2014 년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

1. 이산수학(Discrete Mathematics) 비둘기 집 원리 (The Pigeonhole Principle) 2014년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

2. Pigeonhole Principle (비둘기 집 원리) The Pigeonhole Principle A.k.a.(as known as) Dirichlet drawer principle(또한, “디리크레의 서랍 원리”라고도 알려짐) If ≥k+1 objects are assigned to k places, then at least 1 place must be assigned ≥2 objects.(k+1개의 객체(비둘기)가 k개의 장소(상자, 비둘기 집)에 배분된다면, 적어도 한 곳은 두 개 이상의 객체가 배분된다.) In terms of the assignment function: If f:A→B and |A|≥|B|+1, then some element of B has ≥2 preimages under f. That is, f is not one-to-one.

3. Examples of Pigeonhole Principle (1/3) The Pigeonhole Principle • 예제(생일 문제):367명의 사람이 있다면 적어도 두 명은 생일이 같다. • 가능한 생일은 366개이고, 사람이 이보다 하나 많다. • 장소(생일)는 366개인데, 객체(사람)는 367이므로, 적어도 두 명은 생일이 같게 된다. • 예제(성적 부여 문제):0점에서 100점까지 1점 단위로 채점을 하게 되었을 때, 적어도 두 명의 학생이 점수가 같다 하면, 학생은 몇 명이 있어야 하는가? • 가능한 점수(장소)는 0, 1, …, 99, 100의 101개이고, • 점수에 할당되는 학생(객체)이 102명이면, 두 명은 점수가 같게 된다.

4. Examples of Pigeonhole Principle (2/3) The Pigeonhole Principle • 예제(n의 배수 문제): • 정리: 모든 정수 n에 대해서, n의 배수 중에는 0과 1만을 포함하는 십진수가 반드시 존재한다. • n을 양의 정수라 하고, • n+1개의 정수 1, 11, 111, …, 111  1(1이 n+1개)가 있다고 하자. • 어떤 정수를 n으로 나누었을 때, 가능한 나머지의 개수는 최대 n개이다.(나머지의 가능한 범위는 0 ~ n-1 이므로) • 따라서, 비둘기 집 원리에 의해 상기 n+1개의 정수 중에서 적어도 두 수는 나머지가 같게 된다. 이들 두 수를 각각 x와 y라 하자(x > y). • 이 두 수 x와 y의 차를 z(= x – y)라 했을 때, z는 n으로 나누어 떨어지고, 이 수는 0과 1로만 표현된다. (x%n = y%n이므로, z%n = 0이 된다.) • Please refer to an example in the next slide.

5. Examples of Pigeonhole Principle (3/3) The Pigeonhole Principle • Let n = 3. Consider 1, 11, 111, 1111. • 1 % 3 = 1 • 11 % 3 = 2 • 111 % 3 = 0 • 1,111 % 3 = 1 • 1,111 – 1 = 1,110 = 370 x 3 • It has only 0’s and 1’s in its expansion. • 1,110 mod 3 = 0, so it’s a multiple of 3.

6. Generalized Pigeonhole Principle (G.P.P.) The Pigeonhole Principle • If N objects are assigned to k places, then at least one place must be assigned at least N/k objects.(N개의 객체가 k개 장소에 배정된다면, 적어도 한 곳은 N/k개 객체를 가진다.) • E.g., there are N=280 students in this class. (학생 280명)There are k=52 weeks in the year. (한 해는 52주) • Therefore, there must be at least 1 week during which at least 280/52= 5.38=6 students in the class have a birthday. • (일반화된 비둘기 집 원리에 의해서)최소 6명의 학생은 같은 주에 생일이 들어 있게 된다.

7. So, there are less than N objects,which contradicts our assumption of N objects! □ Proof of G.P.P. – skip The Pigeonhole Principle • By contradiction.Suppose every place has < N/k objects, that is, suppose every place has ≤ N/k−1 objects. • Then the total number of objects is at most

8. G.P.P. Examples (1/3) The Pigeonhole Principle • 예제(생일이 같은 달…):100명 중에서 적어도 몇 명은 같은 달에 태어났다고 볼 수 있는가? • 100/12 = 9명 • 적어도 9명은 태어난 달이 같게 된다.

9. G.P.P. Examples (2/3) The Pigeonhole Principle • 예제(카드 문제):52장의 카드에서 적어도 3장은 같은 무늬가 나오는 것을 보장하기 위해서는 몇 장의 카드를 선택해야 하는가? • 2 x 4 + 1 = 9장 • 8장을 선택하면, 최악의 경우에 같은 무늬가 두 장씩이고, 여기에 한 장만 추가하면, 적어도 세 장은 같은 무늬가 된다. 적어도 3장의 하트 무늬 카드가 선택되기 위해서는 몇 장을 골라야 하나? • 13 x 3 + 3 = 42장 • (재수 없게, 최악의 경우에)클로버, 다이아몬드, 스페이드가 13장씩 선택된다면, 추가로 3장을 더 선택하면 이것은 모두 하트 무늬가 된다.

10. G.P.P. Examples (3/3) - skip The Pigeonhole Principle • 예제(야구 경기 문제):한 달이 30일 때, 야구 팀이 매일 적어도 한 경기씩 경기를 하는데, 45경기 이하를 한다. 그러면, 이 팀이 14경기를 연속적으로 하는 기간이 반드시 존재함을 증명하라. (즉, ith day에서 jth day까지의 경기 합이 반드시 14인 ith day와 jth day가 존재함을 증명하라.) • 먼저, kth day까지의 누적 경기 수를 ak라 하면, a1, a2, …, a30은 증가하는 양의 수열이고, 1 ak  45이다. • 또한, a1+14, a2+14, …, a30+14 도 증가하는 양의 수열이다. • 이때, 60개의 양의 정수 a1, a2, …, a30, a1+14, a2+14, …, a30+14 는 모두 59이하이다. (ak가 45이하이므로) • 따라서, 비둘기 집 원리에 의해, 이들 60개 중 적어도 두 개는 같은 수가 된다. • 그런데, a1, a2, …, a30는 모두 다른 수이고, a1+14, a2+14, …, a30+14 도 모두 다른 수이므로, ai=aj+ 14를 만족하는 i와 j가 반드시 존재한다. • 결국, j+1번째 날에서 i번째 날까지는 정확히 14 경기를 하게 된다.