UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAÇÃO

1. UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAÇÃO 12ªAula 12 Análiseda RespostaemFrequência Professor Leonardo Gonsioroski

2. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Definição O termo “resposta em frequência” significa resposta em regime estacionário de um sistema com entrada senoidal. Um sistema LIT sujeito a uma entrada senoidal, produzirá em regime estacionário uma saída senoidal com a mesma frequência da entrada, mas sua amplitude e fase serão diferentes do sinal senoidal de entrada. Professor Leonardo Gonsioroski

3. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Definição Podemos verificar essa afirmação, aplicando transformadas de Laplace. Aplicando Frações parciais Então: Frações Parciais – Rever Aula 3 – Transformadas de Laplace e Equações Diferenciais Professor Leonardo Gonsioroski

4. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fazendo: Aplicando transformada inversa teremos: Professor Leonardo Gonsioroski

5. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Diagrama de Bode • Os Diagramas de Bode são 2 gráficos traçados em relação à frequência em escala logarítmica: • Um gráfico do Módulo em dB da Função de Transferência • Um gráfico do ângulo de fase da Função de Transferência Professor Leonardo Gonsioroski

6. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Ganho em Decibel Fase em Graus Frequência em Escala Logarítimica Professor Leonardo Gonsioroski

7. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Diagrama de Bode • Uma Função de Transferência normalmente é composta por um ou mais dos fatores básicos mencionados abaixo: • Ganho K • Fatores puramente integral e derivativo (jω)±1 • Fatores de primeira ordem (1+jωT)±1 • Fatores quadráticos [1+2ξ (jω / ωn)+(jω / ωn)2]±1 Professor Leonardo Gonsioroski

8. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Ganho K • Quando o Ganho é um número maior que uma unidade, ele irá possuir um valor positivo em decibéis. • Quando o Ganho for um número menor que uma unidade, ele irá possuir um valor negativo em decibéis. • A curva de módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis. • O ângulo de fase do ganho K é zero. • Por Exemplo: A representação em Diagramde de Bode de um Ganho K = 3 Professor Leonardo Gonsioroski

9. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Professor Leonardo Gonsioroski

10. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Fator Integral e Fator Derivativo • O valor do Módulo em dB do fator Integral é: • O ângulo de fase do fator integral é: Professor Leonardo Gonsioroski

11. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Fator Integral • Módulo do fator Integral em dB • Ângulo de fase do fator integral Professor Leonardo Gonsioroski

12. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Fator Derivativo • Como é de se esperar o Módulo • e a fase do fator derivativo serão: • Módulo do fator derivativo em dB • Ângulo de fase do fator derivativo Professor Leonardo Gonsioroski

13. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator de primeira ordem tipo integral • O módulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é: Professor Leonardo Gonsioroski

14. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator de primeira ordem tipo integral • Analisando o módulo para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) temos: Para altas freqüências, como w >>1/T Para baixas freqüências, como w << 1/T Professor Leonardo Gonsioroski

15. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator de primeira ordem tipo integral Professor Leonardo Gonsioroski

16. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator de primeira ordem tipo integral • A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é: Parte Imaginária Parte Real Professor Leonardo Gonsioroski

17. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator de primeira ordem tipo integral • A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é: Para altas freqüências Para a freqüências, igua a zero, w = 0 Para freqüência de canto w = 1/T Professor Leonardo Gonsioroski

18. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator de primeira ordem tipo integral Para altas freqüências Para a freqüências, igua a zero, w = 0 Para freqüência de canto w = 1/T Professor Leonardo Gonsioroski

19. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator de primeira ordem tipo integral Frequência de Corte Professor Leonardo Gonsioroski

20. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Vamos Relembrar … Função de Transferência de um Filtro RC passa baixa Filtro RC PassaBaixa Função de Transferência do Filtro vin vout Professor Leonardo Gonsioroski

21. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Vamos Relembrar … Função de Transferência de um Filtro RC passa baixa Filtro RC PassaBaixa Onde: vin vout Professor Leonardo Gonsioroski

22. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator de primeira ordem tipo derivativo • O módulo em dB para o fator de primeira ordem (1+jwT) é: • A fase para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é: Professor Leonardo Gonsioroski

23. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator de primeira ordem tipo derivativo • Fazendo a mesma análise, chegamos a conclusão de que o Diagrama de Bode será: Professor Leonardo Gonsioroski

24. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Funções de Transferência com Fatores de 2a. Ordem • As funções de Transferência frequentemente possuem fatores quadráticos. • Quandoospólos de umafunção de transferência de 2a. Ordemsãoreais, podemosconsiderarque a função de transferência é composta de doisfatores de primeiraordem. • Agora comofazer se ospólosforemcomplexos?? Professor Leonardo Gonsioroski

25. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator quadrático do tipo integral Professor Leonardo Gonsioroski

26. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator quadrático do tipo integral Para altas freqüências, como w >>wn Para baixas freqüências, como w << wn Professor Leonardo Gonsioroski

27. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator quadrático do tipo integral Professor Leonardo Gonsioroski

28. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator quadrático do tipo integral Professor Leonardo Gonsioroski

29. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator quadrático do tipo integral Professor Leonardo Gonsioroski

30. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator quadrático do tipo integral Professor Leonardo Gonsioroski

31. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Fator quadrático do tipo integral Professor Leonardo Gonsioroski

32. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Frequência de Ressonância g(w) Professor Leonardo Gonsioroski

33. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Frequência de Ressonância Professor Leonardo Gonsioroski

34. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Frequência de Ressonância Professor Leonardo Gonsioroski

35. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Frequência de Ressonância Professor Leonardo Gonsioroski

36. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Frequência de Ressonância Professor Leonardo Gonsioroski

37. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Procedimento Geral para Construção de um Diagrama de Bode Revisar os diagramas de bode de todos os fatores básicos. (Escrever no quadro) Para escrever o diagrama de bode de uma função de transferência qualquer temos que primeiramente expandí-la em seus fatores básicos. Depois desenharemos os diagramas de bode de cada fator básico separadamente E por último realizamos a soma das contribuições de cada diagrama de bode de cada fator básico. Fazer Exemplo no Quadro Professor Leonardo Gonsioroski

38. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Determinação Experimental de Função de Transferência de Fase Mínima. 1) O primeiro passo é traçar retas assintotas as curvas de módulo do diagrama de bode. AS assíntotas devem ter inclinações múltiplas de + ou – 20 dB/década. 2) Nas baixas frequências a inclinação de 0 dB, -20 dB/dec ou -40 dB/dec, indica a existência de nenhum, um ou dois pólos na origem do sistema, respectivamente. 3) Nas altas frequências, observar as mudanças na inclinação das curvas de módulo. Se a curva mudar em -20 dB/década é porque existe um fator de primeira ordem na frequência em que ocorreu a mudança. Se a mudança for de -40 dB/decada é porque existe um fator quadrático nesta frequência. Professor Leonardo Gonsioroski

39. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Determinação Experimental de Função de Transferência de Fase Mínima. 4) Os ângulos de fase nas frequências muito altas para sistemas de fase mínima são -90º (q – p), isso nos dá uma noção da diferença do grau do numerador para o denominador da função de transferência. Professor Leonardo Gonsioroski

40. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Exemplo: Professor Leonardo Gonsioroski

41. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Sistemas de Fase Mínima e Sistemas de Fase não Mínima • As funções de Transferência que não possuem pólos nem zeros no semi-plano direito do plano complexo, são ditas de fase mínima. • As funções de transferência que possuem pólos e/ou zeros no semi plano direito do plano complexo, são ditas de fase não mínima. Professor Leonardo Gonsioroski

42. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Para um sistema de fase mínima o ângulo de fase, quando a frequência tende ao infinito, vale: • Num sistema de fase não mínima, a fase do sistema quando a frequência tende ao infinito, difere desse valor. • Em ambos os casos a curva de módulo em dB, quando a frequencia tende ao infinito, vale: Professor Leonardo Gonsioroski

43. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Margem de Fase • A Margem de fase é o atrase de fase adicional, na frequência de cruzamento de ganho, necessária para que o sistema atinja o limiar de instabilidade. • A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo da função de transferência de malha aberta é unitário. • A margem de fase é 180 graus mais o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta na frequência de cruzamento de ganho. • Para que um sistema de fase mínima seja estável a margem de fase deve ser positiva. Professor Leonardo Gonsioroski

44. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Margem de Ganho • A Margem de ganho é a diferença de 0 dB e o valor do módulo, na frequência de cruzamento de fase. • A frequência de cruzamento de fase é a frequência na qual a fase da função de transferência de malha aberta é -180 graus. • Se a margem de ganho for positiva, o sitema será estável. • Se a margem de ganho for negativa, o sitema será instável. Professor Leonardo Gonsioroski

45. 12 AnálisedaRespostaemFrequência • Num sistema de fase não mínima, para termos estabilidade as margens de fase e ganho devem ser negativas. Professor Leonardo Gonsioroski

46. 12 AnálisedaRespostaemFrequência Professor Leonardo Gonsioroski