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Espacio métrico 2º Bachillerato - PowerPoint PPT Presentation


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Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM). Espacio métrico 2º Bachillerato. El ángulo de dos rectas que se cortan es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales.

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Presentation Transcript

Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Espacio métrico

2º Bachillerato


Ngulo entre dos rectas

El ángulo de dos rectas que se cortan partir de los materiales utilizados en el centro es el menor de los ángulos que forman sus vectores direccionales.

El ángulo de dos rectas que se cruzan es el ángulo formado por dos rectas secantes paralelas a las dadas.

Ángulo entre dos rectas


Ngulo entre dos rectas expresi n anal tica condiciones de perpendicularidad y paralelismo

|aa' partir de los materiales utilizados en el centro

+

bb'

+

cc'|

Ù

cos (

r

,

s

) =

2

2

2

2

2

2

a

+

b

+

c

a'

+

b'

+

c'

Ángulo entre dos rectas: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo

Condición de perpendicularidad

Condición de paralelismo


Ngulo entre dos planos

Definición: partir de los materiales utilizados en el centro El ángulo de dos planos secantes a y bes el menor de los ángulos diedros que determinan. Su medida coincide con el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un punto cualquiera.

Ángulo entre dos planos


Ngulo de dos planos expresi n anal tica condiciones de perpendicularidad

Ù partir de los materiales utilizados en el centro

|AA'

+

BB'

+

CC'|

a

b

cos (

,

) =

2

2

2

2

2

2

A

+

B

+

C

A'

+

B'

+

C'

//β

Ángulo de dos planos: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad

Si a y b son dos planos cualesquiera a: Ax + By + Cz + D = 0 y

b: A'x + B'y + C'z + D' = 0. Entonces:

Condiciones de perpendicularidad

Condiciones de paralelismo


Ngulo entre recta y plano

Ángulo entre recta y plano partir de los materiales utilizados en el centro

Definición: El ángulo de una recta r y un plano a es igual al ángulo que forma la recta r con la proyección ortogonal, r', de r sobre a.


Ngulo entre recta y plano expresi n anal tica condiciones de perpendicularidad y paralelismo

Ù partir de los materiales utilizados en el centro

|aA

+

bB

+

cC

|

a

sen (

r

,

) =

2

2

2

2

2

2

a

+

b

+

c

A

+

B

+

C

Ángulo entre recta y plano: expresión analítica. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo

Condiciones de perpendicularidad

Condiciones de paralelismo


Proyecci n ortogonal
Proyección ortogonal partir de los materiales utilizados en el centro

1

2

Punto sobre plano

Recta sobre plano

P pertenece p

r incluida p

P no pertenece p

r no incluida p


Distancia entre dos puntos

A(x partir de los materiales utilizados en el centro 1, y1, z1)

Distancia entre dos puntos

• B(x2, y2, z2)

La distancia entre dos puntos es el módulo del vector AB


Distancia entre punto y plano

® partir de los materiales utilizados en el centro

®

®

®

®

®

A

P

n

=

A

Q

n

+

QP

n

·

·

·

a

a

a

a

a

= 0

Dado P(x1, y1, z1) (un punto) y  (un plano), se define la distancia punto-plano, d(P, ), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de P sobre el plano.

Distancia entre punto y plano

Según la definición anterior: d(P, a) = d(P, Q)

y si Aa(x0, y0, z0)


Distancia entre dos planos paralelos

d(P partir de los materiales utilizados en el centro a,b) =

Como P cumple su ecuación

Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0

Distancia entre dos planos paralelos

La distancia entre dos planos paralelos es igual a la distancia de un punto cualquiera de un plano al otro plano.

d(a, b) = d(Pa, b) = d(Pb, a)

(x1, y1, z1)

Ax+By+Cz+D=0

A’x+B’y+C’z+D’=0


Distancia entre punto y recta

(x partir de los materiales utilizados en el centro 1, y1, z1)

(xo, yo, zo)

= 0

(a, b, c)

Distancia entre punto y recta

Dado P (un punto) y r (una recta), se define la distancia punto recta, d(P, r), como la longitud del segmento PQ, en donde Q es la proyección ortogonal de Q sobre la recta.

Según la definición anterior: d(P, r) = d(P, Q)


Distancia entre dos rectas paralelas

s partir de los materiales utilizados en el centro

Distancia entre dos rectas paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra.

d(r, s) = d(Pr, s) = d(Qs, r)


Distancia entre dos rectas que se cruzan

La distancia entre dos rectas r y s que se cruzan es la existente entre el plano paralelo a r que pasa por s y el plano paralelo a s que pasa por r.

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Partiendo de la figura

  • d(r, s) = d(As, a)=d(Ar, b)

Y nos quedará:

Esto nos da la altura del paralelepípedo (volumen/ área)


Perpendicular com n i

p partir de los materiales utilizados en el centro

As

s

r

Ar

  • Se observa que

  • a (Ar, ur, urx us)

  • b (As, us, urx us)

urx us

us

us

ur

La perpendicular común a dos rectas no paralelas es la recta que corta ortogonalmente a cada una de ellas.

Perpendicular común (I)

  • La recta p, perpendicular común, queda determinada por el corte de los planos a y b.

b

a


Perpendicular com n ii

p partir de los materiales utilizados en el centro

us

Ps

s

Pr

r

vr

El vector PrPses ortogonal a los vectores u y v, luego

Perpendicular común (II)

La distancia entre las dos rectas, viene dada por la distancia entre los puntosPr y Ps situados uno sobre cada una de las rectas y en la perpendicular común

El punto Pr tendrá por coordenadas genéricas las correspondientes a las ecuaciones paramétricas de la recta r: Pr = (x1 + t u1, y1 + t u2, z1 + t u3)

Análogamente las coordenadas del punto de Ps serán: Ps = (x2 + s v1, y2 +s v2, z2 + s v3)

Se obtiene así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas t y s que permiten conocer los puntos y luego su distancia.

A partir de ellos se puede escribir la ecuación de la perpendicular común.


Reas de paralelogramos y tri ngulos

partir de los materiales utilizados en el centro

S(ABCD) = | AB x AC |

S(ABC) = |AB x AC|

1

2

Áreas de paralelogramos y triángulos

Paralelogramos

Triángulos


Volumen de paralelep pedos y tetraedros

partir de los materiales utilizados en el centro

V = |det (AB, AC, AD)|

1

2

Base = S(ABC) = |AB x AC|

Altura = h = |AD| cos(AD, h)

1

6

1

6

V= |AD · (AB x AC)| = |det (AB, AC, AD)|

Paralelepípedo

Volumen de paralelepípedos y tetraedros

Tetraedro

Por ser una pirámide: V = (1/3) · base ·altura

Por tanto:


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