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第五节　极限运算法则

第一章. 第五节　极限运算法则. 一、无穷小的性质. 二、极限运算法则. 三、求极限举例. 四、小结与思考判断题. 一、无穷小的性质. 定理１有限个无穷小的和仍是无穷小。. 证：. 故. 注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小 。. 如：. 设 g( x ) 在某定义域内有界，. 证明： g(x) 有界，故存在 M > ０，使. 当. 故当. 定理２ 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。. 对于. 推论 :. （１）常量与无穷小的积仍是无穷小；. （２）有限个无穷小量的积仍是无穷小。. 例 1. 求. 解 :. 利用定理 2 可知.

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第五节　极限运算法则

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  1. 第一章 第五节　极限运算法则 一、无穷小的性质 二、极限运算法则 三、求极限举例 四、小结与思考判断题

  2. 一、无穷小的性质 定理１有限个无穷小的和仍是无穷小。 证： 故 注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。 如：

  3. 设g(x)在某定义域内有界， 证明：g(x)有界，故存在M >０，使 当 故当 定理２ 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。 对于 推论: （１）常量与无穷小的积仍是无穷小； （２）有限个无穷小量的积仍是无穷小。

  4. 例1.求 解: 利用定理2可知 的一条水平渐近线 说明:y = 0 是 如：

  5. 二、 极限的四则运算法则 定理 3.若 则有 则有 证:因 (其中 为无穷小) 于是 由定理1可知 再利用极限与无穷小 也是无穷小, 的关系定理 , 知定理结论成立 .

  6. 推论:若 且 则 ( P45 定理 5 ) 提示:令 利用保号性定理证明 . 说明:定理3可推广到有限个函数相加、减的情形 .

  7. 则有 定理4.若 提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 . 说明:定理4可推广到有限个函数相乘的情形 . ( C为常数) 推论1 . 推论2 . ( n为正整数) 试证 例2.设n 次多项式 证:

  8. 且B≠0 , 则有 定理5.若 证:因 有 其中 为无穷小 设 无穷小 有界 因此 为无穷小, 由极限与无穷小关系定理得 (详见P44)

  9. 定理6.若 则有 提示:因为数列是一种特殊的函数, 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论.

  10. 注１： 在同一变化趋势下，极限都要 在，否则不能用上述法则。　 注3：若 , 其中只有一个存在， 则 一定不存在； 注4：若 ，两个极限都不存在， 则 不一定不存在； 注2：对法则４，b不为０；法则１、２、 ３只 适用于有限个函数。 比如：

  11. 三、求极限举例 例1 解 原式 例2 解 原式

  12. 结论：设分式函数 其中 都是 多项式若, 则: 说明:若 不能直接用商的运算法则. 注：当 f (x)为初等函数时，x0为定义域内的点，则 例3. x = 3 时分母为0

  13. 例4 .求 解:x = 1 时 分母= 0 , 分子≠0 , 但因

  14. 例5.求 解: 时, 分母 分子 分子分母同除以 则 “抓大头” 原式

  15. 一般有如下结果： 为非负常数) ( 如P47 例5 ) ( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )

  16. 复合函数的极限运算法则 且x 满足 定理7.设 时, 又 则有 ① 证: 当 时,有 当 对上述 时,有 取 则当 时 故 因此①式成立.

  17. 且x满足 时, 定理7.设 又 则有 说明:若定理中 则类似可得

  18. 例6. 求 解:令 ( 见P46 例3 ) 已知 ∴ 原式= ( 见P33 例5 )

  19. 例7 . 求 则 令 解:方法1 ∴ 原式 方法2

  20. 另例（1） =0 （2） 注：sin x 有界。

  21. 另例 解 先变形再求极限. 注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。 另例

  22. 四、小结与思考练习题 极限求法： (1) 多项式与分式函数代入法求极限; (2) 消去零因子法求极限;（0/0型） （因式分解、有理化） (3) 利用无穷小运算性质求极限; (4) 利用通分方法求极限;（∞-∞型） (5) 分子分母同除最大项。（∞/∞型）

  23. 思考及练习 1. 问 是否存在 ? 为什么 ? 答:不存在. 否则由 利用极限四则运算法则可知 与已知条件 存在 , 矛盾. 作业：P48 1（1、3、8、12）、2（1）、3（1）

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