Matem ticas discretas
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Matemáticas Discretas. (Mini) Cursos Propedéuticos 2012 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Hugo Jair Escalante [email protected] http://ccc.inaoep.mx/~hugojair O ficina 8319. Este material se basa en versiones previas del mismo por : Dr. Enrique Muñoz de Cote

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Matemáticas Discretas

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Presentation Transcript


Matem ticas discretas

Matemáticas Discretas

(Mini) Cursos Propedéuticos 2012

Ciencias Computacionales

INAOE

Dr. Hugo Jair Escalante

[email protected]

http://ccc.inaoep.mx/~hugojair

Oficina 8319

Este material se basa en versionesprevias del mismopor:

Dr. Enrique Muñoz de Cote

Dr. Enrique Sucar

Dr. Luis Villaseñor


Cuarta parte

CUARTA PARTE

  • Relaciones y funciones

    • Relaciones

    • Propiedades de relaciones

    • Clases de equivalencia

    • Conjuntos parciales y totalmente ordenados

    • Funciones


Producto cartesiano

Producto cartesiano

  • Dados dos conjuntos A y B, el productocartesiano AB se define por:

    • AB = { (x, y) | xA, yB}

  • Ejemplo:

    • {a,b}{1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}

  • Note que los elementos (x, y) son pares ordenados: hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a)

  • En general: AB ≠ BA

Cuántos pares ordenados se pueden generar si el número de elementos de A y B son |A| y |B|?


Matem ticas discretas

Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C U.

a)

b)

c)

d)

Relaciones

El producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema.


Relaciones

Relaciones

  • Dados dos conjuntos A y B, una relaciónbinaria R de A en B es determinada por cualquier subconjunto R  AB

  • Se dice que “aRb” si y solo si (a, b)R

  • Si A=B, se dice que R es una relación binaria en A

Cuántas relaciones se pueden generar si el número de elementos de A y B son |A| y |B|?


Matem ticas discretas

EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como . Se trata de la conocida relación “es menor o igual que” para el conjunto de los enteros positivos,

Relaciones

Se observa que (7,7),(7,11)R, y (8,2)R, (7,11)R también se puede denotar como 7R 11; (8,2)R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación.


Matem ticas discretas

Relaciones

En general, para conjuntos finitos A, B donde |A| = my |B| = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación AB.


Ejemplo

Ejemplo

  • Sea U={1, 2, 3, …,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las siguientes son ejemplos de relaciones de A a B:

    • Ø

    • {(2, 4), (2, 5)}

    • {(2, 4), (3, 4), (4, 5)}

    • {(2, 4), (3, 4), (4, 4)}


Ejemplo1

Ejemplo

  • La relación de menor que < en el conjunto de números naturales N se describe por el conjunto:

    • {(0,1),(0,2),(1,2),(0,3),…}  NN

  • La relación de igualdad “=“ en R se define por el conjunto:

    • {(x, x) | xR}  RR


Propiedades de las relaciones

Propiedades de las relaciones

  • Una relación R en A es reflexiva si:

    • Si (a, a)  R para toda a  A

  • Una relación R en A es antireflexiva si:

    • Si (a, a)  R para toda a  A


Ejemplo2

Ejemplo

  • Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones R sobre A y determine si son reflexivas:

    • R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

      • No es reflexiva

    • R={(x, y)| x, y  A, x ≤ y}

      • Es reflexiva


Propiedades de las relaciones1

Propiedades de las relaciones

  • Una relación R en A es simétrica si:

    • Si (a,b)R entonces (b,a)R para todo a,bA

  • Una relación R en A es antisimétrica si:

    • Si (a,b)R y (b,a)R entonces a=b

  • Una relación R en A es transitiva si:

    • Si (a,b)R y (b,c)R entonces (a,c)R para todo a,bA


Ejemplo3

Ejemplo

  • Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A

    • R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}

      • Simétrica y no reflexiva

    • R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}

      • Reflexiva y no simétrica

    • R={(1,1),(2,3),(3,3)}

      • No Simétrica y no reflexiva


Ejemplo4

Ejemplo

  • Sea A={1, 2, 3, 4}

    • R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)}

      • Es una relación transitiva en A

    • R={(1,3),(3,2)}

      • No es transitiva


Ejemplo5

Ejemplo

  • Sea A={1, 2, 3}

    • R={(1,2),(2,1),(2,3)}

      • No simétrica y no antisimetrica

    • R={(1,1),(2,2)}

      • Simétrica y antisimetrica


Ordenamientos

Ordenamientos

  • Relaciones comunes tales como ≤ definen ordenamientos

  • Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva

  • (A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o poset si R es un ordenamiento parcial en A


Ejemplo6

Ejemplo

  • Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A dada por (x, y)  R si x divide exactamente a y

    • R es reflexiva?

    • R es transitiva?

    • R es antisimétrica?

    • Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A


Particiones

Particiones

  • Una partición de un conjunto A es un conjunto de subconjuntos {Aj} tal que:

    • AiAj =  para todo ij

    • A = jAj


Ejemplo7

Ejemplo

  • Sea A={1, 2, 3, …,10}, las siguientes son ejemplos de particiones de A:

    • A1={1, 2, 3, 4, 5}, A2={6, 7, 8, 9, 10}

    • A1={1, 3, 5, 7, 9}, A2={2, 4, 6, 8, 10}

    • A1={1, 2, 3}, A2={4, 6, 7, 9}, A3={5, 8, 10}

    • Ai={i, i+5}, 1 ≤ i ≤ 5


Funciones

Funciones

  • Una función f:AB del conjunto A a B es la relación fAB tal que cada aA está relacionada con un único b tal que (a,b)f

  • Notación f(a)=b, o f:a  b

  • A es el dominio de f y B es el codominio

  • El valor f(a)=b es la imagen de aA bajo f

  • El conjunto { f(a) | aA } es el rango de f


Ejemplo8

Ejemplo

  • Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}:

    • ¿Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B?

      • No

    • ¿Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B?

      • No

    • ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B?

      • Si


Composici n de funciones

Composición de funciones

  • Sean f: A  B y g: B  C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función:

    • (g o f): A  C tal que

    • Para todo a  A, (g o f)= g(f(a))


Tipos de funciones

Tipos de funciones

  • Una función es inyectiva o uno a uno si para cada x  A tiene una única imagen f(a):

    • Si f(x)=f(y) entonces x=y.

    • Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas

  • Sea f: R  R donde f(x)= 3x + 7 para toda x

    • Es una función uno a uno


Ejemplo9

Ejemplo

  • Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}.

  • ¿Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de A a B?

    • No


Tipos de funciones1

Tipos de funciones

  • Una función es sobre o suprayectiva si para cada yB existe al menos una xA tal que f(x)=y:

    • Si yB entonces existe una xA tal que f(x)=y

  • Sea f: R  R donde f(x)= x3 para toda x

    • ¿Es una función sobre o suprayectiva?

      • Si


Tipos de funciones2

Tipos de funciones

  • Una función es una biyección entre A y B si es una función uno a uno y suprayectica

  • Sea A={1, 2, 3 , 4} y B={w, x, y, z}.

    • ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección?

      • Si


Ejemplos

Ejemplos

  • La función lineal f: ZZ, definida por f(x)=x+2

    • Es inyectiva

    • Es suprayectiva

    • Es biyectiva


Composici n de funciones1

Composición de funciones

Si f: A->B y g:B->C, definimos la función compuesta que se denota g o f: A->C, como (g o f)(a)= g(f(a)), para cada a en A


Composici n de funciones2

Composición de funciones

  • Sea A={1,2,3,4}; B={a,b,c}; C={w,x,y,z}, con f: A->B; g: B->C, dadas por f={(1,a),(2,a), (3,b), (4,c)} y g={(a,x), (b,y), (c,z)}, calcule:

    • g o f (1)

    • g o f (2)

    • g o f (3)

    • g o f (4)


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