Marching cubes
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Marching Cubes. von Arnfried Weber. Überblick. Motivation Marching Cubes Algorithmus Topologisch korrekter MC Extended MC. Motivation. Marching Cubes (Wofür?). Motivation. Marching Cubes (Wofür?) Visualisierungstechniken (1987) waren entweder ineffizient oder zu ungenau. Motivation.

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Presentation Transcript
Marching cubes

Marching Cubes

von

Arnfried Weber


Berblick
Überblick

  • Motivation

  • Marching Cubes Algorithmus

  • Topologisch korrekter MC

  • Extended MC


Motivation
Motivation

  • Marching Cubes (Wofür?)


Motivation1
Motivation

  • Marching Cubes (Wofür?)

    • Visualisierungstechniken (1987) waren entweder ineffizient oder zu ungenau


Motivation2
Motivation

  • Marching Cubes (Wofür?)

    • Visualisierungstechniken (1987) waren entweder ineffizient oder zu ungenau

    • Technik zum extrahieren einer Oberfläche aus medizinischen 3D-Daten musste gefunden werden


Marching squares 2d
Marching Squares(2D)

  • Ni x Nj Dichteraster

  • Objekt liegt im Raster


Marching squares 2d1
Marching Squares(2D)

  • Ni x Nj Dichteraster

  • Objekt liegt im Raster

  • jeder Punkt besitzt einen gemessenen Dichtewert F(i,j) = [0,0…1,0]


Marching squares 2d2
Marching Squares(2D)

  • Ni x Nj Dichteraster

  • Objekt liegt im Raster

  • jeder Punkt besitzt einen gemessenen Dichtewert F(i,j) = [0,0…1,0]

  • Approximation des Linienzuges mit Dichtewert 0,5 := Isowert α


Marching squares 2d3
Marching Squares(2D)

Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert


Marching squares 2d4
Marching Squares(2D)

Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert


Marching squares 2d5
Marching Squares(2D)

Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert


Marching squares 2d6
Marching Squares(2D)

Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert


Marching squares 2d7
Marching Squares(2D)

Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert


Marching squares 2d8
Marching Squares(2D)

Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert


Marching squares 2d9
Marching Squares(2D)

Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert


Marching squares 2d10
Marching Squares(2D)

Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert


Marching squares 2d11
Marching Squares(2D)

Vorgehen

- Punkte mit größerer Dichte als Isowert werden markiert F(i,j) >= Isowert


Marching squares 2d12
Marching Squares(2D)

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?


Marching squares 2d13
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen


Marching squares 2d14
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen

  • Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung


Marching squares 2d15
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen

  • Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung


Marching squares 2d16
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen

  • Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung


Marching squares 2d17
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen

  • Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung


Marching squares 2d18
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen

  • Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung

- Reduktion der Konfigurationen auf 4 durch Rotationssymmetrie


Marching squares 2d19
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen

  • Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung

- Reduktion der Konfigurationen auf 4 durch Rotationssymmetrie


Marching squares 2d20
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen

  • Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung

- Reduktion der Konfigurationen auf 4 durch Rotationssymmetrie


Marching squares 2d21
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen

  • Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung

- Reduktion der Konfigurationen auf 4 durch Rotationssymmetrie


Marching squares 2d22
Marching Squares(2D)

  • Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Quadrates?- 2^4 = 16 , denn es gibt 4 Punkte mit je 2 Zuständen

  • Reduktion der Konfigurationen auf 8 durch Komplementbildung

- Reduktion der Konfigurationen auf 4 durch Rotationssymmetrie


Marching squares 2d23
Marching Squares(2D)

- Tabelle erstellen in der alle möglichen Konfigurationen gespeichert sind


Marching squares 2d24
Marching Squares(2D)

- Tabelle erstellen in der alle möglichen Konfigurationen gespeichert sind

- Nun erstellt man sich für ein Quadrat einen 4-Bit Vektor [v3,v2,v1,v0] mit v0,v1,v2,v3 € [0,1], der als Binärzahl aufgefasst einen Index zwischen 0 und 15 liefert, wobei markierte Punkte gleich 1, unmarkierte gleich 0 gesetzt werden


Marching squares 2d25
Marching Squares(2D)

- Tabelle erstellen in der alle möglichen Konfigurationen gespeichert sind

- Nun erstellt man sich für ein Quadrat einen 4-Bit Vektor [v3,v2,v1,v0] mit v0,v1,v2,v3 € [0,1], der als Binärzahl aufgefasst einen Index zwischen 0 und 15 liefert, wobei markierte Punkte gleich 1, unmarkierte gleich 0 gesetzt werden

- anhand dieses Index kann nun aus der Tabelle ermittelt werden welche Kanten

e0,e1,e2,e3 geschnitten werden


Marching squares 2d26
Marching Squares(2D)

  • Vorgehen

  • - nehme erstes Quadrat

  • - errechne Index für dieses

  • siehe in der Tabelle nach welche Schnitte auftreten

  • interpoliere entlang der Schnittkanten um die genauen Schnittpunkte zu errechnen

  • verbinde die Schnittpunkte


Marching squares 2d27
Marching Squares(2D)

  • Vorgehen

  • - nehme erstes Quadrat

  • - errechne Index für dieses

  • siehe in der Tabelle nach welche Schnitte auftreten

  • interpoliere entlang der Schnittkanten um die genauen Schnittpunkte zu errechnen

  • verbinde die Schnittpunkte

  • fahre mit nächstem Quadrat fort (marschiere)


Marching squares 2d28
Marching Squares(2D)

  • Vorgehen

  • - nehme erstes Quadrat

  • - errechne Index für dieses

  • siehe in der Tabelle nach welche Schnitte auftreten

  • interpoliere entlang der Schnittkanten um die genauen Schnittpunkte zu errechnen

  • verbinde die Schnittpunkte

  • fahre mit nächstem Quadrat fort (marschiere)- usw.


Marching cubes 3d
Marching Cubes(3D)

- 3-Dimensionales Raster Ni x Nj x Nk mit gemessenem Dichtewert an jedem Punkt F(i,j,k) = [0,0…1,0]


Marching cubes 3d1
Marching Cubes(3D)

- 3-Dimensionales Raster Ni x Nj x Nk mit gemessenem Dichtewert an jedem Punkt F(i,j,k) = [0,0…1,0]

- Statt Quadraten werden Würfel(Cubes) benutzt


Marching cubes 3d2
Marching Cubes(3D)

-Tabelle der verschiedenen Würfelkonfigurationen muss erstellt werden


Marching cubes 3d3
Marching Cubes(3D)

-Tabelle der verschiedenen Würfelkonfigurationen muss erstellt werden- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Würfels ?


Marching cubes 3d4
Marching Cubes(3D)

  • Tabelle der verschiedenen Würfelkonfigurationen muss erstellt werden- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Würfels ?

  • 2^8 = 256 , da es 8 Punkte mit je 2 Zuständen gibt


Marching cubes 3d5
Marching Cubes(3D)

  • Tabelle der verschiedenen Würfelkonfigurationen muss erstellt werden- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Würfels ?

  • 2^8 = 256 , da es 8 Punkte mit je 2 Zuständen gibt

  • durch Komplementbildung noch 128 verschiedene Konfigurationen


Marching cubes 3d6
Marching Cubes(3D)

  • Tabelle der verschiedenen Würfelkonfigurationen muss erstellt werden- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Würfels ?

  • 2^8 = 256 , da es 8 Punkte mit je 2 Zuständen gibt

  • durch Komplementbildung noch 128 verschiedene Konfigurationen

  • durch Rotationssymmetrie kann man die Zahl der Konfigurationen auf 15 reduzieren


  • Tabelle der verschiedenen Würfelkonfigurationen muss erstellt werden- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Markierungen eines Würfels ?

  • 2^8 = 256 , da es 8 Punkte mit je 2 Zuständen gibt

  • durch Komplementbildung noch 128 verschiedene Konfigurationen

  • durch Rotationssymmetrie kann man die Zahl der Konfigurationen auf 15 reduzieren


Marching cubes 3d7
Marching Cubes(3D)

  • auch hier wird der Tabellen-Index über die Markierungen des Würfels als Binärzahl aufgefasst dargestellt


Marching cubes 3d8
Marching Cubes(3D)

  • auch hier wird der Tabellen-Index über die Markierungen des Würfels als Binärzahl aufgefasst dargestellt

- die Tabelle liefert daraufhin die Kanten e1,…,e12 die geschnitten werden


Marching cubes 3d9
Marching Cubes(3D)

  • auch hier wird der Tabellen-Index über die Markierungen des Würfels als Binärzahl aufgefasst dargestellt

  • die Tabelle liefert daraufhin die Kanten e1,…,e12 die geschnitten werden

  • nun interpoliert man entlang der gelieferten Strecken die Schnittpunkte und verbindet diese zu Dreiecken wie in der Tabelle beschrieben


Marching cubes 3d10
Marching Cubes(3D)

  • auch hier wird der Tabellen-Index über die Markierungen des Würfels als Binärzahl aufgefasst dargestellt

  • die Tabelle liefert daraufhin die Kanten e1,…,e12 die geschnitten werden

  • nun interpoliert man entlang der gelieferten Strecken die Schnittpunkte und verbindet diese zu Dreiecken wie in der Tabelle beschrieben

  • nun „marschiert“ man zum nächsten Würfel und wiederholt den Vorgang


Marching cubes 3d11
Marching Cubes(3D)

- Nachdem man alle Würfel des Rasters bearbeitet hat erhält man ein Drahtgittermodell, das die Isofläche mit Isowert α approximiert


Marching cubes 3d12
Marching Cubes(3D)

  • Nachdem man alle Würfel des Rasters bearbeitet hat erhält man ein Drahtgittermodell, das die Isofläche mit Isowert α approximiert

  • als letztes werden nun noch die Normalen für jeden Dreiecks-Eckpunkt zur besseren Darstellung des Modells berechnet


Marching cubes 3d13
Marching Cubes(3D)

  • Nachdem man alle Würfel des Rasters bearbeitet hat erhält man ein Drahtgittermodell, das die Isofläche mit Isowert α approximiert

  • als letztes werden nun noch die Normalen für jeden Dreiecks-Eckpunkt zur besseren Darstellung des Modells berechnet

  • hierfür wird an allen Ecken des Würfels, der gerade betrachtet wird, der Gradient über die Differenz von zwei Dichtewerten entlang der drei Koordinatenachsen x,y,z, die den aktuell betrachteten Punkt F(i,j,k) einschließen, berechnet


Marching cubes 3d14
Marching Cubes(3D)

  • Nachdem man alle Würfel des Rasters bearbeitet hat erhält man ein Drahtgittermodell das die Isofläche mit Isowert α approximiert

  • als letztes werden nun noch die Normalen für jeden Dreiecks-Eckpunkt zur besseren Darstellung des Modells berechnet

  • hierfür wird an allen Ecken des Würfels, der gerade betrachtet wird, der Gradient über die Differenz von zwei Dichtewerten entlang der drei Koordinatenachsen x,y,z, die den aktuell betrachteten Punkt F(i,j,k) einschließen, berechnet G:x(i,j,k) = (F(i+1,j,k) - F(i-1,j,k)) / ∆x wobei F(i,j,k) den Dichtewert des G:y(i,j,k) = (F(i,j+1,k) - F(i,j-1,k)) / ∆y Punktes mit Koordinaten i,j,k G:z(i,j,k) = (F(i,j,k+1) - F(i,j,k-1)) / ∆z repräsentiert und ∆x, ∆y, ∆z die Länge

  • der Würfelkante entlang der jeweiligen Achse


Marching cubes 3d15
Marching Cubes(3D)

  • Nachdem man alle Würfel des Rasters bearbeitet hat erhält man ein Drahtgittermodell das die Isofläche mit Isowert α approximiert

  • als letztes werden nun noch die Normalen für jeden Dreiecks-Eckpunkt zur besseren Darstellung des Modells berechnet

  • hierfür wird an allen Ecken des Würfels, der gerade betrachtet wird, der Gradient über die Differenz von zwei Dichtewerten entlang der drei Koordinatenachsen x,y,z, die den aktuell betrachteten Punkt F(i,j,k) einschließen, berechnet G:x(i,j,k) = (F(i+1,j,k) - F(i-1,j,k)) / ∆x wobei F(i,j,k) den Dichtewert des G:y(i,j,k) = (F(i,j+1,k) - F(i,j-1,k)) / ∆y Punktes mit Koordinaten i,j,k G:z(i,j,k) = (F(i,j,k+1) - F(i,j,k-1)) / ∆z repräsentiert und ∆x, ∆y, ∆z die Länge

  • der Würfelkante entlang der jeweiligen Achse

- nun muss nur noch dIe Normale an jedem Schnittpunkt interpoliert und normalisiert werden


Topologisch korrekter mc
Topologisch korrekter MC

  • da bei der Bearbeitung eines Cubes seine Nachbarn nicht mit einbezogen werden, können topologische Inkonsistenzen (Löcher) im approximierten Drahtgittermodell des MC Algorithmuses auftreten


Topologisch korrekter mc1
Topologisch korrekter MC

  • da bei der Bearbeitung eines Cubes seine Nachbarn nicht mit einbezogen werden, können topologische Inkonsistenzen (Löcher) im approximierten Drahtgittermodell des MC Algorithmuses auftreten

  • bei diesem Beispiel entsteht ein Loch durch die Kombination des Würfels mit Konfiguration 6 und dem Würfel mit Komplement und 90° gedrehter Konfiguration 3


Topologisch korrekter mc2
Topologisch korrekter MC

  • für dieses Beispiel gibt es zwei Möglichkeiten wie die Würfel aussehen müssten um zusammenzupassen


Topologisch korrekter mc3
Topologisch korrekter MC

  • für dieses Beispiel gibt es zwei Möglichkeiten wie die Würfel aussehen müssten um zusammenzupassen

- im oberen Beispiel wurden die Schnittpunktverbindungen der Konfiguration 6 verändert- im unteren Beispiel die von der Konfiguration 3


Topologisch korrekter mc4
Topologisch korrekter MC

  • für dieses Beispiel gibt es zwei Möglichkeiten wie die Würfel aussehen müssten um zusammenzupassen

- im oberen Beispiel wurden die Schnittpunktverbindungen der Konfiguration 6 verändert- im unteren Beispiel die von der Konfiguration 3


Topologisch korrekter mc5
Topologisch korrekter MC

- diese gemeinsame Fläche besteht aus zwei diagonal gegenüberliegenden markierten Punkten und ist mehrdeutig, was die Verbindung der Schnittpunkte der Kanten angeht


Topologisch korrekter mc6
Topologisch korrekter MC

  • diese gemeinsame Fläche besteht aus zwei diagonal gegenüberliegenden markierten Punkten und ist mehrdeutig, was die Verbindung der Schnittpunkte der Kanten angeht

  • die zwei möglichen Begebenheiten für diese Fläche könnten wie folgt aussehen


Topologisch korrekter mc7
Topologisch korrekter MC

  • diese gemeinsame Fläche besteht aus zwei diagonal gegenüberliegenden markierten Punkten und ist mehrdeutig, was die Verbindung der Schnittpunkte der Kanten angeht

  • die zwei möglichen Begebenheiten für diese Fläche könnten wie folgt aussehen


Topologisch korrekter mc8
Topologisch korrekter MC

  • diese gemeinsame Fläche besteht aus zwei diagonal gegenüberliegenden markierten Punkten und ist mehrdeutig, was die Verbindung der Schnittpunkte der Kanten angeht

  • die zwei möglichen Begebenheiten für diese Fläche könnten wie folgt aussehen


Topologisch korrekter mc9
Topologisch korrekter MC

  • diese gemeinsame Fläche besteht aus zwei diagonal gegenüberliegenden markierten Punkten und ist mehrdeutig, was die Verbindung der Schnittpunkte der Kanten angeht

  • die zwei möglichen Begebenheiten für diese Fläche könnten wie folgt aussehen

  • durch bilineare Interpolation entlang der Fläche ist es nun möglich den Dichtewert am Schnittpunkt der Asymptoten der Hyperbelähnlichen Funktion mit dem Isowert zu vergleichen


Topologisch korrekter mc10
Topologisch korrekter MC

  • diese gemeinsame Fläche besteht aus zwei diagonal gegenüberliegenden markierten Punkten und ist mehrdeutig, was die Verbindung der Schnittpunkte der Kanten angeht

  • die zwei möglichen Begebenheiten für diese Fläche könnten wie folgt aussehen

  • wenn F(s,t) < α, dann liegt der linke Fall vor

  • wenn F(s,t) >= α, dann liegt der rechte Fall vor

  • durch bilineare Interpolation entlang der Fläche ist es nun möglich den Dichtewert am Schnittpunkt der Asymptoten der Hyperbelähnlichen Funktion mit dem Isowert zu vergleichen


Topologisch korrekter mc11
Topologisch korrekter MC

  • diese gemeinsame Fläche besteht aus zwei diagonal gegenüberliegenden markierten Punkten und ist mehrdeutig, was die Verbindung der Schnittpunkte der Kanten angeht

  • die zwei möglichen Begebenheiten für diese Fläche könnten wie folgt aussehen

  • im linken Fall sind die markierten Punkte auf der Fläche getrennt- im rechten Fall sind die markierten Punkte auf der Fläche verbunden

  • durch bilineare Interpolation entlang der Fläche ist es nun möglich den Dichtewert am Schnittpunkt der Asymptoten der Hyperbelähnlichen Funktion mit dem Isowert zu vergleichen


Topologisch korrekter mc12
Topologisch korrekter MC

  • nach dieser Feststellung muss nun die Tabelle der Konfigurationen angepasst werden

  • es sind zwar alle Konfigurationen an Markierungen in der Tabelle enthalten, jedoch gibt es Konfigurationen die mehrdeutige Flächen aufweisen


Topologisch korrekter mc13
Topologisch korrekter MC

  • nach dieser Feststellung muss nun die Tabelle der Konfigurationen angepasst werden

  • es sind zwar alle Konfigurationen an Markierungen in der Tabelle enthalten, jedoch gibt es Konfigurationen die mehrdeutige Flächen aufweisen

  • aus diesem Grund müssen diese Konfigurationen in mehrere Unterfälle gegliedert werden um die 2 Möglichkeiten pro mehrdeutiger Fläche abzudecken


Topologisch korrekter mc14
Topologisch korrekter MC

  • nach dieser Feststellung muss nun die Tabelle der Konfigurationen angepasst werden

  • es sind zwar alle Konfigurationen an Markierungen in der Tabelle enthalten, jedoch gibt es Konfigurationen die mehrdeutige Flächen aufweisen

  • aus diesem Grund müssen diese Konfigurationen in mehrere Unterfälle gegliedert werden um die 2 Möglichkeiten pro mehrdeutiger Fläche abzudecken

  • am Algorithmus selbst ändert sich nicht viel, man muss lediglich bei jeder Konfiguration die mehrdeutige Flächen aufweist, genau diese Flächen wie gezeigt testen und daran den Unterfall der Konfiguration bestimmen


Topologisch korrekter mc15
Topologisch korrekter MC

  • nach dieser Feststellung muss nun die Tabelle der Konfigurationen angepasst werden

  • es sind zwar alle Konfigurationen an Markierungen in der Tabelle enthalten, jedoch gibt es Konfigurationen die mehrdeutige Flächen aufweisen

  • aus diesem Grund müssen diese Konfigurationen in mehrere Unterfälle gegliedert werden um die 2 Möglichkeiten pro mehrdeutiger Fläche abzudecken

  • am Algorithmus selbst ändert sich nicht viel, man muss lediglich bei jeder Konfiguration die mehrdeutige Flächen aufweist, genau diese Flächen wie gezeigt testen und daran den Unterfall der Konfiguration bestimmen

  • die Konfigurationen, die mehrdeutige Flächen aufweisen, sind 3,6,7,10,12 und 13


Topologisch korrekter mc16
Topologisch korrekter MC

  • diese müssen nun wie folgt erweitert werden

  • Konfiguration 3 hat eine mehrdeutige Fläche und daher 2 verschiedene Möglichkeiten der Schnittpunktverbindungen


Topologisch korrekter mc17
Topologisch korrekter MC

  • diese müssen nun wie folgt erweitert werden

  • Konfiguration 3 hat eine mehrdeutige Fläche und daher 2 verschiedene Möglichkeiten der Schnittpunktverbindungen- Konfiguration 6 hat ebenfalls eine mehrdeutige Fläche und daher auch 2 Möglichkeiten


Topologisch korrekter mc18
Topologisch korrekter MC

  • diese müssen nun wie folgt erweitert werden

  • Konfiguration 3 hat eine mehrdeutige Fläche und daher 2 verschiedene Möglichkeiten der Schnittpunktverbindungen- Konfiguration 6 hat ebenfalls eine mehrdeutige Fläche und daher auch 2 Möglichkeiten- Konfiguration 7 hat 3 mehrdeutige Flächen und daher eigentlich 2^3 = 8 verschiedene Möglichkeiten, jedoch können auch hier durch Rotationssymmetrie einige Fälle weggelassen werden


Topologisch korrekter mc19
Topologisch korrekter MC

  • Konfiguration 10 hat 2 mehrdeutige Flächen und daher 4 verschiedene Möglichkeiten der Schnittpunktverbindungen


Topologisch korrekter mc20
Topologisch korrekter MC

  • Konfiguration 10 hat 2 mehrdeutige Flächen und daher 4 verschiedene Möglichkeiten der Schnittpunktverbindungen- Konfiguration 12 hat ebenfalls 2 mehrdeutige Flächen und daher auch 4 Möglichkeiten


Topologisch korrekter mc21
Topologisch korrekter MC

- bei Konfiguration 13 sind alle Flächen mehrdeutig und daher gibt es theoretisch 2^6 = 64 verschiedene Möglichkeiten, jedoch können auch hier durch Rotationssymmetrie einige Fälle weggelassen werden, so dass nur noch 9 übrigbleiben


Topologisch korrekter mc22
Topologisch korrekter MC

  • Cubes können nicht nur mehrdeutig auf einer Fläche sein, sondern auch mehrdeutig im Würfel selbst sein


Topologisch korrekter mc23
Topologisch korrekter MC

  • Cubes können nicht nur mehrdeutig auf einer Fläche sein, sondern auch mehrdeutig im Würfel selbst sein

  • dieser Fall kann auftreten, wenn zwei markierte Punkte sich im Cube diagonal gegenüberliegen, wie es zum Beispiel bei Konfiguration 4 der Fall ist


Topologisch korrekter mc24
Topologisch korrekter MC

  • Cubes können nicht nur mehrdeutig auf einer Fläche sein, sondern auch mehrdeutig im Würfel selbst sein

  • dieser Fall kann auftreten, wenn zwei markierte Punkte sich im Cube diagonal gegenüberliegen, wie es zum Beispiel bei Konfiguration 4 der Fall ist

  • auch in diesem Fall kann man nicht direkt sehen ob die markierten Punkte im Cube verbunden oder getrennt sind

  • um diese Tatsache zu entscheiden gibt es zwei verschieden Möglichkeiten


Topologisch korrekter mc25
Topologisch korrekter MC

- die zwei Möglichkeiten wie die Isofläche den Cube schneidet, können wie folgt aussehen


Topologisch korrekter mc26
Topologisch korrekter MC

- die zwei Möglichkeiten wie die Isofläche den Cube schneidet, können wie folgt aussehen

- bei der ersten Methode zum Entscheiden der internen Mehrdeutigkeit betrachtet man sich den Cube von oben und sieht sozusagen die Projektion der Isofläche


Topologisch korrekter mc27
Topologisch korrekter MC

- die zwei Möglichkeiten wie die Isofläche den Cube schneiden können wie folgt aussehen

  • bei der ersten Methode zum Entscheiden der internen Mehrdeutigkeit betrachtet man sich den Cube von oben und sieht sozusagen die Projektion der Isofläche

  • im ersten Fall erkennt man, dass keine Verbindung zwischen den markierten Punkten besteht

  • im zweiten Fall sieht man, dass ein

  • Schnitt der beiden Hyperbelähnlichen Funktionen vorliegt, und deshalb die Punkte im Cube verbunden sind


Topologisch korrekter mc28
Topologisch korrekter MC

  • die zweite Methode die interne Mehrdeutigkeit zu lösen geht über die trilineare Interpolation über den Cube


Topologisch korrekter mc29
Topologisch korrekter MC

  • die zweite Methode die interne Mehrdeutigkeit zu lösen geht über die trilineare Interpolation über den Cube

  • man nehme den Cube und unterteile ihn in verschiedene Ebenen


Topologisch korrekter mc30
Topologisch korrekter MC

  • die zweite Methode die interne Mehrdeutigkeit zu lösen geht über die trilineare Interpolation über den Cube

  • man nehme den Cube und unterteile ihn in verschiedene Ebenen


Topologisch korrekter mc31
Topologisch korrekter MC

  • die zweite Methode die interne Mehrdeutigkeit zu lösen geht über die trilineare Interpolation über den Cube

  • man nehme den Cube und unterteile ihn in verschiedene Ebenen


Topologisch korrekter mc32
Topologisch korrekter MC

  • die zweite Methode die interne Mehrdeutigkeit zu lösen geht über die trilineare Interpolation über den Cube

  • man nehme den Cube und unterteile ihn in verschiedene Ebenen- Annahme: die Punkte A0 und C1 sind im Cube verbunden


Topologisch korrekter mc33
Topologisch korrekter MC

  • die zweite Methode die interne Mehrdeutigkeit zu lösen geht über die trilineare Interpolation über den Cube

  • man nehme den Cube und unterteile ihn in verschiedene Ebenen- Annahme: die Punkte A0 und C1 sind im Cube verbunden also muss eine Ebene im Cube existieren auf der die beiden Punkte verbunden sind


Topologisch korrekter mc34
Topologisch korrekter MC

  • die zweite Methode die interne Mehrdeutigkeit zu lösen geht über die trilineare Interpolation über den Cube

  • man nehme den Cube und unterteile ihn in verschiedene Ebenen- Annahme: die Punkte A0 und C1 sind im Cube verbunden also muss eine Ebene im Cube existieren auf den die beiden Punkte verbunden sind

  • auf dieser Ebene kann nun wie schon bei den mehrdeutigen Flächen durch bilineare Interpolation der Dichtewerte geprüft werden, ob die Punkte im Cube verbunden oder getrennt sind


Topologisch korrekter mc35
Topologisch korrekter MC

  • auch in diesem Fall der Mehrdeutigkeit müssen die Konfigurationen in der Tabelle, die solch eine interne Mehrdeutigkeit aufweisen in mehrere Unterfälle gegliedert werden, dabei entstehen insgesamt 33 verschiedene Konfigurationen, daher auch der Name „Marching Cubes 33“ der genau diesen Algorithmus mit den beiden Lösungen für die interne Mehrdeutigkeit beschreibt.



Extended mc
Extended MC

- ein weiteres Problem des MC Algorithmus ist, dass er keine Kanten und Ecken erkennt und diese abschneidet


Extended mc1
Extended MC

- ein weiteres Problem des MC Algorithmus ist, dass er keine Kanten und Ecken erkennt und diese abschneidet- das liegt daran, dass der Algorithmus die Schnittpunkte auf den Würfelkanten mit Strecken verbindet


Extended mc2
Extended MC

- ein weiteres Problem des MC Algorithmus ist, dass er keine Kanten und Ecken erkennt und diese abschneidet- das liegt daran, dass der Algorithmus die Schnittpunkte auf den Würfelkanten mit Strecken verbindet


Extended mc3
Extended MC

  • ein weiteres Problem des MC Algorithmus ist, dass er keine Kanten und Ecken erkennt und diese abschneidet- das liegt daran, dass der Algorithmus die Schnittpunkte auf den Würfelkanten mit Strecken verbindet

  • in diesem Fall liegt ein skalares Distanzraster vor, dass die selben Ergebnisse erzielt wie ein Dichteraster


Extended mc4
Extended MC

  • zur ersten Verbesserung der Kantenerkennung wir ein gerichtetes skalares Distanzraster erstellt


Extended mc5
Extended MC

  • zur ersten Verbesserung der Kantenerkennung wir ein gerichtetes skalares Distanzraster erstellt

  • mit diesem Raster als Grundlage kann man erkennen, dass nun entlang jeder der drei Koordinatenachsen der richtige Schnittpunkt errechnet wird


Extended mc6
Extended MC

  • zur ersten Verbesserung der Kantenerkennung wir ein gerichtetes skalares Distanzraster erstellt

  • zum Vergleich: - links, der Originaldatensatz - in der Mitte, MC mit skalarem Distanzfeld - rechts, MC mit gerichtetem skalarem Distanzfeld



Extended mc8
Extended MC

  • zur weiteren Verbesserung ist ein neuer Punkt nötig, der nicht auf einer Kante liegt, sondern im Quadrat


Extended mc9
Extended MC

  • zur weiteren Verbesserung ist ein neuer Punkt nötig, der nicht auf einer Kante liegt, sondern im Quadrat

  • hierfür werden die Tangentialgeraden der Fläche, gegeben durch die Normalen, die an den Schnittpunkten anliegen, geschnitten um die Ecke durch einen neuen Punkt zu approximieren


Extended mc10
Extended MC

  • um nun zu entscheiden, ob eine solche Ecke vorhanden ist, wird der Winkel betrachtet, den die an den Schnittpunkten anliegenden Normalen aufspannen

  • es hat sich hier erwiesen, dass der Kosinus des Winkels kleiner sein sollte als 0.9,

  • um die Ecke neu zu samplen


Extended mc11
Extended MC

  • um nun zu entscheiden, ob eine solche Ecke vorhanden ist, wird der Winkel betrachtet, den die an den Schnittpunkten anliegenden Normalen aufspannen

  • es hat sich hier erwiesen, dass der Kosinus des Winkels kleiner sein sollte als 0.9,

  • um die Ecke neu zu samplen- um nun diese Anschauung ins 3-dimensionale zu übertragen, muss man berücksichtigen, dass nun Kanten und Ecken auftreten können


Extended mc12
Extended MC

  • um nun zu entscheiden, ob eine solche Ecke vorhanden ist, wird der Winkel betrachtet, den die an den Schnittpunkten anliegenden Normalen aufspannen

  • es hat sich hier erwiesen, dass der Kosinus des Winkels kleiner sein sollte als 0.9,

  • um die Ecke neu zu samplen- um nun diese Anschauung ins 3-dimensionale zu übertragen, muss man berücksichtigen, dass nun Kanten und Ecken auftreten können

  • um nun für einen Cube zu entscheiden, ob eine Ecke oder Kante vorliegt, ist analog zu dem 2-dimensinalen Beispiel.- hier wird für alle Normalen der interpolierten Schnittpunkte das Minimum der Winkel, die je von 2 Normalen aufgespannt werden , berechnet

  • ist der Kosinus des Winkels kleiner als 0.9 wird eine Ecke/Kante im Cube vermutet


Extended mc13
Extended MC

  • für die Erkennung, ob eine Kante oder Ecke vorliegt wird das Kreuzprodukt der Normalen gebildet die den größten Winkel aufspannen, und das Maximum aller Winkel zwischen den anderen Normalen der Schnittpunkte und dieser gebildet

  • ist der Kosinus dieses Winkels größer als 0.7 wir eine Ecke im anderen Fall eine durchgängige Kante erwartet


Extended mc14
Extended MC

  • für die Erkennung, ob eine Kante oder Ecke vorliegt wird das Kreuzprodukt der Normalen gebildet die den größten Winkel aufspannen, und das Maximum aller Winkel zwischen den anderen Normalen der Schnittpunkte und dieser gebildet

  • ist der Kosinus dieses Winkels größer als 0.7 wird eine Ecke im anderen Fall eine durchgängige Kante angenommen

  • jetzt ist es möglich mit Hilfe der Schnittgeraden der Tangentialebenen der Normalen eine Kante zu approximieren

  • - im anderen Fall ist es möglich unter weiterer zu Hilfenahme der Tangentialebene, der Normalen des zweiten Tests einen Eckpunkt zu approximieren


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