第二章 控制系统的数学模型

1. 第二章 控制系统的数学模型 本章知识点： • 线性系统的输入/输出描述－传递函数 • 建立机电系统数学模型的机理分析法 • 传递函数的定义与物理意义 • 典型环节的数学模型 • 框图及化简方法 • 信号流程图与梅逊公式应用 • 非线性数学模型的小范围线性化

2. 系统模型： • 物理模型——任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型。 • 数学模型——物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。 • 数学建模——从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。

3. 建立物理系统数学模型的方法： • 机理分析法对系统各部分的运动机理进行分析，按 照它们遵循的物理规律、化学规律列出各物理量之间的数学表达式,建立起系统的数学模型。 • 实验辩识法 对系统施加某种测试信号（如阶跃、脉冲、正弦等），记录输出响应（时间响应、频率响应），估算系统的传递函数。

5. 目录 2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复域模型—传递函数 2-3 控制系统的结构图与信号流图 2-4 控制系统数学模型的MATLAB表示

6. 系统的时域数学模型的基本形式是微分方程，线性定常连续系统的时域数学模型为常系数线性微分方程，其一般形式可表为：系统的时域数学模型的基本形式是微分方程，线性定常连续系统的时域数学模型为常系数线性微分方程，其一般形式可表为： 2-1 控制系统的时域数学模型 1.线性定常连续系统微分方程的建立 下面通过具体的例子来说明建立时域数学模型的方法步骤。

7. 例1 R-L-C 串联电路输出电压与输入电压的微分方程

8. 例2 弹簧—阻尼器系统

9. 例3. 直流电动机转速与电枢电压的数学模型 电路方程： 动力学方程：

10. （４）→（２）得： • （３）（５）→（１）得：

11. 定义两个时间常数 机电时间常数 电磁时间常数 整理电机方程 如果忽略阻力矩，即MC=0，方程右边只有电枢回路的控制量Ur，则电机方程是一典型二阶方程 。如果忽略Ta (Ta=0)电机方程就是一阶的。

12. 例4 函数记录仪 比较器： 放大器： 电动机： 减速器： 绳 轮： 电 桥： 消去中间变量可得：

13. 叠加原理（线性系统） 叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。 例： 设线性微分方程式为 若r(t)=r1(t)时，方程有解c1(t)，r(t)=r2(t)时，方程有解c2(t)，则当r(t)=r1(t)＋r2(t) 时，必存在解c(t)=c1(t)＋c2(t)，即为叠加性。

14. 若r(t)=ar(t)时，a为实数，则方程解为c(t)=ac(t)，这就是齐次性。若r(t)=ar(t)时，a为实数，则方程解为c(t)=ac(t)，这就是齐次性。 两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和；外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。

15. 2.线性定常微分方程求解 微分方程求解方法：

16. 严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性数学模型，可采用小范围线性化方法。严格讲，任何实际系统都存在不同程度的非线性。对于非本质非线性数学模型，可采用小范围线性化方法。 3.非线性数学模型的小范围线性化 设函数y=f（x）在（x0，y0）点附近连续可微(非线性系统数学模型的线性化条件）,则可将函数f（x）在（x0 ，y0）附近展开成泰勒级数:

17. 当x-x0=Δx足够小，且在x0点f(x)高阶导数不是无穷时，忽略Δx的高阶项，得当x-x0=Δx足够小，且在x0点f(x)高阶导数不是无穷时，忽略Δx的高阶项，得 即 这说明y的增量与x的增量之间的关系变成了线性关系。

18. 例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。 解：在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数 小扰动时取一次近似 K=-E0sinx0 即有

19. 解：在 h0处泰勒展开，取一次近似 例6某容器的液位高度 h(t)与液体流入量Qr(t) 满足 式中 S为液位容器的横截面积。若 h(t)与 Qr(t) 在其工作点附近做微量变化，试导出 h(t)关于Qr(t) 的线性化方程。

20. 代入原方程可得 在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程

21. 4.运动的模态 运动的模态：是由n 阶微分方程的特征根所决定的， 代表自由运动的振型函数。从数学上讲，即是n阶齐次微分方程的通解所包含的振型函数。

22. 思考： 线性/非线性，定常/时变系统的辨析

23. 复习 附录A Laplace变换 s= σ +jω L[f(t)]→ F(s)从时域→复域 1. 定义： 举例：

24. 2. 常见函数的Laplace变换

25. 3.Laplace变换基本定理 初值定理 终值定理 微分定理 延迟定理

26. （1）反演公式 • 试凑法 • 系数比较法 • 留数法 （2）查表法（部分分式展开法） ，求 例1 已知 解： ４．拉氏反变换

27. 用留数法分解部分分式 一般有 设 I . 当A(s)=0无重根时 其中：

28. 例2 已知　　　　　　　　，求 解: ，求 例3 已知 解：

29. 例4 已知　　　　　　　　 ，求 解一： ＊解二：

30. II. 当 有重根时 (设ｐ1为m重根，其余为单根) Cm Cm-1 ...C1=?

31. why？

32. because of

33. 例5 已知 ，求f(t)=? 解:

34. 5.用L变换法求解线性常微分方程 n> m 0 初条件 :特征根（极点） :相对于 的模态

35. 例6： 解：方程两边进行L 变换（零初始条件） L-1：

36. 当 L-1： 初值跳变问题！

37. 例7 R-C 电路计算

39. 影响系统动态响应的因素 ——规定 r(t) = 1(t) (1) 输入 u r (t) ——规定0 初始条件 (2) 初始条件 ——自身特性决定系统性能 (3) 系统的结构参数

40. 目录 2-2 控制系统的复域模型—传递函数 1.传递函数的定义和性质 2.传递函数的零点和极点 3.零点和极点对输出的影响 4.典型元部件的传递函数

41. n> m 0 初条件 1. 传递函数的定义和性质 定义：在零初始条件下，线性定常连续系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。 微分方程一般形式： 传递函数：

42. 初始条件为零有两方面含义： • 输入作用在t＝0后才施加于系统，因此在t=0- 时，输入量及其各阶导数为零。 • 输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t=0- 时 ，输出量及各阶导数为零。 许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 。

43. 性质：

44. 2. 3. 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。 说明： • 传递函数仅适用于线性定常连续系统，否则无法用拉氏变换导出； • 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章） • 传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。

45. X(s) Y(s) X(s) Y(s) Ts+1 C(s) R(s) Φ(s) 传递函数与结构图（图2-8）: R(s)•Φ(s)=C(s) 这样可以吗？

46. 传递函数的标准形式： （1）首1标准型： （2）尾1标准型： 例1 已知 将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。 解. 首1标准型 尾1标准型 增益

47. RLC无源网络(例2-8)

48. 例2 已知某系统在0初条件下的阶跃响应为： 试求：（1）系统的传递函数； （2） 系统的增益； （3）系统的特征根及相应的模态； （4）画出对应的零极点图； （5）求系统的单位脉冲响应； （6）求系统微分方程； （7）当 c(0)=-1, c′(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。

49. (1)系统的传递函数； (2)系统的增益； (3)系统的特征根及相应的模态； (4)画出对应的零极点图； 解.（1） (4)如图所示

50. (5)求系统的单位脉冲响应； (6)求系统微分方程；