Kružnice opsaná trojúhelníku

1. Kružnice opsaná trojúhelníku Učili jsme se sestrojit osu úsečky. Postup: Do kružítka vezmeme poloměr r větší než je polovina délky úsečky AB. V bodech A, B sestrojíme oblouky s poloměrem r. Průsečíky oblouků spojíme čerchovanou čarou – osa o úsečky AB. S B A Průsečík osy o a úsečky AB je středem úsečky AB. Označíme S. Osa o úsečky AB je kolmá na úsečku AB. Pro střed S úsečky AB platí: |AS| = |SB|. o Pro libovolný bod X, který leží na ose o úsečky AB platí: |AX| = |XB|. Všechny body osy o mají od krajních bodů úsečky AB stejnou vzdálenost.

2. Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Pro libovolný bod X, který leží na ose o úsečky AB platí: |AX| = |XB|. Všechny body osy o mají od krajních bodů úsečky AB stejnou vzdálenost. Všechny body, které mají od daného bodu S stejnou vzdálenost r, leží na kružnici se středem v tomto bodě. Poloměr r tétokružnice je roven vzdálenosti bodu S od libovolného bodu. Střed kružnice opsané musí ležet na osách stran. ob Sa... střed strany a C Sb... střed strany b Sc... střed strany c oa Sb a Průsečík os stran O je stejně vzdálen od všech tří vrcholů trojúhelníku, můžeme zkonstruovat kružnici, která bude vrcholy procházet. Taková kružnice má střed O, poloměr |OA| a nazývá se kružniceopsaná. b Sa O c A Sc B k oc

3. Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed kružnice opsané leží na průsečíku os stran. Osy všech stran se protnou v jednom bodě – O. Je to střed kružnice opsané trojúhelníku. ob C Sb a oa r b Sa O r r oa... osa strany a c ob... osa strany b A Sc B oc... osa strany c k oc |OA| = |OB| = |OC| = r k(O;r) ... kružnice opsaná ∆ ABC.

4. Sestroj kružnici opsanou ∆ ABC, je-li a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm. C Rozbor Popis konstrukce Z trojúhelníkové nerovnosti: 1. AB; |AB| = c = 6 cm a a = 7 cm b = 5 cm b 2. k; k(B; a = 7 cm) 3. l; l(A; b = 5 cm) Trojúhelník lze sestrojit. B A c c = 6 cm 5. ∆ ABC Konstrukce k Náčrt l C oa Sb Sa O ob b a Střed kružnice opsané ostroúhlému trojúhelníku leží uvnitř trojúhelníku. c Sc A oc B

5. Sestroj kružnici opsanou ∆ ABC, je-li a = 6 cm, b = 45 mm, c = 75 mm. Rozbor Náčrt C Z trojúhelníkové nerovnosti: a = 6 cm = 60 mm a a = 6 cm b = 45 mm b Trojúhelník lze sestrojit. k B c c = 75 mm A Konstrukce l oa Popis konstrukce C ob 1. AB; |AB| = c = 75 mm 2. k; k(B; a = 6 cm) Sb Sa b 3. l; l(A; b = 45 mm) a 5. ∆ ABC c Sc = O A B Střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku leží ve středu jeho přepony.

6. Sestroj kružnici opsanou ∆ ABC, je-li a = 4 cm, b = 5 cm, c = 7,5 cm. Rozbor C Náčrt Z trojúhelníkové nerovnosti: a b a = 4 cm b = 5 cm Trojúhelník lze sestrojit. A Konstrukce B c = 7,5 cm c l k oc Popis konstrukce ob oa C 1. AB; |AB| = c = 7,5 cm Sb Sa 2. k; k(B; a = 4 cm) b a 3. l; l(A; b = 5 cm) Sc c A B 5. ∆ ABC O Střed kružnice opsané tupoúhlému trojúhelníku leží vně trojúhelníku. Procvičení: učebnice strana 48 – 49, cvičení 1 – 4, pracovní sešit strana 151, cvičení 1 – 3.

7. Kružnice vepsaná trojúhelníku Učili jsme se sestrojit osu úhlu. Postup: Zvolíme libovolný poloměr r. Narýsujeme oblouk m kružnice o poloměru r se středem V – vrcholu úhlu AVB tak, aby protnul obě jeho ramena. V průsečících oblouku m s rameny úhlu AVB narýsujeme dva oblouky se stejnými poloměry. Sestrojíme přímku o, která prochází průsečíkem těchtooblouků a vrcholem V. Tato přímka je osa úhlu AVB. B m o V r A r Osa o rozdělí úhel AVB na polovinu, tedy na dva shodné úhly. Všechny body osy úhlu AVB mají od ramen úhlu stejnou vzdálenost.

8. Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Všechny body, které mají od daného bodu S stejnou vzdálenost ρ, leží na kružnici se středem v tomto bodě. Poloměr ρtétokružnice je roven vzdálenosti bodu S od libovolného bodu. Všechny body osy úhlu mají od ramen úhlu stejnou vzdálenost. Střed kružnice vepsané musí ležet na osách úhlů trojúhelníku. C oα... osa úhlu α oβ... osa úhlu β oγ... osa úhlu γ S = oα ∩ oβ ∩ oγ oβ oα b a Průsečík os úhlů S je stejně vzdálen od všech tří stran trojúhelníku, poloměr ρ kružnice vepsané se rovná kolmé vzdálenosti středu S od libovolné strany. S oγ ρ k c B A

9. Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Střed kružnice vepsané leží na průsečíku os úhlů. Osy všech úhlů se protnou v jednom bodě – S. Je to střed kružnice vepsané trojúhelníku. C γ P oα oβ N ρ b ρ a S oα... osa úhlu α oγ oβ... osa úhlu β ρ k α β oγ... osa úhlu γ c A M B |SM| = |SN| = |SP| = ρ k(S;ρ) ... kružnice vepsaná ∆ ABC. Procvičení: učebnice strana 50 – 51, cvičení 5 – 9, pracovní sešit strana 151 – 153, cvičení 4 – 14.