortogonales, donde el eje horizontal X se llama abscisa y el eje vertical Y se llama ordenada, que se cortan en un punto cuyo valor es 0; el plano que determinan se llama plano XY y observamos cuatro cuadrantes el I, II, III ,IV. Entonces sera

Y

I

II

- X

X

IV

III

- Y


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Los signos de cada cuadrante sern:

(+ ; +) ( - ; + ) ( - ; - ) ( + ; - )

donde los pares de valores son (X;Y). Las coordenadas de un punto en el plano sern por ejemplo: ( 1 ; 3 ) ; ( -2 ; 4 ) ( - 2 ; - 4 ) ; ( 3 ; - 3 ), etc..

1; 3

- 2; 4

0

3; - 3

- 2; - 4


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REDONDEO DE

DATOS NUMRICOS


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El resultado de redondear un dato como 41,8 en unidades es 42, puesto que 41,8 esta ms prximo a 42 que a 41. Anlogamente, si tenemos por ejemplo 25,8246 se redondea en centsimas, es decir a dos decimales a 25,82 porque el nmero 25,8246 est ms cerca de 25,82 que de 25,83. Al redondear por ejemplo 32,465 en centsimas nos hallamos ante un problema ya que est equidistante de 32,46 y de 32,47.

Para estos casos se adopta redondear al entero par que precede al 5. De esta manera entonces el nmero planteado redondeado ser 32,46.

Si tenemos el nmero 243,375 se redondea a dos decimales como 243,38. Este procedimiento es particularmente muy til para minimizar los errores de redondeo acumulados, cuando se efecta un gran nmero de operaciones, e incluso cuando calculamos medidas estadsticas de la estadstica descriptiva e inferencial.


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Veamos algunos ejemplos:

36,6 (unidades) = 37

2,484 (centsimas) = 2,48

243,5 (unidades) =244

0,0235 (milsima) = 0,024

2,50001 (unidades) = 3

143,95 (unidades) = 144

4,36501 (centsimas) = 4,37

168,3 (unidades) = 168

54,448 (unidades) = 54

4,46500 (centsimas) =4,47


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SIGNO DE

SUMACION

(SUMATORIA)


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En todo el anlisis estadstico se trabaja frecuentemente con suma de nmeros y necesitaremos smbolos matemticos para indicar estas sumas.

En Estadstica para representar una cantidad utilizamos las letras x, y, z.............., y que sirven para identificar la variable que estamos estudiando. Por ejemplo X indica el peso en Kilogramos de los alumnos de este curso.-

Otro smbolo muy utilizado es el N para indicar el nmero de observaciones que estamos tratando. Si estamos analizando estadsticamente la Edad de los alumnos de este curso, evidentemente N ser igual a 100 alumnos. Es decir que:

N = 100alumnos.-


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Cuando queremos identificar o modificar un valor numrico, para identificarlo con precisin empleamos generalmente subndices. Por lo tanto si se tiene una serie de resultados u observaciones, podemos identificarlos con

Resumimos esta serie de datos anotando Xi donde el subndice i puede tomar los valores que nosotros deseemos.

El smbolo de (sigma mayscula, del abecedario griego) nos indica que debemos sumar. Se registra con subndices arriba y abajo del smbolo cuales son los valores que queremos sumar.


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Por ejemplo, si tenemos los siguientes valores y deseamos sumarlos:

Me indica que debemos sumar los valores donde el subndice toma desde el valor 1 hasta el 8.-


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Entonces

En algunas oportunidades nos interesa parcialmente esta suma, supongamos querer sumar solo el tercer, cuarto y quinto valor, entonces expresamos:

Cuando la sumatoria se realiza con todos los datos (de 1 a N), es frecuente que la propia expresin de esta operacin se abrevie, omitiendo las notaciones

arriba y abajo del signo de la suma, al igual que el subndice i.- As:


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Como la sumatoria me indica una operacin matemtica, se sabe que estas se rigen por una serie de reglas. Mediante un ejemplo veamos algunas de estas reglas.

Si N = 5, indica que tendremos cinco datos, por ejemplo:

1.- Sea A una constante, que debemos por ejemplo, sumar 3 veces

Luego generalizando ser

La suma de una constante es igual a N veces la constante


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2) Si A es una constante y expresamos

( Xi A)

la sumatoria es distributiva respecto a la suma y la diferencia, entonces

Generalizando

La sumatoria de una variable ms menos una constante es igual a la sumatoria de la variable ms menos N veces la constante


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3) Si A es un valor constante y expresamos

Como el valor A es constante y no esta afectado por la sumatoria, podemos sacarla fuera de la sumatoria.

Generalizando:

La sumatoria de una constante por una variable es igual a la constante por la sumatoria de la variable

Idntico caso es para cuando tenemos la situacin de la divisin.


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4)Si tenemos dos variables Xi, Yi donde en ambas el subndice i vara de 1 a 5 y expresamos por propiedad distributiva ser

Generalizando, tenemos

La sumatoria de la suma de dos variables es igual a la suma de la sumatoria de cada variable


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Existe dos tipos de sumatoria que veremos con frecuencia en estadstica. Estas son:

x y ( x)

Aunque se parecen, son diferentes y en general proporcionan diferentes respuestas.

El smbolo x (suma de los cuadrados de los datos), indica que primero debemos elevar al cuadrado cada uno de los datos x y luego sumarlos.

El smbolo ( x) o el cuadrado de la suma de los datos x y luego elevar al cuadrado la suma resultante.


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Veamos un ejemplo: dado los siguientes valores

En cambio:

Observamos de esta manera que x y ( x) son muy distintas 246 1156.

La confusin de estas dos sumatoria es un error muy comn entre el alumnado.


Slide46 l.jpg

EJERCICIOS


Slide47 l.jpg

Supongamos tener la siguiente serie de datos:


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Exprese en sumatoria las siguientes expresiones:


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EL SIGNO DE SUMACION EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA.-


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Hemos visto la sumatoria en lo que llamamos una serie simple de datos.- Por ejemplo, si tenemos los aos de antigedad de seis casas;

La suma de los aos de antigedad ser:


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Llamamos cuadro de doble entrada, cuando para leer un nmero en la tabla debemos leer la fila y la columna correspondiente.- En estos casos los valores X llevan dos subndices (i; j), donde (i) me indica la fila y (j) la columna.-

Por ejemplo si i= 1,2,3,4 y j = 1,2 tendremos la siguiente tabla de doble entrada:


Slide53 l.jpg

Se desea expresar en sumatoria el total de la primer fila:

Si deseamos expresar en sumatoria la suma de la segunda columna, ser;

Si deseamos el total general, debemos hacer variar el subndice (i) y el subndice (j), y en este caso debemos expresar dos sumatorias, una para cada subndice:


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Para resolver estas dos sumatoria, primero desarrollamos la ms cercana a la variable X, luego aplicamos la propiedad distributiva de sumatoria y desarrollamos las sumatorias, sera;

=X11 + X21 + X31 + X41 + X12 + X22 + X32 +X42

Veamos un ejemplo numrico.- Supongamos tener una muestra de cantidad de viviendas por planta y barrios de una ciudad .- Entonces Xij :cantidad de viviendas del barrio i de planta j.- Observamos que la variacin de ambos subndices son:

I = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 j= 1,2

Entonces:


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Si deseamos desarrollar el contenido de esta tabla en trminos de sumatoria, sera:

X41 = cantidad de viviendas que son del barrio 4 y de una planta.-

Xi2Cantidad de viviendas que son de dos plantas.-

X2j Cantidad de viviendas que son del barrio 2.-

X i jTotal de viviendas de la muestra.-

i j

Escriba y desarrolle la sumatoria que me da el total de viviendas de dos plantas.-.-

Escriba y desarrolle la sumatoria que me da el total de viviendas del barrio 3.-


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Escriba y desarrolle la sumatoria que me da el total de viviendas de la muestra.-

Tambin podemos hacer sumas parciales.- Por ejemplo, total de viviendas de una planta que hay entre el barrio 4 y 6.-


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EJERCICIOS


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  • 1) -6 + 4 - 2 + 8 - 1 - 10 Resp: - 7

  • 5 + (3*2) + 1 - (7*3) + ( 4/2) Resp: - 7

  • 3)

  • (-2) - - (-1) + - 5 * 2 8 + ( - 7- 5 ) - 3 * (-2) - 4 * (- 1)

  • Rpta: +15

  • - 3 + ( -6) - ( -4) + 2 Rpta.: 9

  • 5) 1/5 - ( 2/3*4/2) + 1/2 - (4/3 - 2/15) Resp: - 11/6

  • 6) 1/3 * (3/4 - 1/2) + 5/3 - ( - 3/2 + 1/6) - 1/8 Resp: 71/24


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7) 1/6 : 4/5

  • 5 * (-2) + 4 2 + ( - 2 * 3) (- 8 - 2) + 2 * ( -3)

  • Resp: - 10

9)

10)

11)

1/ 2 + (3/4 * 1/2) - (- 5/2 + 1/4 ) + (1/2 + 3/5* 2) Resp: 193/40


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  • 3x - 2 = x + 6 Resp: x = 4

  • 13) 5 - 1/3 x = 2 x + 19 Resp: X = - 6

  • 1/2 ( x + 3) = 1/3 x - 5 Resp: - 39

  • 15) 2 x + 14 - 9 x = x - 3 Resp: X = - 2

  • 16) ( 5 x - 3) * 2 = x - 3 Rpta: x = 1/3

17) Para cada uno de los siguientes conjuntos de datos determine Xi.

a) 2 4 5 7

b) 2.1 3.2 3.6 5.0 7.2

c) 11 14 18 22 25 28 30

d) 110 112 115 120 133


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18) Determine los valores de las siguientes expresiones:

5

7

8

8

a) Xi b) Xi c) Xi d) (Xi +2)

3

5

1

1


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19)En un experimento que mide los tiempos de reaccin de ocho sujetos, se obtuvieron los siguientes datos en milisegundos:

  • Si X representa la variable de tiempo de reaccin, asigne a cada dato un smbolo Xi, adecuado.

  • Calcule X para estos datos.


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20) Represente cada una de las siguientes expresiones mediante la notacin de sumatoria. Suponga que el nmero de datos es 10.


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21) Para cada uno de los conjuntos de datos, de los problemas 17.a) y 17.b), muestre que:

X ( X)

22) Con los datos dado en el ejercicio N 18, calcule las siguientes expresiones:

a) (Xi + 2) b) (Xi - 3)

c) (2 *Xi) d) (Xi/2)

23)Resolver:

Que valor tomar un sueldo docente que gana 450$ si se decide incrementar el mismo un 7%?

Que valor tomara si se decide disminuir su sueldo un 7%?

Si al valor obtenido al incrementar el sueldo un 7%, se le disminuye ese mismo 7%, se obtendr la misma cantidad original de sueldo? Razone la respuesta.


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  • Dado los siguientes datos:

  • X1 = 3 X2 = 5 X3 = 2 X4 =1 X5 = 4 X6 =7

  • C1 =1 C2 =2 C3 = 4 C4 = 5 C5 = 2 C6 = 3

  • Adems A = 2 B 1/2

a) Xi * Ci

b) (Xi + Ci)

c) Xi*Ci * A

d) (Ci - A) * Xi

e) X i* Ci * B

f) (Xi - A) * Ci *B

g) Ci * Xi - 8


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25) Se realiz un estudio en cinco manzanas de cada uno de los barrios de una cierta ciudad.- Se determino la cantidad de Jefes de Hogares segn el tipo de trabajo que tienen.- Los resultados fueron:


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  • Elabore el mismo cuadro con simbologa.-

  • Complete el cuadro con los totales que calcular usando la simbologa de sumatoria.-

  • Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Jefes de Hogares que trabajan en la Industria.-

  • Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Jefes de Hogares que hay en el barrio B.-

  • Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de Jefes de Hogares que trabajan en la Administracin y en el Comercio.-

  • Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total de jefes de Hogares que trabajan en la Administracin Pblica.-

  • Exprese en sumatoria, desarrolle y calcule el total general de Jefes de hogares que hay en la zona estudiada.-


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