Ćwiczenie II. Niektóre podstawowe funkcje matematyczne i ich zastosowanie w biologii. Allometria a...
Download
1 / 27

Strona internetowa ćwiczeń : home.umk.pl/~henroz/matm1112 - PowerPoint PPT Presentation


  • 95 Views
  • Uploaded on

Ćwiczenie II. Niektóre podstawowe funkcje matematyczne i ich zastosowanie w biologii. Allometria a geometria fraktalna. Strona internetowa ćwiczeń : http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Strona internetowa ćwiczeń : home.umk.pl/~henroz/matm1112' - tibor


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Ćwiczenie II. Niektóre podstawowe funkcje matematyczne i ich zastosowanie w biologii. Allometria a geometria fraktalna

  • Strona internetowa ćwiczeń: http://www.home.umk.pl/~henroz/matm1112

  • Definicja: funkcją nazywamy matematyczną zależność pomiędzy 2 (lub więcej) zmiennymi, opisaną równaniem (równaniami). Od 1 (lub od kilku – od serii) zmiennej znanej (danej) zw. niezależną ozn. literą x (ew. xi , gdzie i, to kolejne liczby naturalne) zależy 1 i tylko 1 zmienna zw. zależną – ozn. lit. y, a zależność można opisać równaniem ogólnym: y = f(x) (gdy war.: „1 i tylko 1” nie jest spełniony – mamy relację, a nie funkcję). F. matemat.można przeds-tawić na wykresie. Zbiór wartości zm. niezal. x = zb.argu-mentów funkcji = dziedzina funkcji; zb.wart. zm.zależ. y=przeciwdziedzina funkcji. Wart. zm. niezal. (x), dla których funk- cja przyjmuje wart. y = 0, nazywamymiejscami zerowymi lub pierwiastka-mi funkcji.


  • Jedna z najprostszych funkcji, to ich zastosowanie w biologii. Allometria a geometria fraktalnaf. liniowa: y = ax + b (wykres- prosta). - funkcja algebraiczna

  • y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +.....+ anxn = (wielomian stopnian-tego). Funkcję stałą (y = a) możemy uznać za wielomian stopniazerowego, a f. liniową – wielomian st. pierwszego.

  • Jedną z najbardziej znanych funkcji jest wielomian II stopnia – in. funkcja kwadratowa (lub trójmian kwadratowy):

  • y = ax2 + bx + c(a  0) .Trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej:f(x) = a(x + b/2a)2 - /4a,gdzie:  = b2 - 4ac, jest wyróżnikiemtrójmianu kwadratowego.

  • Wykresem f. kwadratowej jest parabola,o współrzędnych wierzchołka:xw = -b/2a i yw = -/4a.

  • Dla a > 0 f. kwadr. ma minimum dla x = xw, równe yw;dla a < 0" - " - " maksimum " " " " - " - „.


Dla ich zastosowanie w biologii. Allometria a geometria fraktalna > 0 f. kwadr. ma 2 m-sca zerowe: x1 i x2.Gdy  = 0 f. kwadr. ma 1 m-sce zerowe: x0 = xw.Gdy  < 0 f. kwadr. nie ma miejsc zerowych wcale.Dla  0, f. kwadr. można przedstawić w postaciiloczynowej:

f(x) = a(x-x1)(x-x2) ( > 0); f(x) = a(x-x0)2 ( = 0)

Dla  > 0, równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki:

i

Jeżeli  = 0, to równanie ma 1 pierwiastek(podwójny) i liczymy go: x0 (x1,2) = -b/2a

[wartość pierwiastka (x0) odpowiada tu odciętej wierzchołka (xw)]


  • Gdy ich zastosowanie w biologii. Allometria a geometria fraktalna < 0, to równanie nie ma pierwiastków.

  • Suma i iloczyn pierwiastków: x1 + x2 = -b/a;x1*x2 = c/a

  • Zastosowanie f kwadratowej w biologii – do modelowania jakichkol-wiek zjawisk krzywoliniowych, gdzie nie ma „mocnych” podstaw teoretycznych do użycia innego modelu krzywoliniowego [np. wzrost hodowli bakterii w czasie – z uwzględnieniem szybko następujących po sobie faz równowagi i zamierania: parabola otwarta ku dołowi (a < 0)].


Funkcja wykładnicza ich zastosowanie w biologii. Allometria a geometria fraktalna

Postać ogólna: y = a.ebx(gdy wyrażenie w wykładniku jest złożone, zamiast ebx piszemy exp[bx]). Przebieg:

Przykłady – w ćw. I (błądzenie

lub przypadkowe!): wymieranie gatun-

ków, rozpad radioaktywny, rozkład

materii organicznej, rozprzestrze- nianie się zanieczyszczeń w środo-dowisku, dyfuzja (b < 0) oraz pojawianie się mutacji i procesy wzrostu – w tej jego fazie, kiedy przebiega bez ograniczeń (b > 0). Są to procesymultyplikatywne, czyli przebiegające w postępie geometrycznym.

Przykład (szczegółowo): rozpad radioaktywny: N = N0.e–kt, gdzie:

N0 – wyjściowa liczba atomów pierwiastka, k – stała rozpadu (współ- czynnik kierunkowy, odpowiednik „b”), t – czas, N – liczba atomów, które nie uległy rozpadowi.

Czas, w którym N = N0/2, to czas połowicznego rozpadu (zaniku) (t½), który wyliczamy: N/N0 = e–kt= ½;ekt= 2t½ = ln(2)/kProdukty rozpadu (Np) nagromadzają się zgodnie z przekształconym

równaniem funkcji wykładniczej: Np = N0(1 – e–kt) .


Funkcja potęgowa

Postać ogólna: y = axb . Przebieg – zależy od wartości wykładnika b:

f. potęgowa jest

określona dla:

x > 0

Jedna z najważniejszych funkcji dla biologii / biologów; w naukach mor-fologicznych (morfometria) nazywana jest też allometryczną. Różne parametry morfologiczne (wymiary ciała, pole powierzchni ciała,objętość ciała i biomasa) nie są wzajemnie proporcjonalne względemsiebie. Nie są też proporcjonalne w stosunku do parametrów fizjologicz-nych (np. tempo metabolizmu, aktywność fotosyntezy, oddychania, etc.).Zależność pomiędzy tego typu zmiennymi najlepiej opisują funkcje potę-gowe (allometryczne). Nazywana jest ona allometrią (= nierównomier-ność, nieproporcjonalność) – w odróżnieniu od równomierności (izome-trii = proporcjonalności). Gdy 0,5 < b < 1 – hipometria; gdy b > 1 –hipermetria. U owadów: W ~ L2,6, W – masa ciała, L – długość ciała. Reguła Kleibera: M ~ W 0,75, M – tempo metabolizmu, W – j.w. (niekiedywyjątki: u niektórych stawonogów – wykładnik > 1).


Zależność pomiędzy liczbą gatunków (S), np. owadów, a zajmowaną przez nie powierzchnią (A) można opisać funkcją allometryczną:S = S0Ab, gdzie: S0 – wyjściowa (początkowa) liczba gatunków.

Funkcja logarytmiczna

(patrz – ćwiczenie I !)


Funkcja hiperboliczna zajmowaną F. silnie malejąca: szczególny przypadek funkcji potęgowej o ujem- nym współczynniku kierunkowym (b < 0). Jednym z najważniejszych zastosowań f. hiperbolicznej w biologii jest modelowanieszybkości rozmnażania (liczby potomstwa) w zależności od masy lub od wielkości ciała. Najprostsza postać: y = ax–1; xy=a=const. Dla wysokich wartości x, krzywizna wykresu jest b. słaba i można ją aproksymować liniąprostą. Tę część wykresu, nazyw. „ciężkimogonem” („heavy tail”).„heavy tail” Typowy przykład:


Odwrócona hiperbola zajmowaną Funkcja obrazowana wykresem odwróconej hiperboli, to: . W biochemii służy do modelowania kinetyki reakcji enzymatycznych, jako tzw. równanie i krzywa Michaelisa-Mentena: ; gdzie: V0 – szybkość reakcji enzymatycznej; [S] – stężenie substratu; Vmax – hipotetyczna, maksymalna szybkość reakcji; K – stała Michaelisa-Mentena – stężenie substratu, odpowiadające ½ Vmax . V0 asymptotycznie zbliża się do wartości Vmax, ale nigdy jej nie osiąga, czyli: limV0S = Vmax . R-nie Michaelisa-Mentena – ważny przykładz całej klasy funkcji Monoda, opisanej równaniem: . Równanieto daje się linearyzować: 1/y względem 1/f(x) ze współcz.kierunkowym b/a i wyrazem stałym 1/a – transformacja Lineweavera–Burka. Szczególny przypadek – równanie Hilla na wiązanie tlenu przezmioglobinę, w zależności od ciśnienia cząstkowego tlenu [p(O2)]. Jeżeli tlen jest wiązany nie przez monomer, lecz przez di-, tri lub tetramer mioglobiny – to [p(O2)] [odpowiednik f(x)] w r-niu jest podno-szone do potęgi II-giej, III-ciej lub IV-tej, a krzywa przyjmuje kształtsigmoidalny.Funkcje trygonometryczne – do przerobienia samodzielnego.


Allometria a geometria fraktalna zajmowaną

Do czasu opracowania i powszechnego przyjęcia przez matematyków zasad geometrii fraktalnej, nie było możliwości matematycznego opisu i modelowania morfologii obiektów spotykanych w przyrodzie o kształtach bardziej skomplikowanych od prostych figur geometrycznych.Fraktal jest obiektem o kształcie bardziej skomplikowanym od prostych figur geometrycznych, zaś jego wymiar nie jest liczbą całkowitą – zwykle kończy się ułamkiem dziesiętnym (od ang.: „fraction” – ułamek).Proste obiekty – takie, jak: odcinek, prosta czy okrąg mają wymiar topologiczny (=euklidesowy; D) = 1; w miarę jak ich kształty się komplikują – ich wymiar wzrasta o pewną wartość ułamkową, którą nazywamy wymiarem fraktalnym (d) [w praktyce za wymiar fraktalny przyjmuje się jednak sumę wym. topologicznego i „dodatkowego” (s. stricto) fraktalnego (D+d)].Ważną cechą większości (choć nie wszystkich) fraktali jest samopodobieństwo. IFigura jest samopodobna, jeśli można ją podzielić na części, które są podobne doII całości (Białynicki-Birula & c., 2002). W całości samopodobnego płatka śniegu (I) można wyróżnić podobne doń „podpła- tki” II-go i III-go rzędu. SamopodobieństwoIII jest to układ / wzór, który wygląda podob-nie niezależnie od skali (W. Ulrich).Geome- tria fraktalna określa wzorce procesów samopodobnych. Procesy samopodobne


wyglądają podobnie bez względu na powiększenie, pod jakim je obserwujemy. Inspiracją do stworzenia podstaw geometrii fraktalnej był fakt różnej długości postrzeganej linii o złożonym przebiegu (np. granice państw / kontynentów), w zależności od długości linijki użytej do ich zmierzenia lub od powiększenia pod jakim są obserwowane (przykł. ze skr.: dł. linii brzegowej Europy).Im krótsza linijka – tym większa długość pos- trzegana. Zależność tąmożna opisać funkcją allometryczną (x – długość linijki lub czyn- nik skalowania; y – długość postrzegana). Funkcja potęgowa, bę-dąca najprostszym modelem procesu samopodobnego, to:L(s) = L0sD+d –1, gdzie: L – długość postrzegana, L0 – wyraz stały (długość hipotetyczna, przy nieskończenie wysokim s), s – czyn-nik skalowania (zmniejszenie / powiększenie), D – wymiar eukli -

desowy; d – wykładnik funkcji potęgowej, definiującej proces samopodobny; D + d – kompletny wymiar fraktalny.


Wymiar fraktalny może być różnie definiowany i wyliczany przy użyciu różnych metod; 1 z najbardziej znanych – „wymiar Minkowskiego”:

Wyliczanie wymiaru fraktalnego, gdy dane są obwód i powierzchnia różnych elementów badanego obiektu (zad. 5):

Obwód (P):

Powierzchnia (A):P = a*Ad/2

stała wymiar fraktalny

Zastosowanie geometrii fraktalnej- modelowanie procesów rozgałęziania się naczyń w tkankach roślinnych i zwierzęcych- modelowanie zależności szybkości metabolizmu od masy ciała (prawo Kleibera!)- diagnostyka osteoporozy i jaskry w medycynie


Wskaz wki do wykonania zada praktycznych w ii
Wskazówki do wykonania zadań praktycznych ćw. II. przy użyciu różnych metod

Wskazówki do zadania 1:

Dla równania:

y = 5x2 - 15x + 4

= (-15)2 - 4*5*4 = 145

x1 = (15 - 145)/(2*5) = 0,296

x2 = (15 + 145)/(2*5) = 2,704


Wskazówki do zadania 2: przy użyciu różnych metodPo otwarciu wskazanej strony internetowej, program on-line (do charakterystyki trójmianu kwadratowego) – wygląda następująco:


Wprowadzamy w pole zaczynające się od „y=” prawą stronę naszego równania kwadratowego (1), a następnie klikamy w przycisk „Rysuj” (2):Klik


Powinny ukazać się: stronę naszego równania kwadratowego (1), a następnie klikamy w przycisk „Rysuj” (2):„Własności funkcji kwadratowej”,


  • oraz jej stronę naszego równania kwadratowego (1), a następnie klikamy w przycisk „Rysuj” (2):wykres:


Wskazówki do zadania 3: stronę naszego równania kwadratowego (1), a następnie klikamy w przycisk „Rysuj” (2):Program on-line, do kreślenia wykresów różnych funkcji, wygląda następująco:


Wprowadź w pole zaczynające się od „y=” prawą stronę odpowiedniego równania funkcji (1), a następnie kliknij w przycisk „Rysuj” (2):Tu wpiszrównaniefunkcji (1)

Klik (2)


W efekcie powyższych czynności, uzyskujemy stronę odpowiedniego równania funkcji (1), a następnie kliknij w przycisk „wykres: Wykresy kolejnych

funkcji, wykonujemy

w sposób analogiczny

(zgodnie z instrukcją

przy programie on-line)


Wskazówki do zadania 4: stronę odpowiedniego równania funkcji (1), a następnie kliknij w przycisk „Wykres punktowy (X, Y), wykonujemy w taki sam sposób, jak w zadaniu 3 z Ćw. 1 (etapy a-k, w podpowiedziach). Powinien on wyglądać następująco:


Na wykresie punktowym (rozrzutu; XY) naprowadzamy kursor na dowolny punkt i wciskamy prawy przycisk myszy. Otwiera się menu, z którego wybieramy komendę: „Dodaj linię trendu” i zatwierdzamy: albo przez wciśnięcie <Enter> albo przez kliknięcie (lewy przycisk!!).

Prawy

przycisk(1) Naprowadzamy kursor i albo <Enter> albo Klik (2)


Wybieramy: „Typ trendu/regresji” – „Wykładniczy” i klikamy w zakładkę„Opcje” Klik (2)Klik (1)


W „Opcjach” włączamy (przez kliknięcie w mały, biały kwadracikprzed opcją): „Wyświetl równanie na wykresie” i „Wyświetl wartości R-kwadrat na wykresie”, a następnie zatwierdzamy przez kliknięcie w OK (R2 – współczynnik determinacji).

Klik (1)Klik (2)

Klik (3)


Gotowy wykres powinien wyglądać jak poniżej [w razie potrzebyformatujemy/powiększamy wyświetlane równanie i R2 (Prawy przycisk myszy  „Formatuj etykiety danych”  czcionka  rozmiar);iew. zmieniamy ich położenie].

Odczytujemy: N0 = 10179;k = 0,0072 i R2 = 0,9989. Równanie na wyliczenie czasu połowicznego zaniku t1/2 = ln(2)/k (dlaczego?) Po podstawieniu:t1/2 = 0,69315 / 0,0072 = = 96,3 lat


Wskazówki do zadania 5: potrzebyPobieramy plik Excela „paproc.xls” ze strony ćwiczeniowej i zapisuje-my na nośniku USB [dane: wyniki pomiarów obwodu i powierzchni fragmentów fraktala: liść Barnsley’a (paproci), uzyskano za pomocą programu analizy obrazu: „Scion Image”]. Wykonujemy wykres punktowy (XY) i dopasowujemy do danych krzywą regresji potęgowej („Trend potęgowy”) – metodami poznanymi w zadaniu poprzednim. Gotowy wykres: Z równania na wykresie, odczytu- jemy: wykładnik = 0,7782. Ponieważ: D = 2 * wykładnik,D = 2 * 0,7782 = 1,5564.


Dzi kuj

Dziękuję potrzeby

za uwagę ;-)


ad