1 / 21

Monte-Carlo simulacija radioaktivnog raspada jezgri

NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE. Monte-Carlo simulacija radioaktivnog raspada jezgri. Jelena Luetić. 10.06.2008. Ukratko. radioaktivni raspad radioaktivni raspad bizmuta i polonija analitičko rješenje općenito o MC metodi postupak numeričkog rješavanja

todd
Download Presentation

Monte-Carlo simulacija radioaktivnog raspada jezgri

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. NUMERIČKE METODE I MATEMATIČKO MODELIRANJE Monte-Carlo simulacija radioaktivnog raspada jezgri Jelena Luetić 10.06.2008.

  2. Ukratko • radioaktivni raspad • radioaktivni raspad bizmuta i polonija • analitičko rješenje • općenito o MC metodi • postupak numeričkog rješavanja • struktura programa i dijelovi koda • zaključak

  3. Radioaktivni raspad Radioaktivni raspad je proces u kojem nestabilne atomske jezgre gube energiju u obliku čestica ili EM – zračenja. Raspad nestabilne jezgre je nasumičan i nemoguće je predvidjeti kada će se pojedini atom raspasti. Broj raspada u jedinici vremena je proporcionalan početnom broju čestica N. Vjerojatnost raspada dana je sa:

  4. Radioaktivni raspad • rješavanjem prethodne jednadžbe dobije se: • N0 je broj jezgara u trenutku t=0 •  je konstanta raspada, tj. recipročna vrijednost srednjeg vremena života čestice • aproksimativno rješenje • eksponencijalna funkcija kontinuirana • nasumičan proces

  5. Problem • Promatramo radioaktivni raspad jezgara bizmuta i polonija

  6. Problem Moramo riješiti 2 vezane diferencijalne jednadžbe: • bizmut • polonij • Srednje vrijeme života bizmuta je 7 dana, a polonija 200 dana

  7. Slika 1. Radioaktivni raspad210Bi za NBi(0)=100 Analitičko rješenje • Prva jednadžba ne ovisi o drugoj, a rješenje je:

  8. Analitičko rješenje • Uvrstimo to rješenje u izraza za raspad polonija: • Rješenje ove diferencijalne jednadžbe je: Slika 2. Radioaktivni raspad 210Po

  9. Analitičko rješenje • Zajednički prikaz rezultata: Slika 3. Zajednički prikaz radioaktivnog raspada 210Bi i 210Po

  10. Monte-Carlo metoda • široka primjena • kemija • fizika • biologija • medicina • ekonomija • statistička simulacija – bilo koja metoda koja koristi nizove nasumičnih brojeva • fizikalni procesi simulirani direktno, nema potrebe za rješavanjem diferencijalnih jednadžbi

  11. Monte-Carlo metoda • trebamo znati funkciju gustoće vjerojatnosti • generator nasumičnih brojeva • provodi se mnogo simulacija, a konačan rezultat je prosjek po broju simulacija • radioaktivni raspad je klasičan primjer primjene Monte-Carlo metode

  12. Problem Pretpostavimo da na početku imamo N(0) jezgara 210Bi koje se mogu radioaktivno raspadati u 210Po. Nakon vremena t imamo N(t) neraspadnutih čestica 210Bi. Vjerojatnost raspada u jedinici vremena dana je s Bi. Međutim raspadnute čestice 210Po mogu se dalje raspadati u 206Pb s vjerojatnošću Po u jedinici vremena.

  13. Rješenje Ideja: • uzmemo svaku česticu pojedinačno • za svaki trenutak provjerimo je li se raspala • ponovimo postupak n puta • za konačno rješenje uzimamo prosjek po broju ponavljanja eksperimenta u svakom vremenskom trenutku

  14. Grafički prikaz koda

  15. Kod // za svaki vremenski korak provjerava svaku cesticu for( np = 1; np <= particle_limit; np++) { //generira se nasumicna vrijednost i provjerava je li manja od vjerojatnosti raspada if( ran0(&idum) <= bi_vjeroj) { bi_unstable=bi_unstable-1; po_unstable=po_unstable+1;}} //za raspadnute cestice postupak se ponavlja broj_po=po_unstable; for(np = 1; np <= broj_po; np++){ if(ran0(&idum)<=po_vjeroj&&po_unstable>=1){ po_unstable=po_unstable-1; } }// kraj petlji po cesticama

  16. Rezultati Slika 4. Prikaz rezultata za NBi(0)=1000 i 300 MC ciklusa

  17. Slika 6. 10 čestica, 100 koraka Slika 5. 10 čestica, 10 koraka Slika 7. 10 čestica, 5000 koraka Ovisnost o broju MC koraka

  18. Slika 8. 10 čestica, 100 koraka Slika 9. 100 čestica, 100 koraka Slika 10. 1000 čestica, 100 koraka Ovisnost o broju čestica

  19. Maksimum • još jedna provjera valjanosti rješenja • tražimo u kojem trenutku broj čestica 210Po dosegne svoj maksimum • analitičko rješenje: tmax = 24.318 dana • MC simulacija je, ovisno o parametrima, davala rezultat između 23 i 25 dana

  20. Zaključak • provođenje eksperimenta • radi za veliki broj čestica • veliki broj Monte-Carlo ciklusa • ne trebamo rješavati diferencijalne jednadžbe

  21. Literatura • W.H.Press: Numerical Recepies, chapter 8. • http://en.wikipedia.org/wiki/Radioactivity • http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method

More Related