Sissejuhatus astrofüüsikasse

1. Sissejuhatus astrofüüsikasse Loeng 3 Tallinna Tehnikaülikool Vladislav-Veniamin Pustõnski 2010 – 2012

2. Tähtede ehituse põhitõed Tähe hüdrostaatiline tasakaal Geoloogilistest ja evolutsioonilistest uuringutest selgub, et temperatuuriline režiim Maal jääb muutumatuks pikaajalises ajaskaalas, ehk mitu mlrd. aastate jooksul maapinna temperatuur ei ole muutunud rohkem kui mitukümmend kraadi. Sellest selgub, et Päikese temperatuur ja raadius jäävad äärmiselt stabiilseteks, kuna maapinna temperatuur on peaagu täielikult määratud Päikese temperatuuriga ja raadiusega (tegelikult ka Maa orbiidi raadiusega). Võib järeldada, et Päikese ja paljude teiste Päikesega sarnaste tähtede parameetrid (neid on enamus Universumis) püsivad pikaajaliselt muutumatuteks. Leiame tingimusi, mille täitmine on vajalik stabiilsuse säilitamiseks. Täht on hiiglaslik gaasikera, ja selle osadele mõjutavad kaks põhilist jõudu: gravitatsiooniline jõud, mis püüab iga massielementi liikuma panna tähe tsentri suunas; ja rõhk, mis, vastupidi, tõukab massielementi suurema rõhuga alast (ehk tsentrist) väiksema rõhuga ala suunas (ehk tsentrist väljapoole). Need kaks jõudu peavad olema tasakaalus, see viib meid hüdrostaatilise tasakaalu võrrandini. Tuletame seda välja. Väikesele vertikaalse tsilindri kujuga massielemendile dm, mis asub kaugusel r tähe tsentrist, mõjutab gravitatsioonijõud -G·m·dm/r2 („-“ märk viidab sellele, et jõud on suunatud tähe sisse); m on tähe mass, mis on kontsentreeritud raadiusega r sfääri sees. Sellele mõjutav rõhujõud tähe seest on PdS, ülevalt mõjutav rõhujõud on -(P + dP)dS, kus dS on massielemendi tsilindri põhja pindala („-“ märk jälle viitab sellele, et see jõud on suunatud tsentrisse). Kuna need jõud on tasakaalus, siis nende jõudude summa on null: PdS – (P + dP)dS - G·m·dm/r2 = 0, või dPdS = - G·m·dm/r2. Kuna massielement on dm = ρdV = ρ·dS·dr, siis dPdS = - G·m·ρ·dS·dr/r2. Lõpuks saame

3. See on hüdrostaatilise tasakaalu võrrand ehk tingimus. Selle täitmine on vaja selleks, et tähtede kihid jääksid paigale, mitte nihkudes rõhu ja gravitatsiooni jõudude mõjul. Tuleb märkida, et see valem võib osutuda kehtetuks mittestatsionaarsete (pulseeruvate) tähtede puhul, või isegi tavaliste tähtede puhul nende arengu teatud etappidel, kui toimub tähe kiire paisumine või kokkutõmbumine (see on tähe sündimisel ja nende elu viimastel etappidel). Kasutame seda valemit selleks, et hinnata rõhu ja temperatuuri Päikese tsentris. Selleks kasutame valemit Päikese tervikuna, võttes dP võrdseks rõhuga Päikese keskel -Pc (kuna rõhk Päikese pinnal on peaaegu null, võrreldest tsentraalrõhuga), dr võtame võrdseks Päikese raadiusega Rp, seega r = Rp ja m = Mp. Tulemusena saame Gaas Päikese sees on nii kõrgel temperatuuril, et vaatamata suurele rõhule seda saab pidada ideaalseks. Ideaalse gaasi olekuvõrrandi järgi, P/ρ =RgT/μ, kus Rg on universaalne gaasikonstant ja μ on gaasi molaarmass. Päikese koostis on 75 % ioniseeritud H ja 25 % He4, seega nende keskmiseks molaarmassiks võib võtta 0,001 kg/mol. Tulemusena saame Päikese tsentraaltemperatuuri Tc: Arvutus annab Tc= 23 mln. K.

4. See väärtus on suurusjärgu poolest õige, st sellest saab ettekujutuse, missugused temperatuurid on tähtede tuumades. Tegelik temperatuur Päikese keskel on ca. 1,5 korda madalam, soca 14 mln. K. Kasutades Päikese keskmist tihedust ρk=3Mp/(4πRp3), võib hinnata Päikese tsentraalrõhku: Pc=GMpρ/Rp = 3GMp2/4πRp4. Arvutus annab Pc= 2,7·1014Pa. See tulemus on üsna ebatäpne seoses sellega, et tsentraaltihedus on tegelikult keskmise tiheduse väärtusest palju suurem. Täpsemate mudelite põhjal, Päikese tsentraaltihedus on ρc= 0,160 kg/cm3 ja rõhk Pc= 3,4·1016Pa. Viriaali teoreem Hüdrostaatilise tasakaalu valemi abil saab tõestada tähtsat teoreemi, mis kehtib mitte ainult graviteeruvate gaasikerade puhul, vaid kõikide graviteeruvate osakeste süsteemide puhul. Teeme järgmist arvutust, lähtudes hüdrostaatilise tasakaalu valemist: // sfäärilise kihi mass on dm =4πr2ρdr, seega dr = dm/4πr2ρ 4πr2 4πr3 // Intergreerime tähe keskpunktist tähe pinnani Integraal paremal on tähe gravitatsiooniline potentsiaalenegriaU, kuna integraalialune väljend on elemendi dm potentsiaalne energia massi m gravitatsiooniväljas, ja integreerimine

5. toimub üle kogu tähemassi. Nüüd arvutame välja vasaku integraali, kasutades ositi integreerimist: . Esimeneosa on 0 niikeskel (kusr = 0) kuika tähe pinnal (kus P = 0), seega jääb = -= -2. Onteada, et ideaalgaasijaoks, kusosakestel on üks vabadusaste (tähes on peaaegu kõik osakesed sellised, need on aatomid ja elektronid), sisene energia on W = 3νRgT/2, kus ν on moolide arv. Samaaegselt kehtib ideaalse gaasi olekuvõrrand PV = νRgT, seega W = 3PV/2. Sellest järeldub, et peenikese tähekihi (kus rõhk on P) siseenergia on dW = 3PdV/2, ja seega intergaal üleval on = -2= -2, kus W on tähe siseenergia (ehk gaasiosakeste soojusliikumiseenergia).Nii lõpuks saame U See ongi viriaalteoreem. Sellest teoreemist järeldub ka valem tähe koguenergia jaoks E = U + W: E = -W = . Valemist E = -W võib teha tähtis järeldus: süsteem reageerib oma koguenergia Ekasvule (nt seoses sellega, et mingil põhjusel energia tootmine termotuumareaktsioonides ületab selle kiirgamist maailmaruumi) siseenergia kahanemisega: st tähe temperatuur kahaneb, ja kuna termotuumareaktsioonide intensiivsus on võrdeline temperatuurile kõrges astmes, energiatoodangu kiirus kahaneb, ja täht tuleb tagasi algasendisse. Kuidas see mehanism tegelikult toimib? Koguenergia kasvuga kaasneb rõhu tõus. Seetõttu täht paisub; energia vaatepunktist see tähendab, et tähe massielemendid eemalduvad tähe keskpunktist, millega kaasneb potentsiaalse energia kasv. Potentsiaalse energia kasvule aga kulutatakse rohkem energiat, kui koguenergia kasv; puudujääv energiahulk „võetakse“ tähe soojusenergia varust.

6. Loomulikult, täht reageerib ka koguenergia E kahanemisele (nt ajutise kiirgamise ülekaalu tõttu energia tootmise võrreldes) soojusliku energia W kasvuga. Rõhk kahaneb, täht tõmbab kokku, potentsiaalne gravitatsiooniline energia eraldub soojusliku energiana, temperatuur tõuseb ja termotuuma energiatoodang kasvab uuesti. Selline sõltuvus (koguenergia kasv soojusliku energia kahanemisega ja vastupidi) on põhjuseks miks tähte nimetatakse negatiivse soojusmahtuvusega süsteemideks. (Tavaliste objektide soojusenergia (ja seega temperatuur) kasvab, kui nad saavad energiat juurde.) See on ka põhjuseks, miks täht on isereguleeritav stabiilne süsteem, mille energia tootmise ja kiirgamise tasakaal säilib tänu negatiivsele tagasisidele. Tuleb meeles pidada, et kuigi hüdrostaatilise tasakaalu tingimus peab kehtima pikaajaliselt, lühiajaliselt see tasakaal võib olla rikutud. Sel juhul tähes toimuvad radiaalsed võnkumised: täht perioodiliselt paisub ja tõmbub kokku. On võimalikud erinevad võnkumiste genireerivad mehanismid. Võnkumistega tihti kaasneb tähe heleduse muutlikkus: täht näeb välja muutliktähena. Tsefeiidid on selliste tähtede näideks. Tähe struktuur Temperatuurid ja rõhud, mis on piisavad termotuumareaktsioonide realiseerimiseks, eksisteerivad vaid tähtede tsentraalsetes osades, ehk tuumas. Ülejäänud kihid ei osale energia genereerimises, nemad vaid juhivad energiavoogu tuumast väljapoole, tähe pinnale, kust energia kiirgatakse maailmaruumi. Tähe kihtides võib realiseerida kõik kolm energiajuhtivuse mehanismi: soojuslik ülekanne, kiirgus ja konvektsioon, kuigi viimaste kahe mehanismi roll domineerib. Edasi meie vaatleme tingimusi, millal need mehanismid realiseeruvad. Kõige ülemistes tähe kihtides toimub energia kiirgamine maailmaruumi, nad on enam-vähem läbipaistvad kiirgusele, nendes moodustub tähe spekter. See on tähe atmosfäär.