2 bachillerato de ciencias y tecnolog a bc2a bc2b curso 2012 2013
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Unidad 2: DETERMINANTES PowerPoint PPT Presentation


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2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología BC2A – BC2B Curso 2012-2013. Unidad 2: DETERMINANTES. ÍNDICE. Introducción Determinantes. Definiciones. Propiedades de los determinantes. Matriz adjunta e inversa. Rango de matrices por determinantes. Matrices con parámetros. Introducción.

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Unidad 2: DETERMINANTES

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2 bachillerato de ciencias y tecnolog a bc2a bc2b curso 2012 2013

2º Bachillerato de Ciencias y Tecnología

BC2A – BC2B

Curso 2012-2013

Unidad 2: DETERMINANTES


Ndice

ÍNDICE

  • Introducción

  • Determinantes. Definiciones.

  • Propiedades de los determinantes.

  • Matriz adjunta e inversa.

  • Rango de matrices por determinantes.

  • Matrices con parámetros.


Introducci n

Introducción

  • Idea fundamental

  • Un poco de historia


Introducci n1

Introducción

FUNDAMENTAL: El determinante es un número real


Introducci n2

Introducción

Un poco de historia:

  • En 1693, Leibnizt usa la noción de determinantes en sistemas de ecuaciones

  • En 1772, Vandermonde usa los determinantes de forma independiente a los sistemas de ecuaciones.

  • En 1812, Cauchy inicia el desarrollo de la teoría de determinantes que actualmente conocemos.

  • En 1855, Cayley hace notar que la noción de matriz es posterior a la de determinante en un siglo.


Determinantes definiciones

Determinantes. Definiciones

  • De orden 1

  • De orden 2

  • De orden 3: Sarrus y desarrollo por una línea

  • De orden superior a 3


1 a determinante de orden 1

1.a.- Determinante de orden 1

  • 1.b.- Determinante de orden 2


1 c determinante de orden 3 sarrus

1.c.- Determinante de orden 3 - Sarrus

  • “Es la suma de todos los posibles productos de tres elementos de la matriz en los que haya:

    • un elemento de cada fila y uno de cada columna

    • con signo + ó – según el tipo de permutación de los segundos subíndices (j) respecto de los primeros (i)”


1 c determinante de orden 3 desarrollo por una l nea

1.c.- Determinante de orden 3 - Desarrollo por una línea


1 c determinante de orden 3 desarrollo por una l nea1

1.c.- Determinante de orden 3 - Desarrollo por una línea

Esto es el desarrollo por la primera fila, podría hacerse por cualquier fila y por cualquier columna


1 c determinante de orden 3 definiciones

1.c.- Determinante de orden 3 - Definiciones

Matriz complementaria del elemento

Menor complementario del elemento

Adjunto del elemento


1 c determinante de orden 3 definiciones1

1.c.- Determinante de orden 3 - Definiciones

Matriz complementaria del elemento

Menor complementario del elemento

Adjunto del elemento


1 d determinante de orden superior a 3

1.d.- Determinante de orden superior a 3

Para un determinante de orden n hay n! sumandos

En la práctica no se usa esta definición,

en su lugar se aplica

“El determinante de una matriz es igual a la suma de todos los elementos de una línea multiplicados por sus adjuntos correspondientes”.


Propiedades de los determinantes

Propiedades de los determinantes

  • Relativas a operaciones

  • Relativas a la dependencia lineal

  • Relativas al cálculo

  • Cálculo práctico


2 a relativas a operaciones

2.a.- Relativas a operaciones


2 a relativas a operaciones1

2.a.- Relativas a operaciones


2 a relativas a operaciones2

2.a.- Relativas a operaciones


2 a relativas a operaciones3

2.a.- Relativas a operaciones


2 b relativas a dependencia lineal

2.b.- Relativas a dependencia lineal


2 c relativas al c lculo

2.c.- Relativas al cálculo


2 c relativas al c lculo1

2.c.- Relativas al cálculo


2 d c lculo pr ctico

2.d.- Cálculo práctico


Matriz adjunta e inversa

Matriz adjunta e inversa

  • Definición: matriz adjunta

  • Propiedad: producto

  • Propiedad: existencia de la inversa

  • Calculo de la inversa por determinantes


Definici n de matriz adjunta

Definición de matriz adjunta


Definici n de matriz adjunta1

Definición de matriz adjunta


Definici n de matriz adjunta2

Definición de matriz adjunta


Propiedad producto por la adjunta traspuesta

Propiedad: producto por la adjunta traspuesta


Propiedad producto por la adjunta traspuesta1

Propiedad: producto por la adjunta traspuesta


Propiedad existencia de la inversa

Propiedad: Existencia de la inversa


Propiedad existencia de la inversa1

Propiedad: Existencia de la inversa


Rango por determinantes

Rango por determinantes

  • Definición de rango

  • Definición de menor de orden k

  • Cálculo práctico (“orlar”)

  • Propiedades del rango


Definici n de rango

Definición de rango

  • Rango de una matriz cualquiera es el máximo número de filas (o columnas) linealmente independientes.

  • Rango de una matriz escalonada por filas es el número de filas no nulas.

    AHORA

  • Rango de una matriz cualquiera es el orden del mayor menor no nulo de la matriz


Definici n de menor de orden k

Definición de menor de orden k

  • Definición:Dada una matriz A se llama menor de orden k de A al determinante de cualquier matriz formada por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de A.

  • IMPORTANTE: para cualquier matriz se cumple que k <= min( m, n )


Definici n de menor de orden k1

Definición de menor de orden k

  • Definición:Dada una matriz A se llama menor de orden k de A al determinante de cualquier matriz formada por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de A.

  • IMPORTANTE: para cualquier matriz se cumple que k <= min( m, n )


Definici n de menor de orden k2

Definición de menor de orden k

  • Definición:Dada una matriz A se llama menor de orden k de A al determinante de cualquier matriz formada por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de A.

  • IMPORTANTE: para cualquier matriz se cumple que k <= min( m, n )


C lculo pr ctico orlar

Cálculo práctico (“orlar”)

  • Nota:”Orlar” = “poner alrededor”

Buscamos un menor de orden 2 no nulo, supongamos

  • Orlamos este menor con la 3ª fila y sucesivamente con las columnas 3ª, 4ª, 5ª,…


C lculo pr ctico orlar1

Cálculo práctico (“orlar”)

  • Si todos son nulos quiere decir que la 3ª fila es combinación lineal de las dos primeras y entonces pasaríamos a la 4ª fila

  • Pero si alguno es distinto de cero, por ejemplo:

  • Orlamos el menor anterior con la siguiente fila

  • Continuamos el proceso hasta:

    • Completar todas las filas

    • Encontrar un menor de orden k = min( m, n ) no nulo


C lculo pr ctico orlar2

Cálculo práctico (“orlar”)

  • Orlamos este menor con la 3ª fila y sucesivamente con las columnas 3ª, 4ª, 5ª,…

  • Por tanto, la 3ª fila es linealmente dependiente de las dos primeras.

  • Orlamos el menor de orden 2 anterior con la 4ª fila, y tenemos como primer menor de orden 3:


C lculo pr ctico orlar3

  • con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3

Cálculo práctico (“orlar”)

  • Con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3

  • Pasamos a orlar este menor no nulo con la fila 4ª para ver si el menor de orden 4 es nulo o no…


C lculo pr ctico orlar4

  • con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3

Cálculo práctico (“orlar”)

  • Con lo cual no es necesario hacer el resto de menores de orden 3


Propiedades del rango

Propiedades del rango

Si el rango de A es k todos los menores de orden mayor que kson nulos

Si el rango de A es k las k filas y las k columnas del menor no nulo de orden k son linealmente independientes (líneas principales)

Todas las líneas no principales dependen linealmente de las líneas principales

OBSERVACIÓN: las líneas principales de una misma matriz pueden ser diferentes, pero siempre serán iguales en número


Matrices con par metros

Matrices con parámetros

  • Página 45, actividad resuelta número 17.

  • Página 51, actividad resuelta (PAU) número 6.

  • Página 54, actividad número 22, que resolvemos a continuación:

    EJEMPLO:

    • Halla el rango de la siguiente matriz en función de los valores del parámetro a.

    • Halla, si existe, la matriz inversa de A en los casos a=0 y a=1


Matrices con par metros ejemplo

Matrices con parámetros - EJEMPLO

Como es una matriz cuadrada, en vez de orlar, hacemos directamente


Matrices con par metros ejemplo1

Matrices con parámetros - EJEMPLO

Caso 1:

Caso 2:

Caso 3:


Matrices con par metros ejemplo2

Matrices con parámetros - EJEMPLO

En cuanto a la segunda parte sólo puede existir inversa en el caso de a=0


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