運動制御工学
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運動制御工学. 2012 年度後期 第 6 回. 動力学. 動力学を扱う(扱わなければならない)理由. ロボットの挙動、安定性を明確にするために十分な力学的解析が必要. 力学解析を行なわないと...... 1.正確な挙動が判らない 2.性能が判らない 3.安定性が検証できない 4. etc.etc…. x. MCK システムの 運動. k. ばね定数. 質量. m. c. 粘性係数. ニュートンの運動方程式. ばねの復元力. ダッシュポッドの粘性力. x. MCK システムの 運動. k. ばね定数. 質量. m. c. 粘性係数.

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Presentation Transcript

運動制御工学

2012年度後期

第6回


動力学

動力学を扱う(扱わなければならない)理由

ロボットの挙動、安定性を明確にするために十分な力学的解析が必要

力学解析を行なわないと.....

1.正確な挙動が判らない

2.性能が判らない

3.安定性が検証できない

4.etc.etc…


x

MCKシステムの運動

k

ばね定数

質量

m

c

粘性係数

ニュートンの運動方程式

ばねの復元力

ダッシュポッドの粘性力


x

MCKシステムの運動

k

ばね定数

質量

m

c

粘性係数

システムの運動方程式

MCKシステムの運動方程式


MCKシステムの運動方程式を解く

運動方程式

とおいて

なので

これを解いて

特性方程式


MCKシステムの運動方程式を解く

特性根

これを用いて

と置く

ここで,

一般解


MCKシステムの運動方程式を解く

一般解

特性根は2実根

特性根は重根(実根)

特性根は複素根

実部は実指数関数

虚部は Euler の公式から三角関数


MCKシステムの解の挙動

挙動は指数関数的(過減衰)

挙動は指数関数的(臨界減衰)

挙動は振動的(減衰振動)

ω0=1

ζ= 1.2

ζ= 1.0

ζ= 0.707

Position [m]

ζ= 0.3

Time [sec]


Newton
Newton の運動方程式

質量 m,位置ベクトル r,外力ベクトル F

並進運動量 P

並進運動量の時間発展方程式

=並進運動に関する運動方程式

Newton の運動方程式


角運動量とモーメント

両辺に r の外積をかける

と定義すると

=0

N:モーメント


角速度ベクトルと質点の速度

:角速度ベクトル

:速度ベクトル

:位置ベクトル


角運動量とモーメント

角運動量

角運動量の時間発展方程式

=回転に関する運動方程式

Euler の運動方程式

N:モーメント


動力学のはじめに

Newton の運動方程式

m: 質量、x: 座標、F: 外力

例えば、

c:粘性摩擦係数、k:バネ定数


動力学の基礎

ロボットの運動方程式

Newton-Euler 形式による定式化

要素毎の力の釣り合い方程式から求める

Lagrange 形式による定式化

エネルギーを基にしたスカラー関数(Lagrange 関数)の変分形式を用いて求める


動力学の基礎

Newton の運動方程式

バネ質点系

質点の運動


x

動力学の基礎

質点の運動

t=2π/ω0

ω0A

位相平面

(位相空間)

‐A

x

A

-ω0A

t= 0


x

動力学の基礎

系の運動は位相空間の中で一本の軌道を描く

t=t2

t=t1

x


動力学の基礎

系の位相空間内での運動軌道から仮想的に

ずれた軌道を考える = 仮想変分

t=t2

q∈RN

位相空間

仮想変分

δq

t=t1


動力学の基礎

Lagrange 方程式

Lagrange 関数

外力の仮想仕事

汎関数

仮想変分


動力学の基礎

Lagrange 方程式


2リンクマニピュレータの運動方程式

Y

第1リンク

長さ:l1,質量m1

(X2,Y2)

第2リンク

長さ:l2,質量m2

θ2

(X1,Y1)

θ1

X

O


2リンクマニピュレータの運動方程式

運動方程式の導出手順(Lagrange 形式)

  • リンク上の任意点の位置ベクトルを求める

  • リンク上の任意点の速度ベクトルを求める

  • 運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーを求める

  • Lagrange 関数を構成する

  • Lagrange 方程式を用いて運動方程式を導出する


2リンクマニピュレータの運動方程式

リンク上の任意点の位置座標

リンク上の任意点の速度





2リンクマニピュレータの運動方程式

全運動方程式

Lagrange 方程式を用いて求めることができる

q = [θ1,θ2]T


2リンクマニピュレータの運動方程式

全運動方程式

F1,F2:各関節のモータトルク


ロボットの運動方程式の一般形

一般化座標

慣性行列

非線形項(遠心力、コリオリ力など)

重力項

拘束条件ヤコビ行列

拘束力

入力トルク


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