Evolución de interfases fluidas: gotas

1. Evolución de interfases fluidas: gotas Marco Antonio Fontelos Universidad Rey Juan Carlos

2. Primera Clase 1.1.- Las Ecuaciones 1.2.- Soluciones de equilibrio y su estabilidad 1.3.- Una restricción geométrica a la ruptura de interfases 1.4.- El modelo unidimensional y ruptura autosimilar Segunda Clase 2.1.- La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos 2.2.- Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico 2.3.- La estructura de gotas-en-alambre 2.4.- Correcciones debidas a la extensibilidad finita del polímero

3. 1.1. Las Ecuaciones

4. n Fluido 1 Interfase Fluido 2 Fluido 1 Interfase Fluido 2

5. Caso de un solo fluido (ocupando ) N-S (en ) C.C. (en ) Cinemát. (en )

6. La condición cinemática en un dominio axisimétrico n h(z,t) z del fluido

7. La curvatura de un Dominio axisimétrico R2 s

8. 1.2. Soluciones de equilibrio y su estabilidad

10. Reescale: z g Ecuación y cond. de contorno:

11. Reescale: Ecuación y cond. de contorno:

12. Reescale: Ecuación y cond. de contorno: Inestable. Wente 1980

13. Reescale: Ecuación y cond. de contorno:

14. S g Superficies capilares: Extremos de E con R. Finn: Equilibrium Capillary Surfaces

15. La inestabilidad del cilindro (Rayleigh 1879) Supongamos un fluido no viscoso e irrotacional Ley de Bernoulli: En la frontera:

16. Pequeñas perturbaciones del cilindro: R

17. G(x) x Inest. de Rayleigh Savart 1833 Caso viscoso, Chandrasekhar 1961.

18. La estabilidad de la esfera (Rayleigh 1879) R

19. Kowalewski, 1996 Fluido muy viscoso (Glicerina, aceite,...)

20. 1.3. Una restricción geométrica a la ruptura de interfases A. Córdoba, D. Córdoba, C. Fefferman, MAF (2002)

21. h(t) -L L Simetría cilíndrica, sin gravedad, sin contacto con sólidos.

22. Nota:

23. Entonces: Debemos probar que A(t) crece como mucho linealmente

24. 1.- Un solo fluido 1) 2)

25. Multiplicamos el sistema de Navier-Stokes por el vector velocidad, Integramos por partes y hacemos uso de las condiciones de contorno. Obtenemos así la siguiente identidad de energía: 2.- Las componentes simétricas del gradiente de velocidades acotan todas las demás:

26. 3.- En un disco de radio R se tiene Integramos la desigualdad en las variables z y t y usamos Cauchy-Schwarz en el término de la derecha: Por 1) y 2) entonces

27. 1.4. El modelo unidimensional y ruptura autosimilar (J. Eggers, T. Dupont, 1993)

28. El límite unidimensional n Navier-Stokes (axisimétricas) t D L Condiciones de contorno Condición cinemática z

29. n Navier-Stokes (axisimétricas) t D L Condiciones de contorno Condición cinemática z

30. Desarrollo de Taylor en la variable radial + divergencia nula: Entonces: N-S p0 v2 C.C. Cin.

31. Deshacemos el cambio para h y para z. Introducimos: Sistema Unidimensional:

32. Rutland & Jameson, 1971

33. Solución numérica del sistema (perfiles) h(z,t)

34. Solución numérica del sistema (velocidades) v(z,t)

36. Caso no viscoso: Velázquez-MAF, 1999

37. La ruptura para un fluido no viscoso Day et al. 1998

38. 2.1. La evolución para fluidos muy viscosos: filamentos

39. Rothert, Richter, Rehberg, 2001

40. hmin tiempo I II III IV

41. MAF 2001

42. Etapa I

43. Etapa II

44. Etapa III Imponemos y entonces

45. Similaridad de 2º tipo (Barenblatt) Papageorgiou, 1994

46. Etapa IV Filamentos iterados: ¿Ruptura autosimilar? Shi, Brenner, Nagel, 1994

48. 2.2. Fluidos viscoelásticos de tipo polimérico

50. Viscosidad vs. esfuerzo Efecto Weissenberg F g Bird et al., Dynamics of polymeric liquids.