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Inverse Probleme

Inverse Probleme. Anwendung bei der Experimentauswertung. Aus indirekten Beobachtungen eines Objekts auf dessen physikalische Eigenschaften zurückschließen Beispiele: Computer-Tomographie Seismologie Astronomie Signalverabeitung und Mustererkennung Auswertung von EXAFS-Daten

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Presentation Transcript

  1. Inverse Probleme Anwendung bei der Experimentauswertung

  2. Aus indirekten Beobachtungen eines Objekts auf dessen physikalische Eigenschaften zurückschließen Beispiele: Computer-Tomographie Seismologie Astronomie Signalverabeitung und Mustererkennung Auswertung von EXAFS-Daten Mathematische Formulierung: Inverses Problem - gemessene/beobachtete Größe - gesuchte physikalische Eigenschaft - Integralkern, beschreibt wie die gesuchte physikalische Eigenschaft die gemessenen Größe erzeugt (Theorie)

  3. Inverses Problem Lösung + Schwierigkeiten Die Fredholmsche Integralgleichung wird diskretisiert, es entsteht ein Gleichungssystem wobei bund f Vektoren, A eine Matrix sind die formale Lösung der Gleichung wäre dann • aber • kleine Fehler in b, bzw. in A(Theorie kann ungenau sein!) führen zu • großen Abweichungen in f (Oszillationen) • 2. die Matrix A ist meist schlecht konditioniert, traditionelle Verfahren zur • Berechnung der Inversen (Gauß-Jordan-Algorithmus, Adjunkte) scheitern.

  4. 1. Schwierigkeit → Regularisierung Suche nach Lösung, die folgender Bedingung genügt: → minimale Norm des Residuums und → minimale Norm der Lösung (Oszillationen!) Regularisierungparameter klein → geringe Dämpfung der Oszillationen groß → Dämpfung der Struktur der Lösung Minimierungsproblem (Methode der kleinsten Quadrate) führt zu es bleibt: - möglichst exakte Matrizeninversion - Bestimmung des Regularisierungsparameters

  5. 2.Schwierigkeit → Singulärwertzerlegung (SVD) Jede rechteckige m x n Matrix A kann zerlegt werden in mit dabei hat Udie gleiche Gestalt wieA, Vist eine quadratische n x n Matrix, nach den Regeln der Matrizenalgebra ergibt sich für die Inverse von A der Wert w1/wn heißt Konditionszahl der Matrix A, wenn (Konditionszahl)-1~ Rechnergenauigkeit, dann ist A schlecht konditioniert.

  6. Optimaler Regularisierungsparameter Einsetzen der Singulärwertzerlegung in Gleichung für regularisierte Lösung führt zu • Optimaler Regularisierungsparameter: • kleiner Fehler • kleine Oszillationen der Lösung für das Residuum ergibt sich →Norm der Lösung und Norm des Residuums als Funktion des Regularisierungsparametersλ

  7. L-Kurve Norm der Lösung als Funktion der Norm des Residuums parametrisiert mit Regularisierungsparameter in logarithmischer Darstellung λ32 = 0,17*10-16 λ22 = 0,55*10-4 λ12 = 2,51*10-2 Optimaler Regularisierungsparameter ~ Knick in der L-Kurve, maximale Krümmung der L-Kurve,

  8. Anwendung: Analyse der Feinstruktur von Röntgenabsorptionsspektren (EXAFS) Augereffekt • Der normierte oszillierende Teil des Spektrums (NOP) • entsteht durch Interferenz bei der Rückstreuung • herausgeschlagener Elektonen an benachbarten • Atomen und wird bestimmt durch Nahordnung: • Entfernung zu nächsten Nachbarn Reff • Koordinationszahl N (Anzahl von Atomen mit Reff) • Debye-Waller-Faktor σ2 • Nahordnung → Information über chemische Bindung • z.B. wie werden radioaktive Stoffe im Abraum gebunden

  9. Inverse Aufgabe: Bestimmung der Paarverteilungsfunktion Nahordnung (Reff, N und σ2) wird beschrieben durch Paarverteilungsfunktion g(r) Quantenmechanische Betrachtung: Bestimmung von g(r) aus NOP χ(r) → inverse Aufgabe

  10. Beispiel: Cm3+ in wässriger Lösung • Das langlebige Curium-Isotop spielt wichtige Rolle in Nuklearmülllagern, die Frage, von wievielen Sauerstoffatomen es in wässriger Lösung umgeben ist, hat Bedeutung für die Abschätzung seiner Mobilität. • Bei ROBL am ESRF in Grenoble wurden • EXAFS-Spektren von Cm3+ in wässriger Lösung aufgenommen • das NOP aus dem Spektrum bestimmt • Mit Hilfe der Regularisierungsmethode bei optimalem Regularisierungsparameter konnte die Koordinationszahl mit 9.2 bestimmt werden • Bisherige (Fit)-Methoden ergaben in Abhängigkeit von Fit–Parametern Werte zwischen 8.4 und 9.3

  11. Literatur • Numerical Recipes in Fortran, Cambridge University Press 1992, S.51 (FZD: I 2038) • Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion, Hansen, P.C., 1998, SIAM monographs on mathematical modeling and computation, ISBN 0-89871-403-6 • Hansen, P.C. The L-Curve and its Use in the Numerical Treatment of Inverse Problems (http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/publication_details.php?id=449) • Matlab Software for Regularization of Discrete Ill-Posed Problems (http://www2.imm.dttu.dk/~pch/Regtools/index.htmlhttp://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=52&objectType=file) • Zeitschriften: • Inverse Problems, Elektonische Zeitschrift des IOP (Institut of Physics) zum Themenkreis Inverse Probleme: http://www.iop.org/EJ/journal/IP (seit 1985) • Journal of Inverse and Ill Posed Problems, http://www.ingentaconnect.com/content/09280219

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