วิชา คณิตศาสตร์สำหรับคอมพิวเตอร์ เรื่อง เซต (ต่อ)

Microsoft Multipoint วิชา คณิตศาสตร์สำหรับคอมพิวเตอร์เรื่อง เซต (ต่อ) อาจารย์อรนันท์ เชาว์พานิชชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 โรงเรียนอนุกูลนารี

Microsoft Multipoint จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. ตัวดำเนินการบนเซต 2. การรวมเข้าและแยกออก 3. ผลคูณคาร์ทีเชียน

Microsoft Multipoint แบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ1. กำหนดให้ A = {1, 2, 3} และ B = {2, 3, 4} ดังนั้น A  B เท่ากับเซตใดต่อไปนี้ {2, 3} {1, 2, 3} { 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} 20

ข้อ2. กำหนดให้ A ={a, b, c, d} และ B ={c, d, e, f} ดังนั้น A B เท่ากับเซตใดต่อไปนี้ {c, d} {a, b} {a, b, c, d} {c, d, e, f} 20

ข้อ3. กำหนดให้ A ={3, 5, 7, 9} และ B = {5, 7, 9} ดังนั้น B - A เท่ากับเซตใดต่อไปนี้  {3} {5, 7, 9} {3, 5, 7, 9} 20

ข้อ4. กำหนดให้ A ={3, 5, 7, 9} และ B = {5, 7, 9} ดังนั้น B ‘ เท่ากับเซตใดต่อไปนี้  {3} {5, 7, 9} {3, 5, 7, 9} 20

ข้อ5. จากแผนภาพ Venn Diagram ตรงกับเซตใดต่อไปนี้ A’ B C’ A B C’ A (B C) A (B’  C) 20

ข้อ6. กำหนดให้ A ={1, 2, 3,...} และ B = {{1,2},{3,4,5},6, 7, 8,..} แล้ว (A-B)  (B-A)มีสมาชิกกี่ตัว 6 7 8 9 20

ข้อ7. ข้อใดต่อไปนี้กล่าวผิด A- B= A A = A A  A = A A- = A 20

ข้อ8. กำหนดให้ A ={1, 2} และ B = {3,4} แล้วคู่อันดับใดเป็นสมาชิกผลคูณคาร์ทีเชียนAxB (2,3) (3,1) (4,1) (4,2) 20

ข้อ9 . กำหนดให้ A ={0, 1}, B = {a,b} และ C={0} แล้วคู่อันดับใดไม่เป็นสมาชิกผลคูณคาร์ทีเชียนAxBxC (0,a,0) (1,a,0) (0,b,0) (1,0,0) 20

ข้อ10. ในการสำรวจความนิยมของผู้ที่ไปเที่ยวสวนสัตว์จำนวน 100 คน พบว่าชอบช้าง 50 คน ชอบลิง 35 คน ชอบหมี 25 คน ชอบช้างอย่างเดียว 32 คน ชอบหมีแต่ไม่ชอบลิง 20 คน ชอบช้างและลิงแต่ไม่ชอบหมี 10 คน จงหาจำนวนคนที่ไม่ชอบสัตว์ทั้งสามชนิด 11 คน 12 คน 13 คน 14 คน 20

การดำเนินการบนเซต (Operation of Set) ยูเนียน (Union) นิยามให้ A,B เป็นเซตใดๆ ยูเนียนของเซต A และ B คือเซตที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกของ A หรือของ B แทนด้วยสัญลักษณ์ A B นั่นคือ A B = {x | x A หรือ X  B}

A B A B A B A B A B

Example กำหนดให้A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5} A  B = {1, 2, 3, 4}  {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} กำหนดให้A = {3, 6, 7} B = {5, 8} A  B = {3, 6, 7}  {5, 8} = {3, 5, 6, 7, 8}

อินเตอร์เซกซัน(Intersection) นิยาม อินเตอร์เซกซันของ A และ B คือเซตที่มีสมาชิกเป็นทั้งสมาชิกของ A และ B แทนด้วยสัญลักษณ์ A  B นั่นคือ A  B = {x | x  A และ X B }

A B A B A B A B A B

Example กำหนดให้A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 3, 4, 5 } AB = { 1, 2, 3, 4 }{ 3, 4, 5 } = {3, 4 } กำหนดให้A = { 3, 6, 7 } B = { 5, 8 } AB = { 3, 6, 7 }{ 5, 8 } = { } หรือ 

ผลต่าง (Difference) นิยาม ผลต่างระหว่างเซต A และเซตB คือ เซตซึ่งสมาชิกอยู่ในA แต่ไม่อยู่ใน B แทนด้วยสัญลักษณ์ A – B นั่นคือ A - B = { x|x A แต่ x  B }

A B A B A -B A B A B

Example กำหนดให้A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 3, 4, 5 } A-B = { 1, 2, 3, 4 }- { 3, 4, 5 } = {1, 2,} กำหนดให้A = { 3, 6, 7 } B = { 5, 8 } A-B = { 3, 6, 7 }- { 5, 8 } = { 3, 6, 7 }

คอมพลีเมนต์(Complement) นิยามกำหนดให้ A เป็นเซตใดๆ คอมพลีเมนต์ของ A คือ เซตสมาชิกอยู่ใน U แต่ไม่อยู่ใน A แทนด้วยสัญลักษณ์ A‘ นั่นคือ A’ = { x | x  U และ x  A}

กฎทางพืชคณิตของเซต (Algebra of Set) (1)กฎของส่วนเติมเต็ม (ComplementationLaws) (1) A  A' = U (2) A  A' =  (3) A‘ = U (4) U‘ =  (2) กฎของส่วนเติมเต็มซ้อน(DoubleComplementationLaws) (A')' = A

กฎทางพืชคณิตของเซต (Algebra of Set) (ต่อ) (3)กฎเอกลักษณ์ (IdentityLaws) (1) A  = A (2) A  U = A (4)กฎการเด่น (DominationLaws) (1) A   =  (2) A  U = U

กฎทางพืชคณิตของเซต (Algebra of Set) (ต่อ) (5)การซ้ำ ( Idempotent Laws ) (1) A A = A (2) A  A = A (6)กฎการสลับที่ ( Commutative Laws ) (1) A  B = B  A (2) A B = B  A

กฎทางพืชคณิตของเซต (Algebra of Set) (ต่อ) (7)กฎการเปลี่ยนกลุ่มได้ ( Associative Laws ) (1) (A B)  C = A  (B  C) (2) (A  B)  C = A  (B  C) (8)กฎการดูดซึม ( Absorption Laws ) (1) A(AB) = A (2) A(AB) = A

กฎทางพืชคณิตของเซต (Algebra of Set) (ต่อ) (9)กฎการกระจาย ( Distributive Laws ) (1) A (B  C) = (A B)  (A B) (2) A (B  C) = (A B)  (A B) (10)กฎของเดอร์มอร์แกน (De Morgan ‘s Laws) (1) (A  B) = A   B  (2) (A  B)  = A   B 

U B A แผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) ใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเอกภพสัมพัทธ์ และใช้วงกลม หรือวงรี แทนเซตที่กำลังศึกษา

จำนวนสมาชิกของเซตจำกัดจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด กรณีที่มีเซต 2 เซต ถ้า A  B =  n (AB) = n (A) + n (B) ถ้า A  B < >  n (AB) = n (A) + n (B) –n (AB)

จำนวนสมาชิกของเซตจำกัดจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด กรณี ที่มีเซต 3 เซต ถ้า A  B  C < >  n (ABC)= n (A) + n (B) + n (C) – n (AB) –n (AC) -n (BC) + n (ABC)

Example วิทยาลัยแห่งหนึ่งมีนักศึกษาสาขาคณิตศาสตร์ 120 คน ในจำนวนนี้ มี 100 คนเลือกเรียนภาษาฝรั่งเศส เยอรมัน หรือรัสเซีย จงหาจำนวนนักเรียนที่เลือกเรียนอย่างน้อยหนึ่งภาษา และสมมติว่ามีนักเรียน 65 คน เรียนภาษาฝรั่งเศส 45 คน เรียนภาษาเยอรมัน 42 คน เรียนภาษารัสเซีย 20 คน เรียนภาษาฝรั่งเศสและเยอรมัน 25 คน เรียนภาษาฝรั่งเศสและรัสเซีย 15 คน เรียนภาษาเยอรมันและรัสเซีย U F G R

Example จากสูตร n (FGR) = n (F) + n (G) + n (R) –n (FG) – n (FR) -n (GR) + n (FGR) แต่ n (FGR) = 100 เพราะมีนักศึกษา 100 เรียนอย่างน้อยหนึ่งภาษา แทนค่าในสูตรจะได้ 100 = 65+45+42+20+25+15+ n (FGR) ดังนั้น n (FGR) = 8 คือมีนักเรียน 8 คน ที่เรียน 3 ภาษา

Example ใช้ผลลัพธ์ที่ได้เติมในแผนภาพแวนน์เราได้ 8 คน เรียนทั้งสามภาษา 20-8 = 12 คน เรียนภาษาฝรั่งเศสและเยอรมัน แต่ไมเรียนภาษารัสเซีย 25-8 = 17 คน เรียนภาษาฝรั่งเศสและรัสเซีย แต่ไมเรียนภาษาเยอรมัน 15-8 = 7 คน เรียนภาษาเยอรมันและรัสเซีย แต่ไมเรียนภาษาฝรั่งเศส 65-12-8-17 = 28 คน เรียนเฉพาะภาษาฝรั่งเศส 45-12-8-7 = 18 คน เรียนเฉพาะภาษาเยอรมัน

Example 42-17-8-7 = 10 คน เรียนเฉพาะภาษารัสเซีย 120-100 = 20 คน ไม่เรียนภาษาใดเลย จะเห็นว่ามีนักศึกษา 28 + 18 +10 = 56 คน ที่เรียน เพียง หนึ่ง ภาษา U 18 28 G 12 F 8 17 7 20 10 R

ผลการคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Products) ผลการคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Products) ของเซต A และ เซต B เขียนแทนด้วย A x B หมายถึงเซตของคู่ อันดับ (a, b) ซึ่ง A  B และ b  B ดังนั้น A x B = {(a, b) |a  A และ b  } ทฤษฎีบท ให้ A และ B เป็นเซต ถ้า |A| = n และ |B| = m แล้ว |A x B| = nm

Example ผลของ CartesianProduct ของ A x B และ B x A เมื่อ A = {1,2} และ B ={a,b,c} A x B = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)} B x A ={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2))}

แบบฝึกหัดทบทวน

จงแรเงาลงในแผนภาพของเวนน์ เมื่อ A - B A B

จงแรเงาลงในแผนภาพของเวนน์ เมื่อ A B A B

จงแรเงาลงในแผนภาพของเวนน์จงแรเงาลงในแผนภาพของเวนน์ • เมื่อ (A’ – B)  (C  D) B A C D

แบบทดสอบหลังเรียน