第一章习题
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第一章习题 A ( 22 页). 1. 利用画线法计算下列行列式:. 解 D=6 - 4. =2. 解 D=45 + 84 + 96 - 105 - 72 - 48. = 0. 解 D=a 3 + b 3 + c 3 - abc - abc - abc. =a 3 + b 3 + c 3 - 3abc. 解 D=6 + 0+0 - 0 - 0 - 0. =6. 2. 计算下列排列的逆序数 :. (1) 35214; (2)12 3 … (n - 1)n ; (3)n(n - 1) … 321;.

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第一章习题 A ( 22 页)

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Presentation Transcript


A 22

第一章习题A(22页)

1.利用画线法计算下列行列式:

解D=6-4

=2

解D=45+84+96-105-72-48

=0


A 22

解D=a3+b3+c3-abc-abc-abc

=a3+b3+c3-3abc

解D=6+0+0-0-0-0

=6


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2. 计算下列排列的逆序数:

(1) 35214; (2)12 3 …(n-1)n;(3)n(n-1)…321;

(4) 1 3 5… (2n-1)246… (2n)

解(1) (35214)=0+0+2+3+1=6

(2) [12 3 …(n-1)n]=0

(3) [n(n-1)…321]=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2

(4) [1 3 5… (2n-1)246… (2n)]

=0+0+0+…+0+(n-1)+(n-2)+…+1+0

=n(n-1)/2


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3. 在所有n级排列中,试找出逆序数为最小和最大的排列,这样的排列是否唯一?又逆序数介于它们之间的排列是否唯一?

解123…n逆序数最小, (12 3 …n)=0, 是唯一的。

n…321逆序数最大,(n…321)=n(n-1)/2,也唯一。

逆序数介于它们之间的排列不唯一,如:

(2134…n)=(1324…n)= 2

4. 选择i,j使

(1)125i86j94为奇排列;(2)61357ij48为偶排列。

解 (1)(125786394)=11,故i=7,j=3。

(2)(613572948)=12,故i=2,j=9。


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5. 在四阶行列式D=|aij|4的展开式中,(1)确定含有因子a14a33的项;(2)确定带负号并含有因子a21的项。

解 因为通项为

所以(1)含有因子a14a33的项为a14a21a33a42和-a14a22a33a41。

(2)带负号并含有因子a21的项为:

-a12a21a33a44 和-a13a21a34a42 和-a14a21a32a43

6. 证明: 若一个n阶行列式中等于零的元素个数大于n2-n,则此行列式值为零。

证明 因为n阶行列式通项为

而n阶行列式共有n2个元素,所以最多有n-1个元素非零,所以行列式的值为零。


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7. 用行列式定义计算下列n阶行列式


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8. 计算下列行列式


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9. 证明下列等式:

证明


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证明


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10. 按第三行展开行列式, 并计算其值


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11. 计算下列行列式

解 按第一列展开, 有


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解 后行减去前行可得


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解 n=1时

原式=|1|=1

n=2时

n3时, 让各列都减去第三列, 则有


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=6(n3)!


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解 按第一列展开, 有


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12 证明

证明 按第一列展开, 有


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证明


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即有

而D1=1+an, 带入可得


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13 解下列方程式

解 将行列式按第一行展开可见, 此方程式是关于x的n-1次多项式方程. 所以方程应该有n-1个解.

而由行列式性质可见, 当x=ai时, 行列式等于零. 所以 x=ai (i=1,2,…,n-1)是方程的n-1个解.

所以 方程共有n-1个解, 分别为a1,a2,…,an-1.


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解 将行列式2~n列都减去第1列可得

即: -x(1-x)(2-x)…(n-2-x)=0

所以 方程共有n-1个解, 分别为0, 1, 2,…, n-2.


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14 利用Laplace展开定理计算

解 将行列式按第一, 三行展开得

=1(-1)(-2)=2


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解 将行列式按第一, 二行展开得

=112=2


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15. 解下列方程组

解 因为

可得:

所以,方程组的解为:


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解 因为


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所以, 方程组的解为: x1=1, x2=-1, x3=0, x4=2.


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第一章习题B(25页)

1. 设j1, j2, …, jn-1, jn为一个n级排列, 求

(j1, j2, …, jn-1, jn)+ (jn,jn-1, …, j2, j1)

解 由于对排列j1, j2, …, jn-1, jn和jn,jn-1, …, j2, j1进行相应两个元素的相邻对换, 其逆序数一个增加1, 一个减少1.

于是有

(j1, j2, …, jn-1, jn)+ (jn,jn-1, …, j2, j1)

=(1,2,…,n-1,n)+ (n,n-1,…,2,1)

=0+ n(n-1)/2

=n(n-1)/2


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2 设n阶行列式D=|aij|n, 求


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3 证明

左=


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