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尋找規則 國立臺南師範學院數學教育系 謝 堅. 何謂 「 ∞ 」? 自然數、整數、有理數、無理數、實數 ,它們 的個數都是 ∞ 個 ,誰的個數比較多 ? 整數的個數比自然數多嗎 ? 多多少 ? 有理數個數比無理數多嗎 ? 為什麼 ?. 直線、平面、空間 ,它們都有 ∞ 個點 ,誰的點的個數比較多 ? 平面上點的個數比直線上多嗎 ? 空間上點的個數比平面上多嗎 ? 空間上點的個數比平面多多少 ?. 正三角形一個邊、正三角形周界、正三角形區域 ,它們都有 ∞ 個點 ,誰的點的個數比較多 ? 三個邊上點的個數和 , 是一個邊上點的個數的 3 倍嗎 ?
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尋找規則 • 國立臺南師範學院數學教育系 • 謝 堅
何謂「∞」? • 自然數、整數、有理數、無理數、實數,它們的個數都是∞個,誰的個數比較多? • 整數的個數比自然數多嗎?多多少? • 有理數個數比無理數多嗎?為什麼?
直線、平面、空間,它們都有∞個點,誰的點的個數比較多?直線、平面、空間,它們都有∞個點,誰的點的個數比較多? • 平面上點的個數比直線上多嗎? • 空間上點的個數比平面上多嗎? • 空間上點的個數比平面多多少?
正三角形一個邊、正三角形周界、正三角形區域,它們都有∞個點,誰的點的個數比較多? • 三個邊上點的個數和,是一個邊上點的個數的3倍嗎? • ∞+∞+∞=3∞?
這些「∞」個有何異同? • 各種「∞」之間,是否能比較個數的多與少? • 可以簡單的把「∞」區分為「可以點數」與「不可以點數」兩類。
可點數的∞vs 不可點數的∞ • 如果一個集合和自然數之間滿足一對一的對應關係,數學上稱這個集合的個數是可以點數的。
自然數、整數、有理數、無理數、實數的個數都是∞個,那些集合的個數是可以點數的,那些集合的個數是不可以點數的?自然數、整數、有理數、無理數、實數的個數都是∞個,那些集合的個數是可以點數的,那些集合的個數是不可以點數的? • 自然數可以點數,整數可以點數嗎?
0、+1、-1、+2、-2、+3、-3……, • 依據這樣的順序排列,整數是可以點數的。 • 有理數的個數可以點數嗎? • 無理數的個數可以點數嗎?
1/1、1/2、2/1、1/3、2/2、3/1、1/4、2/3、3/2、4/1、1/5、2/4、3/3、4/2、5/1 …… • 依據這樣的順序排列,有理數是可以點數的。 • 無理數是不可以點數的。 • 實數也是不可以點數的。 • 找規則只討論可以點數的範圍。
數學歸納法: • 何謂數學歸納法? • 人們為什麼要發明數學歸納法? • 學會數學歸納法有那些幫助?
1×1+2×2+3×3+4×4+ ….+n×n • =n(n+1)(2n+1)/6 • 你會利用數學歸納法證明上面的公式成立嗎? • 為什麼可以利用數學歸納法證明上面的公式成立? • 上面的公式從那裡冒出來的?
平面上相異n條直線,最多能夠把平面分割成幾個部份?平面上相異n條直線,最多能夠把平面分割成幾個部份? • 它是尋找規則的問題嗎? • 它與數學歸納法有關係嗎? • 如何找出答案? • 怎麼知道找出的答案是正確的?
1×1+2×2+3×3+4×4+ ….+n×n • =n(n+1)(2n+1)/6 • n=1時,等式成立。 • n=k成立 n=k+1成立。 • 為什麼 成立,等式就一定成立?
n=1時,等式成立。 • n=2時,等式成立。 • n=k,k+1成立 n=k+2成立。 • 成立,等式就一定成立嗎?
遞迴定義法: • 何謂遞迴定義法? • 人們為什麼要發明遞迴定義法? • 學會遞迴定義法有那些幫助?
已知a1=1,an=an-1+n,求an=? • 上面的式子從那裡冒出來的? • 求出an的目的是什麼? • 遞迴定義法與數學歸納法,它們之間有關係嗎?
一條彎曲成19折的繩子(如圖),想由上往下剪二刀,請問剪後這一條繩子變成多少段?一條彎曲成19折的繩子(如圖),想由上往下剪二刀,請問剪後這一條繩子變成多少段? • 有二種解決這類問題的方式:
第一種: • 將該問題視為一個獨立的問題,思考如何直接解決該問題。 • 第二種: • 將該問題視為一串相關的問題,思考如何透過找規則方式解決問題。
第一種:視為獨立的問題 • 解法1: • (19–1)÷2=9(右邊彎曲的有9段) • 9+1=10(右邊剪成10段) • 10×2=20(左、右共剪成20段) • 20+19=39(加上中間剪成19段)。
解法2: • 3×19=57(假設每一折都剪成3段) • (19-1)÷2=9(右邊有9段是重複的) • 9×2=18(左邊也有9段是重複的) • 57-18=39。
解法3: • 2×(19-1)=36(除了第1折以外,每一折都被剪成2段) • 36+3=39(第1折被剪成3段)。
解法4: • 一刀2段,二刀3段,n刀n+1段。 • 19×2=38(假設將直線拉直,整條直線被剪三十八刀) • 38+1=39(三十八刀有39段)。
第二種:透過找規則解題 • 解法1: • 1折 3段 • 2折 5段 • 3折 7段 • 4折 9段 • 5折 11段
發現成等差數列的規則: • 1 2 3 4 5 n • • 3、5、7、9、11…… 2n+1 • 19折 (2×19+1=39)段。
你接受這種解法嗎? • 1個平面可以將空間分割成2部份。 • 2個平面可以將空間分割成4部份。 • 3個平面可以將空間分割成8部份。 • 4個平面可以將空間分割成幾部份?
何謂數列? • 2、5、3.8 • 1/3、 4.91 • 67、 4、 • 46、 • 上面這一堆數是一個數列嗎?
數列是一個函數,而函數是兩組數之間的關係。數列是一個函數,而函數是兩組數之間的關係。 • 2、5、3.8、1/3、4.91、67、4 • 可以是一個數列,如果你心中認定第一項是2,第二項是5,第三項是3.8,第四項是1/3……。
數列不一定有規則,數學上通常只討論有規則的數列。數列不一定有規則,數學上通常只討論有規則的數列。 • 填填看: • 2,3,5,( ),( ),( ) • 答案只有一組嗎?
2,3,5,(8),(12),(17) • 2,3,5,(8),(13),(21) • 2,3,5,(7),(11),(13) • 2,3,5,(3),(4),(6) • 2,3,5,(2),(3),(5) • 2,3,5,(12),(13),(15) • 2,3,5,(20),(30),(50)
那些答案是合理的? • 你還可以找到其它的答案嗎? • 當你確定一組數列時,你能找到這組數列的第n項(n∞)嗎?
假設對應關係是f(x)=axx+bx+c • f(1)=a+b+c=2 • f(2)=4a+2b+c=3 • f(3)=9a+3b+c=5 • 解聯立方程式之後,就可以找到一組對應關係,滿足第一項是2,第二項是3,第三項是5的關係。
像這樣的對應關係可以有∞組。 • 對應關係g(x)=axxx+bx+c • 對應關係h(x)=asinx+bcosx+c • 知道一個數列的前三項,一定可以找到上面的對應關係,也就是說,可以確定一組數列。
知道一個數列的對應關係,能夠確定一個數列嗎?知道一個數列的對應關係,能夠確定一個數列嗎? • 知道一個數列前面幾項,也知道這個數列的對應關係,就能夠確定一個數列嗎?
只知道一個數列的部份項,無法確定這個數列。只知道一個數列的部份項,無法確定這個數列。 • 只知道一個數列的對應關係,也無法確定這個數列。 • 知道一個數列的首項及對應關係,才能夠確定一個數列。
1折:a1=3 • 2折:a2=a1+2(剪2刀,多出2段) • 3折:a3=a2+2(剪2刀,多出2段) • n折:an=an-1+2(剪2刀,多出2段) • 每多出1折(例如8折變成9折),就比原來(8折時)多出2段。
遞迴定義: • a1=3 (首項) • an=an-1+2(前後項對應關係) • 求an=?(第n項是什麼)
a1=3 • a2=a1+2 • a3=a2+2 • a4=a3+2 an=3+2(n-1) • =2n+1 • an=an-1+2
利用數學歸納法,證明透過遞迴定義所找出來的第n項是正確的。利用數學歸納法,證明透過遞迴定義所找出來的第n項是正確的。 • 找規則的三個步驟:
步驟一: • 找出規則,並使用遞迴定義的方式把規則記錄下來。 • 遞迴定義中必須包括首項,以及前後項的對應關係。 • 台灣學生缺少這部份的學習經驗。
步驟二: • 透過遞迴定義找出第n項。 • 透過遞迴定義找出第n項是數學問題,高中課本或微積分課本中有相當多此類問題。
步驟三: • 利用數學歸納法證明找出的第n項成立。 • 數學歸納法證明是數學問題,高中課本有很多數學歸納法的證明題。
問題1: • 河內塔。 • 問題2: • 虧格。
問題1:河內塔 • a1=1(一層只要搬1次) • a2=3(二層時要搬3次) • a3=7(三層時要搬7次) • 數列的規則不重要,重要的是找到n層與n+1層的關係。
假設有4層: • 一定要先將上面的3層由甲柱搬到乙柱(a3次),再將最下面的1層由甲柱搬到丙柱(1次),最後再將乙柱的3層搬到丙柱(a3次),合起來要搬(a4=2a3+1)次。 • 當n層時也適用(an=2an-1+1) 。
a1=1 • a2=2a1+1=2×1+1=3 • a3=2a2+1=2×3+1=7 • a4=2a3+1=2×7+1=15 • a5=2a4+1=2×15+1=31 • …. • 依據規則可以求出有限項的答案。
步驟1:找出規則。 • a1=1(首項) • an=2an-1+1(n項 n+1項) • 步驟2:求出一般項。 • an=2(n次方)-1 • 步驟3:數學歸納法證明成立。
問題2:虧格 • 虧格圖形: • 虧格: • 空格: • 邊長是2的虧格圖形: • 用1塊可以填滿(a1=1)。
邊長是2×2的虧格圖形: • 等分成四個邊長是2的虧格圖形,不論空格在那裡,用5塊虧格來排(a2=4a1+1)一定可以填滿。
邊長是2×2×2的虧格圖形: • 等分成四個邊長是2×2的虧格圖形,不論空格在那裡,用虧格來排一定可以填滿(a3=4a2+1) 。
邊長是2(n次方)的虧格圖形: • 不論空格在那裡,用虧格來排一定可以填滿(an=4an-1+1) 。