Gebruiken

1. Gebruiken

2. Opdracht 2 Deadline: Vandaag, om 12u!

3. Redeneren Verwerven Voorstellen Gebruiken Waar zijn we nu?

4. ? Blokjeswereld Blokjes: A, B, C Greep G die één blokje kan verplaatsen Wat moeten we doen om het doel te bereiken?

5. Gebruiken van kennis om een doel te bereiken: planning • Kennis: • I: initiële toestand(en) • D: doeltoestand(en) • acties (overgangregelstussen de toestanden) • Vind: een plan = lineaire reeks acties die van (een van) I naar (een van) D leiden • een pad in een toestandsruimte

6. Aannames: klassiek planning • Toestandsruimte is • eindig • discreet • zichtbaar • we hebben een volledige kennis over het toestand • Toestandovergangen zijn • deterministisch • veroorzaakt alleen door het plan • momenteel

7. Blokjeswereld: predicaten • Blokjes • opTafel(X), op(X,Y), vrij(X) • Greep • leeg(X) • Greep en blokje • houdtVast(X,Y) • Geen functiesymbolen

8. Blokjeswereld • Verzameling van atomen zonder variabelen • Acties: naam + parameters {opTafel(A), opTafel(B), op(C, A), leeg(G), vrij(C), vrij(B)}

9. Naïeve aanpak • Probeer alle mogelijke overgangen totdat het doel bereikt is!

10. Beter idee: voor iedere actie • naam: zetNeerOpTafel(X, Y) • parameters: X (greep), Y (blokje) • literaal: atoom of negatie van een atoom • pre: verzameling van literalen • {houdtVast(X,Y)} • effect : verzameling van literalen • {houdtVast(X,Y), leeg(X), vrij(Y),opTafel(Y)}

11. Toepassing van acties • Voor een verzameling literalen : • + - deelverzameling van atomen • - - deelverzameling van de negaties van atomen • Actie a is toepasbaar op toestand s als • pre+(a)  s, pre-(a)  s =  • Toepassing van a op s is (s,a) = s \ effect-(a)  effect+(a)

12. Plan • Plan  = <a1, …, an> • a1, …, an zijn acties • (s,<a1, …, an>) = • s, als n = 0 • ((s, a1), <a2, …, an>), als n > 0 en a1 toepasbaar is op s •  is toepasbaar op s als (s,) gedefinieerd is

13. Vlugge Vraag • (s) = { |  is toepasbaar op s} (s) = {(s,) |   (s)} Welke stelling is waar? • (s) is een eindige verzameling • (s) is een eindige verzameling • A en B zijn waar • Nog A nog B is waar

14. Plan • Gegeven I en D, er bestaat een plan als • Dus, bereken (s) voor alle sI en controleer (*) (*) 

15. Het bestaan van een plan • Toestandsruimte is eindig • het bestaan van een plan is beslisbaar • Gegeven verzameling acties • Zonder negatieve effecten • met negatieve pre: NP • alleen positieve pre: P • Met negatieve effecten: PSPACE

16. ALC, neg eff pos eff, pos pre pos eff, pos/neg pre SHOIN PSPACE NP RE NEXPTIME EXPTIME P coNP coRE ALL

17. Plan: Voorwaarts zoeken Invoer: A, I, D Uitvoer:  Kies s uit I  := lege plan Herhaal Als sD, stop,  is een oplossing Anders, Kies (niet deterministisch) aA toepasbaar op s Als er geen zijn, faal Anders, s := (s,a)  := .a

18. Vlugge Vraag • I = {{waarde(v1,’Ma’), waarde(v2,’Di’), waarde(v3,’Wo’)}} • D = {{waarde(v1,’Di’), waarde(v2,’Ma’}} • A = {toekenning(v,w,x,y) | v,w{v1,v2,v3}, x,y  {‘Ma’,’Di’,’Wo’}}, waar • naam: toekenning(v,w,x,y) • pre: waarde(v,x), waarde(w,y) • effect: waarde(v,x), waarde(v,y) • Wat is het minimale aantal stappen die “V.z.” nodig heeft om een plan te vinden?

19. Vlugge Vraag Eindigheid van het “voorwaarts zoeken” is niet gegarandeerd: Hoe passen jullie het algoritme aan om dit probleem te vermijden?

20. Plan: Achterwaarts zoeken Invoer: A, I, D Uitvoer:  Kies s uit D  := lege plan Herhaal Als sI, stop,  is een oplossing Anders, Kies aA relevant is voor s Als er geen zijn, faal Anders, s := -1(s,a)  := a.

21. Relevant? -1? • Herh: actie a is toepasbaar op toestand s als • pre+(a)  s, pre-(a)  s =  • Actie a is relevant op toestand s als • effect+(a)  s ≠ , effect-(a)  s =  • Herh:toepassing van een toepasbare a op s is (s,a) = s \ effect-(a)  effect+(a) • Regressie van s voor a is  -1(s,a) = s \ effect(a)  pre(a)

22. Vlugge Vraag Als de niet deterministische keuze alle mogelijkheden doorloopt, dan • vindt “voorwaarts zoeken” alle plannen. • vindt “achterwaarts zoeken” alle plannen. • A en B zijn waar. • nog A nog B is waar.

23. Probleem • Zoekruimte kan enorm zijn • Doel: • zoekruimte verkleinen • maar dan kunnen we ook sommige plans missen… • volledigheid wordt opgeofferd

24. Achterwaarts – volledigheid = STRIPS (1) Kies s uit D (2)  := lege plan (3) Herhaal (4) Als sI, stop,  is een oplossing (5) Anders, (6) Kies aA relevant voor s (7) Als er geen zijn, faal (8) Anders, (9) D’ := alle toestanden z.d. pre(a) geldt (10) ’:= STRIPS(I,A,D’) (11) Als ’ faalt, faal (12) Anders (13) s := ((s, ’),a) (14)  := . ’.a

25. ? Vlugge Vraag • Acties: blokje nemen, blokje neerzetten. • Hoeveel stappen telt door STRIPS gevonden plan voor?

26. Antwoord… KBS/planningVideo.avi

27. STRIPS vs. Achterwaarts zoeken • Recursieve oproep: één onderdeel van de doel-conjunctie. • Eenmaal ’ gevonden is, kan die niet meer herzien worden. • Beide: • beperken de zoekruimte • maar leiden tot onvolledigheid

28. Probleem met STRIPS 3 1 2 5 4 Wij moeten het torentje afbreken om verder te gaan!

30. Andere aanpakken • Reducties • SAT: vervulbaarheid van prepositionele formules • CSP veralgemening van SAT voor domeinen andere dan {false, true} • Planninggrafen • Heuristieken • en veel meer!

31. Reductie naar SAT • SAT: vervulbaarheid van CNF formules • CNF: C1 …  Cn • Ci: D1,i  …  D mi,i • D: x of x • x – variabel • SAT is NP-volledig • Twee praktisch efficiënte algoritmen

32. Reductie naar SAT Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen Oplossen Plan extraheren Variabel- toekenning

33. Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen • Atoom  uniek variabel • opTafel(A)  xopTafel(A). • Toestand  conjunctie van variabelen voor de geldige atomen • xopTafel(A)  xopTafel(B)  xop(C,A)  …

34. Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen • xopTafel(A) betekent dat xop(A,B)  xop(A,C). • Hoe kunnen we het coderen? • Toestand = conjunctie • van variabelen voor de geldige atomen • van negaties van variabelen voor de niet geldige atomen

35. Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen Vlugge Vraag • Hoeveel conjuncten telt de voorstelling van {opTafel(A), opTafel(B), op(C, A), vrij(C), vrij(B)} als er geen andere predicaten en constanten zijn? A. 6 B. 13 C. 20

36. Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen • Maar, wat betekent xopTafel(A)? • nu? morgen? • Stel dat onze plan n stappen telt… • uniek variabel per atoom en stap! • dus: x(opTafel(A), 0), …, x(opTafel(A), n)

37. Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen • Initiële toestand: alle variabelen in 0. • x(opTafel(A), 0)  x(opTafel(B), 0)  x(opTafel(B), 0)  … • Doeltoestand • x(op(A,B), n)  x(op(B,C), n)  x(op(B,A), n)  … • Acties: unieke variabel per actie en per stap: • ai  (pi  ei+1) • p  pre(a), e  effect(a)

38. Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen Vlugge Vraag • zetNeerOpTafel(greep, blokje) • Hoeveel variabelen hebben we nodig om deze actie voor te stellen? A. n B. 2n C. 3n

39. Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen • Initiële en doeltoestanden en acties • het is niet voldoende! • Twee extra eisen: • er is maar één actie per stap • atomen die niet bij de effecten horen veranderen niet

40. Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen • Een actie per stap • Voor alle acties a, b en alle 0  i  n-1: ai  bi • Raamaxioom: atomen die niet bij de effecten horen veranderen niet • x(atoom, i)  x(atoom, i+1)  ( ai)  x(atoom, i)  x(atoom, i+1)  ( bi). • a z.d. atoom  effect+(a) • b z.d. atoom  effect-(b)

41. CNF • Planningprobleem: initiële toestanden  doeltoestanden  acties  een actie per stap  raamaxioom coderen

42. Vlugge Vraag • Aanname: plan heeft n stappen. Hoe weten we wat n is? 1. Als we een plan van lengte n weten te vinden, hoe kunnen we alle plannen vinden die niet langer zijn dan n?

43. Vlugge Vraag • Aanname: plan heeft n stappen. Hoe weten we wat n is? 2. Als we alle plannen kunnen vinden die niet langer zijn dan n, hoe vinden we alle plans? Wat is de maximale lengte van een plan?

44. Reductie naar SAT Invoer: Acties, Initiële Toestanden, Doeltoestanden CNF coderen Oplossen Plan extraheren Variabel- toekenning

45. Hoe los je SAT op? • Davis-Putnam • voor een probleem van lengte n • geeft een oplossing desda een oplossing bestaat • Stochastische procedure • “desda” geldt niet • soms beter geschikt voor grotere problemen

46. Davis Putnam (1) • Opmerking 1: x  (x  y  z) • x is true en (y  z) • Opmerking 2: x  (x  y  z) • x is false • Opmerking 3: (x  y)  (x  z) • of x is true en z • of x is false en y

47. Davis Putnam (2) Davis-Putnam(, oplossing) •  = true  return oplossing •  = false  fail •  = x  ’  Davis-Putnam(’[x/true], oplossing  {x/true}) •  = x  ’  Davis-Putnam(’[x/false], oplossing  {x/false}) • anders kies een variabel y in , • Davis-Putnam(y  , oplossing) • Davis-Putnam(y  , oplossing)

48. Davis Putnam: Boom x  (x  y  z)  (x  y  z)  (x  y  z)  (x  y) {x/true} (y  z)  ( y  z)  (y  z) y  (y  z)  ( y  z)  (y  z) y  (y  z)  ( y  z)  (y  z) {y/true} {y/false} z  z z {z/false} {z/false} fail true

49. Vlugge Vraag • Wat is de maximale diepte van zo’n Davis Putnam boom?

50. Davis Putnam: voor- en nadelen • Een oplossing wordt gevonden desda er een bestaat. • Zoekproces kan te lang duren