RAPOARTE Ş I PROPOR Ţ II

1. RAPOARTE ŞI PROPORŢII PROFESOR: TEREZIA MOS

2. RAPOARTE ŞI PROPORŢII Raportul numerelor rationale a si b, b0 este a:b si se scrie a si b se numesc termenii raportului. Exercitiul 1. Sa se afle valoarea raportului dintre numerele a = 12 si b = 16. sau Rezolvare: Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proportie: PROPORTIA este egalitatea a doua rapoarte. Daca avem a, b, c, d, asa incat: este o proportie, cu extremiia si d si meziib si c. EXEMPLU PROPRIETATEA FUNDAMENTALA A PROPORTIILOR: Aflati x din: daca si numai daca ad=bc .

3. DERIVAREA PROPORŢIILOR Derivarea unei proportii cu aceiasi termeni a) Schimband extremii intre ei  b) Schimband mezii intre ei  c) Inversand rapoartele  Derivarea unei proportii cu alti termeni -se inmultesc/impart termenii unui raport cu acelasi numar nenul:   -se inmultesc/impart numitorii/numaratorii cu acelasi numar nenul:  -se aduna/scad la numaratori numitorii: -se aduna/scad la numitori numaratorii:  -se egaleaza un raport cu raportul obtinut prin adunarea/scaderea numaratorilor si respectiv a numitorilor: 

4. ŞIRUL DE RAPOARTE EGALE Daca avem: 1. atunci: 2. atunci: 3. atunci: 4. atunci: 5. atunci: Observatie: Daca este nevoie ca un termen al unui raport sa fie negativ, atunci ambii termeni ai aceluiasi raport trebuie sa fie negativi !

5. DIRECTA ŞI INVERSA PROPORŢIONALITATE si atunci: Daca avem doua multimi: A = {a, b, c, d} B = {l, m, n, p} 2. Multimile A si B sunt in relatie de inversa proportionalitate, si: Multimile A si B sunt in relatie de directa proportionalitate, si: 1. EXEMPLU: Impartiti numarul 111 in trei parti invers proportionale cu: Daca cele trei parti sunt invers proportionale cu numerele date, atunci se formeaza un sir de rapoarte egale, cu numitorii inverselor numerelor date: REZOLVARE: Atunci: .

6. REPREZENTAREA GRAFICA A DEPENDENTEI DIRECT PROPORTIONALE Reprezentarea grafica a dependentei direct proportionale Fie multimile A si B in care elementele sunt intr-o relatie de directa proportionalitate. A B y 4 2 3 5 6 3 10 5 2 O x 4 6 10 .

7. REPREZENTAREA GRAFICA A DEPENDENTEI INVERS PROPORTIONALE y Fie multimile A si B in care elementele sunt intr-o relatie de inversa proportionalitate. 6 A B 6 2 4 4 3 2,4 5 2,4 O x 2 3 5 .

8. P R O C E N T E Rapoartele de forma se noteaza cu p% si se numesc rapoarte procentuale. EXEMPLE: Din propozitia p% din a = b rezulta urmatoarele tipuri de probleme: 1. Daca se cunosc p si a atunci b = p% a 2. Daca se cunosc p si b, atunci a este: Aplicatie: 30% din cat este egal cu 18? 3. Daca se cunosc a si b, atunci p este: Aplicatie: Cat % din 64 este 16 ? .

9. O PROBLEMA CU PROCENTE Pretul unui produs se modifica de doua ori: prima data creste cu 40% iar a doua oara scade cu 25% din noul pret. a) Daca pretul final este de 63 de lei, aflati pretul initial. b) Cu cat la suta s-a modificat pretul de la cel initial la cel final? c) Care a fost pretul dupa prima modificare de pret? REZOLVARE Vom propune o varianta eficace de rezolvare: 1. Vom rezolva punctul b), afland procentul ce inlocuieste cele doua procente: Putem folosi formula: unde a si b sunt valorile procentuale. Atentie: daca sunt majorari, valorile vor fi pozitive iar daca sunt reduceri valorile vor fi negative. Asta inseamna ca pretul a crescut cu 5%. 2. Vom rezolva punctul a), cunoscand rezultatul de la punctul b). Daca pretul creste cu 5%, atunci el devine 105%. 3. Vom rezolva punctul c) dupa ce am aflat pretul initial: Daca pretul creste cu 40%, atunci el devine 140% .

10. CALCULUL PROBABILITĂŢILOR APLICATII / EXEMPLE: 1. Aruncam un zar. Care este probabilitatea ca numarul de puncte de pe fata de sus a zarului sa fie un numar prim? Rezolvare: numerele prime pana la 6 sunt: 2, 3 si 5. Deci sunt 3 cazuri favorabile din 6. 2. Fie multimea A={1; 2; 3; 4; 5; 6}. Se aleg la intamplare doua elemente. Care este probabilitatea ca suma celor doua numere sa fie un numar prim? Rezolvare: Variantele favorabile sunt: 1+2; 1+4; 1+6; 2+3; 2+5; 3+4; 5+6. Total=7. Variantele posibile sunt: 1+2, 1+3, …,2+3, 2+4,…,5+6. In total sunt 15 cazuri posibile. .

11. ELEMENTE DE ORGANIZARE A DATELOR APLICATIE PRACTICA Elevii unei clase, in numar de 20, in urma unui test la matematica au obtinut urmatoarele note: nota 4 – 1elev; nota 5 – 2elevi; nota 6 – 4elevi; nota 7 – 5elevi; nota 8 – 3elevi; nota 9– 3elevi; nota 10 – 2elevi. Sa se reprezinte aceste date intr-un tabel, grafic si diagrama. 1 2 3 4 5 nr elevi 4 5 6 7 8 9 10 nota .