CONFERENCIA 7

1. CONFERENCIA 7 CIENCIA EN EL RENACIMIENTO SIGLOS XV Y XVI Parte 1 Matemática y Astronomía

2. La época de los grandes descubrimientos tiene un gran foco de iniciativas y realizaciones: la península hispánica. Los portugueses (Díaz) descubren el Cabo de Buena Esperanza en 1486, y en 1498 Vasco de Gama llega a Calicut en la India, después de hacer escala en Sofala, Mobasa y Melinde Más tarde, bajo el gran virrey Alburquerque, los lusos llegan a Malaca y las islas de las Especias (1511). España también se ilustra en los descubrimientos; primero, patrocinando la empresa de Cristóbal Colón; luego, con los nombres de sus navegantes, exploradores y conquistadores, uno de los cuales, Balboa, descubre el mar del Sur y demuestra la existencia de América; en fin, con el viaje de circunnavegación mundial de Magallanes-Elcano, realizado entre 1519 y 1522. El signo I corresponde a la línea de partición del mundo entre españoles y lusos de 1494, que como se ve, no fue respetada ni por los ingleses ni por los franceses (Caboto y Cartier, respectivamente, en América del Norte).

3. El Renacimiento Fue un movimiento artístico, que se desarrolló durante el siglo XV, buscando el renacer del arte griego y romano, consecuente con una nueva filosofía de vida, encarnada en el Humanismo, que colocaba al hombre en el centro del mundo, desplazando de este lugar a Dios, eje de la vida en la Europa feudal. El Renacimiento nos acerca por medio de su creación artística realista, la forma de vida humana del tiempo histórico de la modernidad. Acontecimientos como la Reforma protestante y el avance de la ciencia que permitió ampliar el mundo conocido, forjaron a un hombre más cuestionador de su ubicación en el mundo, y eso se expresó en las diversas manifestaciones científicas y artísticas, realizada por hombres que buscaban un reconocimiento terrenal, y no seres anónimos como en épocas medievales. Pueden distinguirse en el Renacimiento, dos períodos: el Quattrocento, durante el siglo XV, que bajo el patrocinio de la familia de los Médicis, tuvo su lugar estratégico en Florencia, ciudad rica y bella y el Cinquecento que se desarrolló principalmente, en Roma y Venecia, donde lo terreno se apoderó de la inspiración artística.

4. El Quattrocento En esta etapa se vive la transición entre el arte religioso y el humano, tomando como base las imágenes bíblicas, pero con características más terrenales. Datan de este período las obras arquitectónicas de Felipe Brunelleschi, que se destacó por la construcción de la cúpula de la catedral de Florencia. Sandro Botticelly, La primavera (1481-82): En escultura, Donatello, esculpió el mármol y el bronce, “David” y “San Juan El Evangelista”, caracterizados por sus bajo relieves. Andrea del Verrocchio, fue discípulo de Donatello, a quien sucedió en el cargo de escultor favorito de los Médicis. En pintura Sandro Botticelli, pintó el retrato de Giuliano de Médicis, “La adoración de los magos”, “La primavera” y “El nacimiento de Venus”.

5. El Cinquecento El volumen de las figuras se logró con la ayuda del uso del contraste entre luces y sombras, surgiendoademás imágenes dispuestas en perspectiva y en forma simétrica. La figura humana, fue el principal tema de las obras, para lo cual se profundizó el estudio de la anatomía, incluyéndose desnudos y figuras con sensación de movimiento, proponiéndose plasmar el ideal de belleza de la antigüedad clásica. Fueron representantes del Cinquecento, Donato di Bramante, en arquitectura, encargado de construir la cúpula de la catedral gótica del Duomo, en Florencia, Miguel Ángel Buonarroti, en escultura y en pintura, destacándose entre sus obras, la pintura de la Capilla Sixtina, donde grabó “El Juicio Final”, realizando además, el proyecto de la cúpula de la nueva basílica de San Pedro, y en escultura “La Piedad” y el “David”. El pintor y arquitecto Rafael Sanzio, Realizó para la Capilla Sixtina diez tapices, sobre la vida de San Pedro y de Pablo de Tarso y decoró el interior de la capilla Chigi en la iglesia romana de Santa Maria del Popolo. Leonardo Da Vinci, fue arquitecto, pintor y escultor. En sus pinturas merecen citarse “La Gioconda” y “La última cena”. Brilló también, como ingeniero, creando canales y sistemas de riego.

6. El desarrollo de los intereses nacionales que diera origen al nacimiento de los estados. Estos intereses económicos se reflejaron en el movimiento de las reformas religiosas (siglo XVI) que condujo a una flexibilización del control de la Iglesia sobre el proceso de construcción del conocimiento. Bohemia, la región Europa Central dominada en el siglo XV por el Sacro Imperio Romano Germánico,  fue el escenario dónde prendieron los sentimientos nacionalistas que encontraron expresión religiosa en las protestas de precursor de la Jan Hus (c. 1372-1415), Reforma protestante, contra el poder abusivo de la Iglesia Católica. En el  Concilio Eclesiástico que se reunió en la ciudad imperial de Constanza en 1414, Hus fue declarado hereje y conminado a retractarse de sus posiciones. El clérigo de Praga rechazó las ofertas de perdón y fue condenado a la hoguera. Un siglo después de la rebelión husita en 1517, Martín Lutero (1483-1546) publicó sus tesis de Wittenberg que atacan los abusos de la autoridad eclesiástica y tres años después publica sus creencias en la libertad de la conciencia cristiana, formada sólo por la Biblia, el sacerdocio de todos los creyentes y una Iglesia mantenida por el estado. La ruptura de Lutero con la Iglesia podría haber sido un hecho aislado si no hubiera sido por la invención de la imprenta Las contiendas religiosas entre 1550 y 1650 provocaron la destrucción general del continente. Sin embargo se entrelazaron de forma compleja con las contiendas políticas, que finalmente fueron muy importantes en la configuración de las naciones europeas. Martín Lutero (1483-1546)

7. La técnica de publicación de libros con tipos móviles de impresión, mediante el perfeccionamiento de la prensa de imprenta por Gutenberg  multiplicó las posibilidades de reproducir el acervo de conocimientos existentes para una sociedad que ya había aumentado su producción de material escrito y lo anhelaba vivamente. La invención de la imprenta representó además un logro mecánico, fue una de las primeras máquinas estandarizadas, manufacturada en serie, y los mismos tipos móviles fueron el primer ejemplo de piezas del todo estandarizadas e intercambiables. Hacia finales del siglo XV habían más de mil imprentas públicas solamente en Alemania, y en Nuremberg existía un gran negocio de imprenta con 24 prensas y un centenar de empleados entre los que se encontraban cajistas, impresores, encuadernadores y correctores.

8. Entre el Renacimiento y el surgimiento de la matemática moderna (s. XVII), se desarrolló un periodo de transición en el que se asentaron las bases de disciplinas como el álgebra, la trigonometría, los logaritmos o el cálculo infinitesimal. La figura más importante de este periodo fue el francés François Viète (1540-1603). Considerado uno de las padres del ágebra, desarrolló una notación que combinaba símbolos con abreviaturas y literales. Es lo que se conoce como álgebra sincopada, para distinguirla del álgebra retórica utilizada en la antiguedad y el álgebra simbólica usada en la actualidad. Uno de sus hallazgos más importantes fue establecer claramente la distinción entre variable y parámetro, lo que le permitió plantear familias enteras de ecuaciones con una sola expresión y así abordar la resolución de ecuaciones con un alto grado de generalidad, en lo que se entendió como una aritmética generalizada. En trigonometría inició el enfoque analítico, consistente menos en resolver triángulos y más en encontrar relaciones entre las funciones trigonométricas. Un ejemplo serían las reglas de prostafairesis, que permiten convertir los productos de funciones trigonométricas en sumas y restas, y que influirían en el posterior desarrollo de los logaritmos. Obtuvo, a partir de fórmulas trigonométricas, la primera expresión exacta de π como producto infinito

9. Los estudios de balística y la solución algebraica de la ecuación de tercer grado aparecidos en la obra Nova Scientia, en 1537 representan una original aplicación de los conocimientos matemáticos más avanzados de la época al fuego de artillería, y a la descripción de la trayectoria de los cuerpos en caída libre.  El autor de estos trabajos, Niccolo Fontana (ca. 1500-1557), más conocido por su apodo de Tartaglia (en italiano tartamudo), fue víctima de un sablazo recibido de pequeño durante la ocupación militar de su ciudad natal, Brescia,  que le provocó para el resto de su vida graves dificultades al hablar. No parece rara la inclinación de Tartaglia por los estudios balísticos al conocer que en Brescia se está creando por entonces lo que fuera un fuerte emplazamiento de la industria de armas. La obra de Tartaglia sentó un criterio muy agudo: la trayectoria de un proyectil es siempre curva, y la bala comienza a descender desde el instante mismo en que abandona la boca del cañón. La afirmación, opuesta al sentido común que advierte que a escasa distancia el tiro se sitúa en el punto de mira, admite la acción de la gravedad durante todo el recorrido y su demostración acude al modelo de experimento imaginario que tanto emplea luego Galilei. 

10. El periodo moderno del álgebra se relaciona con la obra Ars Magna (1545) escrita por el médico y matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576). La atribulada vida personal de Cardano contrasta con la extraordinaria productividad profesional alcanzada en diversos ámbitos. En 1551 escribe su “Opus novum de proportionibus” donde Cardano trata de aplicar métodos cuantitativos al estudio de la Física, en particular a la caída libre de los cuerpos.  Es uno de los primeros en refutar la posibilidad del movimiento perpetuo excepto en el caso de los cuerpos celestes y realiza también importantes contribuciones al campo de la hidrodinámica. En 1552 alcanza como médico celebridad mundial al recuperar la salud del arzobispo de St. Andrews, John Hamilton, aquejado de un asma severa que lo había llevado al borde de la muerte.   Cardano hace la primera incursión de la historia en el reino de la teoría de la probabilidad en su libro “Liber de Ludo Aleae”, sobre juegos de azar, probablemente terminado hacia 1563 y publicado un siglo más tarde. Se acredita a Cardano la invención del mecanismo de articulación entre la caja de velocidad y la barra de transmisión de los autos y la cerradura de combinación. En 1570, con 69 años de edad fue encarcelado por el cargo de herejía y acusado de hacer el horóscopo de Jesucristo y alabar en un libro a Nerón, torturador de los mártires cristianos. Tras su liberación, cuatro meses después, se le vetó para desempeñar un puesto universitario y para cualquier publicación posterior de su obra.

11. Matemático escocés,nacido en una familia aristocrática, no era un matemático profesional. Dedicó gran parte de su vida a inventar sistemas para contener la invasión de Felipe II de España. Trabajó durante 20 años en su invención de los logaritmos antes de publicar sus resultados, afirmación que permite situar el origen de sus ideas hacia el año 1594. Neper pensó que todas las cifras se podían expresar de forma exponencial, con lo que la multiplicación y división de números quedaba notablemente simplificada, sumando o restando sus exponentes. Otro descubrimiento que pasó desapercibido pero que tuvo una colosal importancia fue la transformación de la coma en coma decimal, tal y como la utilizamos hoy en día. NEPER John (1550-1617)

12. A finales del siglo XVI, Europa Occidental había recuperado ya, la mayor parte de las obras matemáticas más importantes de la antigüedad que se han conservado hasta nuestros días. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada, introduciendo un cierto simbolismo y la trigonometría, se había convertido en una disciplina independiente. La época estaba ya casi madura, para llevar a cabo ciertos avances que superaran las contribuciones tanto antiguas, como medievales y renacentistas. Pero la transición del Renacimiento al mundo moderno, se hizo también a través de un considerable número de figuras intermedias: Galileo, Cavalieri, Neper, Kepler y Viète entre otros. Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustitución de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y sociedades científicas, que se convirtieron en una forma fructífera de trabajo en equipo de los científicos. También comenzaron durante este siglo las publicaciones periódicas. Sin embargo se produjo un cambio muy importante en la concepción de las matemáticas, complementando el estudio de los números y demás magnitudes constantes, con el estudio de los movimientos y transformaciones. En este siglo es cuando tienen comienzo casi todas las disciplinas matemáticas: Geometría Analítica. Métodos Integrales. Métodos Diferenciales. Análisis Infinitesimal. Cálculo de Probabilidades.

13. El edificio en el que se emplazaría el Instituto de Francia fue construido entre 1673 y 1677 sobre diseño del arquitecto Louis Le Vau. Este espacio estaba destinado a albergar el Colegio de las Cuatro Naciones. El Instituto, finalmente, englobaría cinco unidades académicas: la Academia Francesa, la Academia de Inscripciones y Bellas Letras, la Academia de Ciencias, la Academia de Bellas Artes y la Academia de Ciencias Morales y Políticas.

14. René Descartes (1596-1650), surgido de su rechazo a los inútiles métodos escolásticos, le llevó a dudar metódicamente de todo, hasta que encontró un punto de partida para él claro y distinto: "Cogito ergo sum", es decir, "Pienso, luego existo". Expuso su método en el libro El discurso del método, que contenía. En esta obra Descartes expuso su gran invención: la aplicación del álgebra a la geometría. De otro modo: había inventado los sistemas de coordenadas (por eso en su honor hablamos de sistemas de coordenadascartesianos) y la posibilidad de expresar las curvas mediante ecuaciones. Y al revés: el increíble camino de interpretar las ecuaciones como curvas. En los trabajos de René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1655), comenzó a fraguarse la geometría analítica como un método de expresión de las relaciones numéricas de las dimensiones, formas y propiedades de los objetos geométricos, utilizando esencialmente el método de coordenadas. La última parte de la famosa obra de Descartes "Discurso del Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas.

15. Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarrolló un sistema análogo al de aquél. Las ideas de la geometría analítica, esto es, la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la geometría de los métodos algebraicos, se concentran en una pequeña obra: "Introducción a la teoría de los lugares planos y espaciales". Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se denominaban planos y los representados por cónicas, especiales. Fermat abordó a la tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio, describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". Utilizando la notación de Viète, representó en primer lugar la ecuación Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identificó las expresiones xy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 con la hipérbola, parábola circunferencia y elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadráticas más generales, en las que aparecen varios términos de segundo grado, aplicó rotaciones de los ejes con objeto de reducirlas a los términos anteriores. La extensión de la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría analítica del espacio quedó sin culminar. Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejercio tanta influencia como la Géometrie de Descartes, debido a la tardanza de su edición y al engorroso lenguaje algebraico utilizado

16. Métodos Integrales: Al comienzo, estos métodos se elaboraban, acumulaban e independizaban en el transcurso de la resolución de problemas sobre el cálculo de volúmenes, áreas, centros de gravedad... formándose como métodos de integración definida. El primero de los métodos publicado fue el de las operaciones directas con infinitesimales actuales. Apareció en el año 1615 en las obras de Kepler. Para la demostración matemática de las leyes de Kepler fue necesario utilizar las magnitudes infinitesimales. Sin embargo, fue en su obra "Nueva esteriometría de toneles de vino..." donde expuso su método de utilización de magnitudes infinitesimales y los fundamentos para la sumación de estos. Muchos científicos dedicaron sus trabajos al perfeccionamiento del lado operativo de esta empresa, y a la explicación racional de los conceptos que surgían sobre esto. La mayor fama la adquirió la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un método universal de la geometría. Este método fue creado para la determinación de las medidas de las figuras planas y cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de dimensión menor. Así, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este método era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la integración definida en forma de cuadraturas geométricas, adquirió fama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que podían resolver. Las ideas que incluyen elementos de integración definida abarcaban hacia los años 60 del siglo XVII amplias clases de funciones algebraicas y trigonométricas. Era necesario sólo un impulso, la consideración total de los métodos desde un punto de vista único, para cambiar radicalmente toda la problemática de integración y crear el cálculo integral.

17. La teoría de lo indivisible de Cavalieri, presentada en su “Geometría indivisibilis continuorum nova” de 1635 era un desarrollo del método exhaustivo de Arquímides incorporado en la teoría infinitesimal y pequeñas cantidades geométricas de Kepler. Esta teoría permitió a Cavalieri encontrar simple y rapidamente el área y volumen de varias figuras geométricas. El metodo de lo indivisible no estaba rigurosamente completo en las bases de su libro, debido a esto fue duramente criticado. En su replica Cavalieri mejoró esta publicación en su “ Exercitaciones geometricae sex “ la cual fue la fuente principal de las matemáticas. Cavalieri fue responsable de la mayor parte de la introducción de los logaritmos como una herramienta computacional en Italia, a través de su libro “ Directorium Generale Uranometricum”. Las tablas de logaritmos que él publicó, incluyeron logaritmos de funciones trigonométricas para el uso de los astrónomos. Cavalieri también escribió de las secciones cónicas, trigonometría, óptica, astronomía y astrología. El desarrollo una regla general para el largo focal de los lentes y describe la reflexión del telescopio. El también trabajó sobre muchos otros problemas de movimiento, he incluso publicó un número de libros de Astrología; uno en 1639 y el otro que fue su último trabajo en 1646 “Trattato della ruota planetaria perpetua”.

18. Métodos Diferenciales: En las matemáticas del siglo XVII junto a los métodos integrales, se formaron también los métodos diferenciales, dando sus primeros pasos en la resolución de problemas. Tales problemas eran en aquella época de tres tipos: determinación de las tangentes a las curvas, búsqueda de máximos y mínimos de funciones y búsqueda de las condiciones de existencia de raíces múltiples de las ecuaciones algebráicas. En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales, aun se resolvían por los métodos más diversos. veamos algunos casos. Ya en la escuela de Galileo, para la búsqueda de tangentes y normales a las curvas, se aplicaban simultáneamente los métodos cinemáticos, considerando diferentes lanzamientos y movimientos complejos, determinando la tangente en cualquier punto de la trayectoria. Torricelli, admirador de Galileo, estudió las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo con velocidad inicial constante, pero con ángulos de elevación sobre la horizontal variables, descubriendo que la envolvente de todas esas parábolas era otra parábola, la llamada parábola de seguridad. Al pasar de la ecuación de la distancia a la de la velocidad, ambas en función del tiempo, y recíprocamente, se dio cuenta Torricelli del carácter inverso que presentan los problemas de cuadraturas en determinación de tangentes. Sin embargo, su muerte repentina a los 39 años, truncó lo que podía haber sido la invención del cálculo infinitesimal. La exposición sistemática del método y sus aplicaciones más importantes las dio Roberval en 1640. La acumulación de los métodos del cálculo diferencial adquirió su forma más clara en Fermat, quien resolvió el problema de la determinación de los valores extremales de una función f(x). También está próximo al cálculo diferencial su método de búsqueda de las tangentes a las curvas algebraicas, si bien las funciones estudiadas eran polinómicas.Hacia mediados del siglo XVII se acumuló una reserva lo suficientemente grande de recursos de resolución de problemas, actualmente resolubles mediante le diferenciación. Sin embargo, no habían sido aun separados la operación específica de diferenciación y los conceptos equivalentes a los de derivada y diferencial. El análisis matemático se formaba en los dominios y en los términos del álgebra, la geometría, la mecánica, formadas ya entonces como ciencias. Así, cada nuevo cálculo matemático siempre atraviesa un periodo de formación en los límites del ya existente sistema de ciencias matemáticas, utilizando sus recursos.

19. Torricelli fue el primero en crear un indicador de vacío y en descubrir el principio del barómetro. En el 1643 Torricelli propuso realizar un experimento, que más tarde fue presentado por su colega Vicenzo Viviani, el cual demostró que la presión atmosférica está determinada por la altura en que un fluido asciende en un tubo invertido, sobre el mismo liquido. Este concepto contribuyó en el desarrollo del barómetro. Torricelli también comprobó que el flujo de un líquido por una abertura es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del líquido, este resultado es conocido ahora como el Teorema de Torricelli. Torricelli fundó el largo del arco de un cicloide, ( curva formada por un punto en el radio de un círculo en movimiento). Tempranamente hizo uso de los métodos infinitesimales y determinó el punto en el plano de un triángulo, tal que la suma de sus distancias de los vértices es la mínima (conocida como el centro isogónico). Torricelli también estudió la trayectoria de los proyectiles. Su único trabajo publicado, Opera Geométrica el año (1644) incluyeron importantes tópicos de esta materia. Fue un experto en la construcción de telescopios. En realidad ganó mucho dinero con su destreza en este trabajo; en el último periodo de su vida estuvo en Florencia.

20. Galileo estudió en la Universidad de Pisa, y posteriormente se desempeñó como catedrático de Matemáticas desde 1589 a 1592.  Durante este tiempo, inició un libro, De motu ("Sobre el Movimiento"), que nunca publicó, pero que permite seguir el desarrollo inicial de sus ideas en relación al movimiento.  Una de las proposiciones fundamentales de la filosofía aristotélica es que no hay efecto sin causa.  Aplicada al movimiento de los cuerpos se puede afirmar que no hay movimiento sin fuerza. La velocidad, entonces   es   proporcional  a  la  fuerza  e  inversamente   proporcional a  la resistencia. Esta noción  aplicada a los cuerpos que caen, reconoce al peso como la fuerza que impulsa al cuerpo hacia abajo y la resistencia es ofrecida por el aire o el agua. Si el peso determina la velocidad de la caída, entonces cuando dos diferentes pesos son lanzados desde una altura dada el más pesado caerá más rápidamente y el más ligero más lentamente, en la proporción de los dos pesos. Galileo es el representante por excelencia de la corriente que comienza en el siglo XVI a edificar una nueva ciencia del movimiento asentada en los experimentos cuantitativos. Durante las dos décadas siguientes Galileo refinó los experimentos, cambió sus ideas, y llegó a establecer la ley de la caída de los cuerpos.

21. Análisis Infinitesimal: La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con: el álgebra; las técnicas de cálculo; introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; problemas de cuadraturas; búsqueda de tangentes... Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la astronomía y la física. En la resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Walis, Roberval, Fermat, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz, Euler,... La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal, fue el establecimiento de la relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales e integrales, y a partir de aquí la formación del cálculo diferencial e integral. Este último surgió como una parte independiente de las matemáticas, casi simultáneamente en dos formas diferentes: en la forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la forma del cálculo de diferenciales de G.W. Leibniz.

22. Pascal trabajó en las secciones cónicas y desarrolló importantes teoremas en la geometría proyectiva. En su correspondencia con Fermat dejó la creación de la Teoría de la Probabilidad. Pascal inventó la primera calculadora digital (1642). El aparato llamado Pascaline, se asemejaba a una calculadora mecánica de los años 1940. Fomentó estudios en geometría, hidrodinámica e hidroestática y presión atmosférica, dejó inventos como la jeringa y la presión hidráulica y el descubrimiento de la Ley de Presión de Pascal.

23. En la transición del pensamiento medieval al del Renacimiento aparece como un personaje importante el filósofo Nicolás de Cusa (1401 - 1464), considerado el padre de la filosofía alemana y uno de los primeros filósofos de la modernidad.  En 1444, Cusa se interesa en la astronomía y elabora ciertas teorías que más tarde serán aceptadas y otras que aún estar por probar.  En su lenguaje arropado por una envoltura religiosa expresa que si Dios representa la unidad y la infinitud, el mundo también es infinito. Este es el paso radical a la física moderna: si el Universo es infinito, no tiene fin, se deriva pues que no existe centro del Universo, la Tierra no es el centro del Universo, todo es relativo y no hay un lugar de privilegio en el Universo. Tampoco hay quietud, sino que todo está en movimiento, incluido el Sol. En el mismo año de su muerte el cardenal redacta su “De ludo globo”, en el cual, aferrado a la perfección aristotélica pero interesado en encontrar causas físicas, explica el movimiento de un cuerpo perfectamente redondo sobre una superficie perfectamente lisa como un movimiento continuo y uniforme. La razón de este comportamiento radica en que la esfera toca al plano en sólo un punto, reproduciendo continuamente una posición de desequilibrio que alienta el ímpetu eterno.  De Cusa lega la noción que aplicada a los orbes celestiales adoptará Copérnico. El giro eterno de los orbes, sin obstáculos, arrastra a los planetas engastados en ellos.     

24. En el siglo XV, el  profesor prusiano de la Facultad de Artes de la Universidad de Viena, Johannes Muller Regiomontanus (1436 – 1476) hizo importantes contribuciones a la trigonometría y astronomía.  Su obra De triangulis omnimodis (1464) en los libros III, IV y V desarrolla la trigonometría esférica que es por supuesto de máxima importancia para los estudios astronómicos. En enero de 1472 hizo observaciones de un cometa que fueron bastantes precisas para identificarlo como el cometa estudiado por Halley en 1682 cuya reaparición pronosticó justamente para 1758.  El interés de Regiomontanus en el movimiento de la Luna le permite describir un método  para determinar distancias entre dos puntos de la Tierra a partir de la posición de la Luna en su libro Ephemerides editado en su propia imprenta por los años 1474-1506. Este libro tuvo la notable importancia de servir a Américo Vespucio y Cristóbal Colón para medir distancias en el Nuevo Mundo. Sus reflexiones críticas a la teoría lunar de Ptolomeo, las observaciones que acusaban que el planeta Marte se encontraba a 2o de la posición pronosticada,  y la determinación de las imprecisiones de las Tablas Alfonsinas, publicadas en Venecia en "Epitoma del Alamagesto" atrajeron la atención del entonces estudiante de la Universidad de Bolonia, Nicolás Copérnico (1473 – 1543).

25. En 1514, Copérnico distribuyó a varios amigos unas copias manuscritas de un pequeño libro, que en la página de presentación no incluía el nombre del autor. Este libro usualmente conocido como "Pequeño comentario" lanza la visión copernicana de un universo con el sol como centro en siete tesis presentadas como axiomas: - No hay centro en el universo - La Tierra no es el centro del universo. - El centro del universo está próximo al sol. - La distancia de la Tierra al sol es imperceptible en comparación con la distancia a las estrellas. - La rotación de la Tierra explica la aparente rotación diaria de las estrellas. - El aparente ciclo anual de movimientos del sol es causado por la rotación de la Tierra a su alrededor. - El aparente movimiento retrógrado de los planetas es causado por el movimiento de la Tierra desde la cual uno observa. El más sobresaliente de los axiomas es 7, porque aunque sabios anteriores habían supuesto que la Tierra se mueve, algunos incluso llegaron a proponer que la Tierra gira alrededor del sol, nadie antes que Copérnico explicó correctamente el movimiento retrogrado de los planetas más externos. La obra de Copérnico “De revolutionibus orbium caelestium” (Sobre las revoluciones de los cuerpos celestes, 1543), viene a destronar la teoría de Tolomeo de un Universo egocéntrico, santificada por una visión idealista del universo, demostrando que los movimientos planetarios se pueden explicar si se atribuye al Sol una posición central. Al establecer un nuevo marco de referencia dejó intacto la "santidad circular" de las órbitas planetarias por lo que tuvo que acudir también a la hipótesis de los  epiciclos para explicar el movimiento relativo de los planetas. Sólo la teoría  de  la  gravitación  universal  elaborada  por  Newton  150 años después ofrecería la fundamentación de la teoría heliocéntrica copernicana

26. El napolitano Filippo (Giordano) Bruno (1548 - 1600) ingresó en la orden de los dominicos y recibió instrucción, donde Tomas Aquino había enseñado, en la filosofía aristotélica. A los 29 años abandona Nápoles al haber llamado la atención de las autoridades inquisidoras por sus tendencias heterodoxas. Durante su residencia en Londres, en 1584  escribe sus obras "La cena del miércoles de cenizas"  y  "Sobre el universo infinito y los mundos". En el primer libro, Bruno defiende la teoría heliocéntrica de Copernico, y en el segundo desarrolla la idea de la infinitud del universo, y sugiere que el universo debe contener infinitos mundos, muchos de ellos habitados por seres inteligentes. Seis años después de la publicación de estos libros al viajar a Venecia es arrestado por la Inquisición. En 1592 es enviado a Roma y durante ocho años es sometido a prisión e interrogatorios periódicos. Al final Bruno rechazó retractarse siendo declarado hereje y condenado a la hoguera. Las actas del juicio y de los cargos que le fueron imputados se perdieron. De cualquier modo, fue otro mártir de la ciencia... Giordano) Bruno (1548 - 1600)

27. Tycho Brahe (1546 – 1601), propuso un sistema con un carácter ecléctico entre las ideas del heliocentrismo y el geocentrismo y pidió a su discípulo  Johannes Kepler (1571-1630) que utilizando los resultados de esas observaciones le confirmara la idea sobre su modelo. Nadie podrá saber si  Brahe  propuso este modelo  ante el temor promovido por la suerte corrida por su contemporáneo Giordano Bruno (1548 – 1600) considerado hereje y quemado en la hoguera por orden del tribunal de la Inquisición. De cualquier modo, las contribuciones de Tycho Brahe (1546 -1601) a la Astronomía fueron enormes. A los 26 años observa una nueva estrella en la constelación de Casiopea, publicando un breve informe sobre este acontecimiento ("Sobre la nueva estrella nunca previamente vista”, 1573) que significó el descubrimiento de la primera supernova  y puso en duda la filosofía aristotélica vigente sobre la inmutabilidad de la región supralunar. A partir de entonces, Brahe queda convencido de que el progreso de la Astronomía exigía de observaciones más precisas del movimiento de los cuerpos celestes. Con tal propósito construye un observatorio cerca de Estocolmo, diseña, fabrica, calibra y chequea periódicamente la precisión de sus propios instrumentos e instituye las observaciones nocturnas ("Instrumentos para la Astronomía renovada", 1598). Pronto este observatorio se convierte en institución astronómica de referencia en toda Europa. Brahe cambia también la propia práctica de observación cuando no se contenta con apreciar las posiciones de los cuerpos celestes en ciertas posiciones importantes  de sus órbitas sino que reporta el movimiento a través de sus órbitas. El resultado fue que una serie de anomalías nunca antes notificadas fueron reportadas por Brahe. Sin estas series completas de observaciones de precisión sin precedente, Johannes Kepler (1571 - 1630) no habría descubierto que los planetas se mueven en órbitas elípticas.

28. Cuando Brahe descubre un nuevo punto luminoso inmóvil en la bóveda celestial, más brillante que Venus, los astrónomos creían observar un lento movimiento del astro que demostrara que no era una estrella y así mantener viva la invariabilidad del orbe estelar. Fue la ocasión para que Brahe desarrollara un sextante gigantesco dotado con un corrector de errores, mostrando lo que constituiría una especie de obsesión en su carrera, la búsqueda de la precisión en las observaciones astronómicas para derivar cualquier generalización sobre el movimiento de los astros. Esta posición se explica en la respuesta dada al joven Kepler sobre su opinión acerca de su primera   obra “Misterios del Cosmos”: “que haya razones para que los planetas realicen sus circuitos, alrededor de un centro u otro, a distancias distintas de la Tierra o del Sol, no lo niego. Pero la armonía y proporción de este arreglo debe ser buscada a posteriori, y no determinada a priori como vos y Maestlin queréis”. Un año después Kepler era su asistente principal, y luego al pie de la cama en que su tutor se le despedía para siempre, parece haber jurado que contra cualquier obstáculo, y fueron muchos los que les deparó su vida, sería fiel a este legado

29. La obra de Kepler, se publica en un período que abarca el final del siglo XVI y las tres primeras décadas del XVII. En 1597 Kepler  publicó su primer trabajo importante "Misterio Cosmográfico". Persigue “deducir” las órbitas planetarias, y en este empeño descubre que a medida que los planetas se alejan del sol su movimiento se hace más lento. Su aproximación a la ley de la gravitación universal en el lenguaje de este siglo se advierte en sus propias palabras: “O bien las almas movientes de los planetas son tanto más débiles cuanto más se alejan del Sol, o bien hay una sola alma moviente en el centro de todos los orbes, esto es, en el Sol, que mueve con más fuerza a los planetas más próximos a ella y con menos a los más alejados”. Se viene gestando la nueva dinámica celeste que intenta explicar las causas del movimiento y su formalización matemática. Brahe recibe su obra y lo invita a Praga, al advertir su extraordinario talento matemático, para que calcule nuevas órbitas a partir del arsenal de observaciones acumuladas en su observatorio. Los resultados sobresalientes de esta integración pertenecen al siguiente siglo.  

30. - Primera Ley (1609): Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos. - Segunda Ley (1609): El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Tercera Ley (1618): Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol. Pes el periodo orbital, r la distancia media del planeta con el Sol y K la constante de proporcionalidad.