量子论篇
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量子论篇. 旧量子论. 德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系. 普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论. 初等量子力学. 相对论量子力学. 量子力学与狭义相对论相结合. 第十 五章 量子物理基础. 15.1 黑体辐射 普朗克量子假设 15.2 光的量子性 15.3 玻尔的氢原子理论 15.4 粒子的波动性 15.5 测不准关系 15.6 波函数 薛定谔方程 15.7 薛定谔在几个一维问题 中的应用

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量子论篇

旧量子论

德布罗意实物粒子波粒二象性

薛定谔方程

波恩的物质波统计解释

海森伯的测不准关系

普朗克能量量子化假说

爱因斯坦光子假说

康普顿效应

玻尔的氢原子理论

初等量子力学

相对论量子力学

量子力学与狭义相对论相结合


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第十 五章 量子物理基础

  • 15.1 黑体辐射 普朗克量子假设

  • 15.2 光的量子性

  • 15.3 玻尔的氢原子理论

  • 15.4 粒子的波动性

  • 15.5 测不准关系

  • 15.6 波函数 薛定谔方程

  • 15.7 薛定谔在几个一维问题中的应用

  • 15.8 量子力学对氢原子的应用

  • 15.9 斯特恩—盖拉赫实验

  • 15.10 电子自旋

  • 15.11 原子的壳层结构


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15.1 黑体辐射 普朗克量子假设

一、热辐射 绝对黑体辐射定律

热辐射

物体在不同温度下发出的各种电磁波的能量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射

单色辐射本领(单色辐度)

波长为的单色辐射本领是指单位时间内从物体的单位面积上发出的波长在附近单位波长间隔所辐射的能量。


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1700K

1500K

1300K

(μm)

1100K

0 1 2 3 4 5 6

如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射,这种物体称为绝对黑体,简称黑体。


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峰值波长

1、 斯忒藩—玻尔兹曼定律

黑体辐射的总辐射本领(辐射出射度)

(即曲线下的面积)

2、 维恩位移定律

当绝对黑体的温度升高时,单色辐射出射度最大值向短波方向移动。


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实验值

瑞利--金斯

维恩

二、普朗克量子假设


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普朗克得到了黑体辐射公式:

c ——光速

k——玻尔兹曼恒量

h—普朗克常数

普朗克量子假说

(1)黑体是由带电谐振子组成,这些谐振子辐射电磁波,

并和周围的电磁场交换能量。

(2) 这些谐振子能量不能连续变化,只能取一些分立值,是最小能量 的整数倍,这个最小能量称为能量子。


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16-2 光的量子性

一、光电效应 爱因斯坦方程的实验规律

光电效应 光照射到金属表面时,有电子从金属表面逸出的现象。

光电子----逸出的电子。

光电子由K飞向A,回路中形成光电流。


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实验规律

1、单位时间内从阴极逸出的光电子数与入射光的强度成正比。

2、存在遏止电势差


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实验发现,无论光强如何微弱,从光照射到光

电子出现只需要 的时间。

对于给定的金属,当照射光频率小于金属的红限频率,则无论光的强度如何,都不会产生光电效应。

3 光电效应瞬时响应性质


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爱因斯坦光子假说

光是以光速 c 运动的微粒流,称为光量子(光子)

光子的能量

金属中的自由电子吸收一个光子能量h以后,一部分用于电子从金属表面逸出所需的逸出功A,一部分转化为光电子的动能。

爱因斯坦光电效应方程


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爱因斯坦对光电效应的解释

1. 光强大,光子数多,释放的光电子也多,

所以光电流也大。

2. 电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出,

所以无须时间的累积。

3. 从方程可以看出光电子初动能和照射光的频率

成线性关系。


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光阑

石墨体

X 射线管

探测器

二、康普顿效应

1922年间康普顿观察X射线通过物质散射时,发现散射的波长发生变化的现象。


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1.散射X射线的波长中有两个峰值

与散射角有关

3.不同散射物质,在同一散射角下波长的改变相同。

4.波长为的散射光强度随散射物质原子序数的增加而减小。


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光子理论对康普顿效应的解释

高能光子和低能自由电子作弹性碰撞的结果。

1、若光子和外层电子相碰撞,光子有一部分能量传给电子, 光子的能量减少,因此波长变长,频率变低。

2、若光子和内层电子相碰撞时,碰撞前后光子能量几乎不变,故波长有不变的成分。

3、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关,所以波长改变和散射角有关。


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光子的能量、质量和动量

由于光子速度恒为c,所以光子的“静止质量”为零.

光子能量:

光子的动量:


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Y

Y

X

X

康普顿效应的定量分析

X

(3)动量守恒

(1)碰撞前

(2)碰撞后


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X

Å

由能量守恒:

由动量守恒:

康普顿散射公式

电子的康普顿波长


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光的波粒二象性

光子是一种基本粒子,在真空中以光速运动

表示粒子特性的物理量

波长、频率是表示波动性的物理量

表示光子不仅具有波动性,同时也具有粒子性,即具有波粒二象性。


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R理论—里德伯常数

1.097373×107m-1

(3)氢原子光谱

氢原子发光机制是能级间的跃迁

R实验=1.096776×107m-1


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连续

15.3 玻尔的氢原子理论

一、氢原子光谱的实验规律

谱线是线状分立的

巴耳末公式

光谱公式

R=4/B 里德伯常数 1.0967758×107m-1


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在紫外区

赖曼系

帕邢系

在近红外区

布喇开系

在红外区

普芳德系

在红外区

广义巴耳末公式


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二、玻尔氢原子理论

原子的核式结构的缺陷:

无法解释原子的稳定性

无法解释原子光谱的不连续性

玻尔原子理论的三个基本假设:

1、定态假设

原子系统存在一系列不连续的能量状态,处于这些状态的原子中电子只能在一定的轨道上绕核作圆周运动,但不辐射能量。这些状态称为稳定状态,简称定态。

对应的能量E1 ,E2 ,E3…是不连续的。


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2、频率假设

原子从一较大能量En的定态向另一较低能量Ek的定态跃迁时,辐射一个光子

跃迁频率条件

原子从较低能量Ek的定态向较大能量En的定态跃迁时,吸收一个光子

3、轨道角动量量子化假设

轨道量子化条件

n为正整数,称为量子数


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基本假设应用于氢原子:

(1)轨道半径量子化

第一玻尔轨道半径


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(2)能量量子化和原子能级

基态能级

激发态能级

氢原子的电离能


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二、玻尔理论的缺陷

1.把电子看作是一经典粒子,推导中应用了牛顿定律,使用了轨道的概念, 所以玻尔理论不是彻底的量子论。

2.角动量量子化的假设以及电子在稳定轨道上运动时不辐射电磁波的是十分生硬的。

3.无法解释光谱线的精细结构。

4. 不能预言光谱线的强度。


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15.4 粒子的波动性

一、德布罗意波

德布罗意提出了物质波的假设:

任何运动的粒子皆伴随着一个波,粒子的运动和波的传播不能相互分离。

运动的实物粒子的能量E、动量p与它相关联的波的频率和波长之间满足如下关系:

德布罗意关系式

表示自由粒子的平面波称为德布罗意波(或物质波)


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自由粒子速度较小时

例如:电子经加速电势差 V加速后

电子的德布罗意波长为


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物质波的实验验证

1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。

衍射最大值:

电子的波长:

戴维孙—革末实验中

电流出现峰值


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二、德布罗意波的统计解释

1926年,德国物理学玻恩 (Born , 1882--1972) 提出了概率波,认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性,但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律。


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x

电子束

衍射图样

15.5 测不准关系

微观粒子的空间位置要由概率波来描述,概率波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具有确定的位置和确定的动量。

X方向电子的位置不准确量为:


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X方向的分动量px的测不准量为:


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考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现,所以:

经严格证明此式应为:

这就是著名的海森伯测不准关系式


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测不准关系式的理解

1. 用经典物理学量——动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制 。

2. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。

3. 对于微观粒子的能量 E 及它在能态上停留的平均时间Δt 之间也有下面的测不准关系:


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原子处于激发态的平均寿命一般为

于是激发态能级的宽度为:

这说明原子光谱有一定宽度,实验已经证实。


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区别于经典波动

15.6 波函数 薛定谔方程

一、波函数

描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子

单色平面简谐波波动方程


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若系统能量为确定值而不随时间变化

只与坐标有关而与时间无关,振幅函数

波函数物理意义

在某处发现一个实物粒子的几率同波函数平方成正比

t时刻在(x,y,z)附近小体积dV中出现微观粒子的概率为


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波函数的平方表征了t 时刻,空间(x,y,z)处出现的概率密度

波函数归一化条件

波函数的标准条件:单值、有限和连续


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物质波与经典波的本质区别

1、物质波是复函数,本身无具体的物理意义,

一般是不可测量的。

可测量,具有物理意义

经典波的波函数是实数,具有物理意义,可测量。

等价

2、物质波是概率波。

对于经典波


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二、薛定谔方程

一维自由粒子的波函数

对于非相对论粒子

这就是一维自由粒子(含时间)薛定谔方程


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在外力场中粒子的总能量为:

一维薛定谔方程

三维薛定谔方程

拉普拉斯算符

哈密顿量算符

薛定谔方程


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只是空间坐标的函数

只是时间的函数

如势能函数不是时间的函数

用分离变量法将波函数写为:

代入薛定谔方程得:


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粒子在空间出现的几率密度

几率密度与时间无关,波函数描述的是定态

定态薛定谔方程

粒子在一维势场中


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15.7 薛定谔在几个一维问题中的应用

一、一维无限深势阱

金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动

势能函数为:


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玻璃

玻璃

二、隧道效应

光波能透过界面进入空气达数个波长的深度(渗透深度)。

电子的隧道结:在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。

电子的隧道效应:电子可以通过隧道结。


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48个Fe原子形成“量子围栏”,围栏中的电子形成驻波.


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15.8 量子力学对氢原子的应用

氢原子由一个质子和一个电子组成,质子质量是电子质量的1837倍,可近似认为质子静止,电子受质子库仑电场作用而绕核运动。

电子势能函数

电子的定态薛定谔方程为


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氢原子只能处于一些分立的状态,可用三个量子数描写:

1、主量子数n

决定着氢原子的能量

2、角量子数l

角动量大小

3、磁量子数ml

角动量空间取向量子化


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15.9 斯特恩—盖拉赫实验

证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。

即角动量在空间的取向是量子化的。

1、电子的轨道磁矩

电子磁矩大小


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电子的角动量

电子在有心力场中运动,角动量守恒

角动量在外磁场方向(取为z轴正向)的投影


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磁矩在z轴的投影

载流线圈在外磁场中受力矩作用

力矩作功

相互作用势能(磁矩垂直磁场方向时为势能零点)


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磁场在z方向不均匀,载流线圈在z方向受力

结论:原子射线束通过不均匀磁场,

原子磁矩在磁力作用下偏转。

1921年,斯特恩(O.Stern)和盖拉赫

(W.Gerlach)发现一些处于S 态的原子射线束,在非均匀磁场中一束分为两束。


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实验现象:屏上几条清晰可辨的黑斑

结论:原子磁矩只能取几个特定方向,

即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。


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斑纹条纹数=2l+1

从斑纹条纹数可确定角量子数l

发现:Li,Na,K,Cu,Ag ,Au等基态原子的斑纹数为2


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15.10 电子自旋

1925年,乌仑贝克( G.E.Uhlenbeck )和高德斯密特(S.A.Goudsmit)提出:

除轨道运动外,电子还存在一种自旋运动。

电子具有自旋角动量和相应的自旋磁矩。

自旋角动量

自旋角动量的空间取向是量子化的,

在外磁场方向投影


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自旋磁矩

在外磁场方向投影

自旋磁矩大小与自旋角动量大小的比值

轨道磁矩大小与轨道角动量大小的比值


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电子自旋及空间量子化

“自旋”不是宏观物体的“自转”

只能说电子自旋是电子的一种内部运动


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记号s p d f g h i k l

15.11 原子的壳层结构

多电子的原子中电子的运动状态用(n ,l ,ml ,,ms)四个量子数表征:

(1)主量子数n,可取n=1,2,3,4,…

决定原子中电子能量的主要部分。

(2)角量子数l,可取l=0,1,2,…(n-1)

确定电子轨道角动量的值。

l 0 1 2 3 4 5 6 7 8

nl表示电子态

如 1s 2p


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(3)磁量子数ml,可取ml=0,± 1 ,±2,…±l

决定电子轨道角动量在外磁场方向的分量。

(4)自旋磁量子数ms,只取ms= ±1/2

确定电子自旋角动量在外磁场方向的分量。

“原子内电子按一定壳层排列”

主量子数n四个相同的电子组成一个主壳层。

n=1,2,3,4,…,的壳层依次叫K,L,M,N,…壳层。

每一壳层上,对应l=0,1,2,3,…可分成s,p,d,f…分壳层。


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(一)泡利(W.Pauli)不相容原理

在同一原子中,不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数(即处于完全相同的状态)。

各壳层所可能有的最多电子数:

当n给定,l 的可取值为0,1,2,…,n-1共n个;

当l给定,ml的可取值为0,±1,±2,…,±l共2l+1个;

当n,l,ml给定,ms的可取值为±1/2共2个.

给定主量子数为n的壳层上,可能有的最多电子数为:


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l

n

5

h

0

s

1

p

2

d

3

f

4

g

6

i

Zn

2

2(1s)

1K

2L

2(2s)

6(2p)

8

3M

2(3s)

6(3p)

10(3d)

18

4N

2(4s)

6(4p)

10(4d)

14(4f)

32

5O

2(5s)

6(5p)

10(5d)

14(5f)

18(5g)

50

6P

2(6s)

6(6p)

10(6d)

14(6f)

18(6g)

22(6h)

72

7Q

2(7s)

6(7p)

10(7d)

14(7f)

18(7g)

22(7h)

26(7i)

98

原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数


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(二)能量最小原理

原子系统处于正常态时,每个电子总是尽先占据能量最低的能级。


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