第十章  动静法
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教学要求 1 、理解质点惯性力的概念、动静法,掌握应用质点动静法分析求解质点动力学问题的方法步骤。 2 、理解刚体作平动、绕定轴转动、平面运动的三种情况下其惯性力系的简化结果,并能用于计算。 PowerPoint PPT Presentation


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第十章 动静法. 教学要求 1 、理解质点惯性力的概念、动静法,掌握应用质点动静法分析求解质点动力学问题的方法步骤。 2 、理解刚体作平动、绕定轴转动、平面运动的三种情况下其惯性力系的简化结果,并能用于计算。 3 、理解质点系动静法的概念 , 掌握其分析求解刚体动力学问题的一般方法步骤。. 动静法 : 把动力学问题在形式上转化为静力学平衡问题来研究的方法。. 第一节 质点动力学问题的动静法. 一、惯性力的概念. 惯性力 : 因为外力的作用而使物体的运动状态改变时,由于惯性而引起的运动物体对施力物体的反作用力。

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教学要求 1 、理解质点惯性力的概念、动静法,掌握应用质点动静法分析求解质点动力学问题的方法步骤。 2 、理解刚体作平动、绕定轴转动、平面运动的三种情况下其惯性力系的简化结果,并能用于计算。

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Presentation Transcript


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第十章 动静法

教学要求

1、理解质点惯性力的概念、动静法,掌握应用质点动静法分析求解质点动力学问题的方法步骤。

2、理解刚体作平动、绕定轴转动、平面运动的三种情况下其惯性力系的简化结果,并能用于计算。

3、理解质点系动静法的概念,掌握其分析求解刚体动力学问题的一般方法步骤。


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动静法:把动力学问题在形式上转化为静力学平衡问题来研究的方法。

第一节 质点动力学问题的动静法

一、惯性力的概念

惯性力:因为外力的作用而使物体的运动状态改变时,由于惯性而引起的运动物体对施力物体的反作用力。

质点惯性力的大小:等于质点的质量与加速度的乘积,方向与加速度方向相反,作用对象是施力物体。

FQ= -F= -ma


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质点作变速曲线运动时惯性力的分析:

如图所示,设质点M的质量为m,在力F作用下作变速曲线运动,具有加速度 a,故其惯性力为FQ= -ma。若将FQ和a沿切向与法向分解,则有:

FQ= FQτ+ FQn=-maτ-man

式中:FQτ=- maτ切向惯性力;

FQn=- man, 法向惯性力。


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二、质点动力学问题的动静法

F+FN+FQ=0

在质点运动的任一瞬时,作用于质点的主动力、约束反力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成一个平衡力系。这种处理质点动力学问题的方法,称为动静法。


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若质点的运动为平面曲线运动,两种投影表达式为

①直角坐标轴投影式

Fx+FNx+FQx=0

Fy+FNy+FQy=0

式中:FQx=- max,FQy=- may。

②自然坐标轴投影式

Fτ+FNτ+FQτ=0

Fn+FNn+FQn=0

式中:FQτ=- maτ,FQn=- man。


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例1:如a图所示,重力为G的小物块A放在车的斜面上,斜面倾角为30°,物块A与斜面的摩擦因数ƒ=0.2。若车向左加速运动,试求物块不致沿斜面下滑的加速度a。

①选取物块A为研究对象,画受力图。

物块A上作用有重力G、法向反力FN和静摩擦力Fƒ。

②分析物块A运动,添加惯性力。

物块A随同小车一起以加速度a作直线平动,故质点A的惯性力为FQ= Ga/g,其方向与a相反,加在物块A受力图上。如b图所示。


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③选取直角坐标轴,列静力平衡方程并求解。

直角坐标轴Axy如b图所示。

∑Fx=0 Fƒ+FQcos30°-Gsin30°=0 (1)

∑Fy=0 FN-FQsin30°-Gcos30°=0 (2)

Fƒ=ƒFN(3)

将FQ= Ga/g代入上式,解得:

由于上述考虑的是物块A不下滑的临界平衡状态,故欲使物块A不沿斜面下滑,必须满足a≥3.32m/s2。


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第二节 刚体惯性力系的简化

一、刚体作平动

刚体平动时,其惯性力系可简化为一个通过质心的合力。此合力的方向与质心加速度方向相反,其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积。

FQ=∑FQi=∑(-miac)= =-ac∑(mi)=-Mac

式中:M为刚体总质量。i=1,2,……n。


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二、刚体绕定轴转动

1、惯性力系的主矢FQo。

由平面任意力系向某点简化结果可知,惯性力系的主矢等于各质点惯性力的矢量和,且与简化中心无关。再根据质心运动定理,可得

FQ=FQo= FQc=∑(-miai)=-Mac

式中:ac为质心加速度;“-”号表示的方向与的方向。


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2、惯性力系的主矩TQo。

FQi法向分量和切向分量分别FQin=-Main、FQiτ=-Maiτ;由图10-6可见,惯性力系中,各质点法向分量FQiτ均通过O点,故各质点法向分量FQin对O点力矩均为零。因而,FQ对O点力矩等于各质点切向分量FQiτ对O点力矩的代数和,故有

TQo=∑FQiτrk =∑(-miai)ri = - ∑(miri2)α= -Joα

式中:Jo为刚体对通过O点的垂直转轴的转动惯量;“-”号表示力偶TQo与角加速度α的转向相反。

刚体绕定轴转动时,其惯性力系向转轴中心O的简化结果一般可得:一个惯性主矢FQ= -Mac和一个惯性主矩TQo= -Joα 。


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三、刚体作平面运动

刚体作平面运动时,其惯性力系可简化为在质量对称平面内通过质点C的一个惯性主矢FQ= -Mac和一个惯性主矩TQc= -Jcα 。


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四、几种特殊情况

①TQc=-Jcα 且作匀速转动;即ac=0,α=0

则有 FQ=0,TQc=0。

②转轴通过质心C,且α≠0,即刚体作变速定轴转动;有ac =0

则有 FQ=0,TQc=-Jcα

③转轴不通过质心C,且作匀速定轴转动,即α=0,ac≠0;

则有 TQo=0。FQ=-Mac= -Macn= -Meω2

式中:e质心C到转轴中心O的距离。


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第三节 质点系动力学问题的动静法

质点系的动静法:质点系在运动的每一瞬时,作用于质点系上的所有外力(即全部主动力、约束反力)与虚加在质点系上的惯性力系,在形式上构成一平衡力系。

动静法求解刚体(系)动力学问题的一般方法与步骤:

①明确题意,选取研究对象,画受力图。

②根据刚体的运动形式,确定惯性力,并加在研究对象的受力图上,使研究对象的受力在形式上构成一个任意平衡力系。

③选取坐标轴,列静力平衡方程,并求解。


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例2:如a图所示,一直角形杆ABD,质量为m=6kg。以绳AF和两等长且平行的杆AE、BF支持。求割断绳AF的瞬时两杆所受的力。杆的质量忽略不计,刚体质心坐标xc=0.75m, yc=0.25m。

①取刚体ABD为研究对象,画受力图。

作用于刚体上的有重力W,两杆的约束反力FSA、FSB,如b图所示。

②分析刚体ABD运动,添加惯性力。

该刚体为曲线平动,故其质心加速度为ac = aA = aAτ在割断绳AF的瞬时,刚体及两杆的初角速度为零,故aA=aAτ,由此可确定ac的方向。在刚体的受力图上加上惯性力FQ,其大小为FQ= mac如b图所示。


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③选取Aτn坐标轴,列静力平衡方程并求解。

∑Fτ=0 Wsin30° - FQ =0 (1)

∑Fn=0 FSA+FSB-Wcos30°=0 (2)

∑MA(F)=0

FSB×cos30°×1-W×0.75-FQ cos30°×0.25+ + FQ sin30°×0.75=0 (3)

由式(1)得

mgsin30°- mac=0

ac=gsin30°=4.9m/s2

代入式(2)、(3)解得

FSA=5.4N FSB=45.5N


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TQ

y

FOy

FOx

x

R2

O

R1

G

aB

aA

FQB

B

FQA

W

P

例3:如下图所示,鼓轮由半径为R1和R2的两轮固连组成,它对水平固定轴O的转动惯量为Jo,总重为G。用细绳悬挂的重物A、B的重力分别为P和W(P>W)。若不计绳重及轴承摩擦,试求鼓轮的角加速度及轴承O的反力。

解题分析及步骤:

①取整个系统为研究对象,画受力图。

系统所受的力为重力G、P和W,约束反力为Fox、Foy。

②分析运动,添加惯性力。

重物A、B作直线平动,鼓轮作定轴转动。因P>W,则物A以加速度aA铅直下降,物B以加速度aB铅直上升。故惯性力FQA的方向铅直向上,其大小为FQA= PaA/g;


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惯性力FQB的方向铅直向下,其大小为FQB= PaB/g。设鼓轮定轴转动的角加速度为α,则惯性主矩的大小为TQo= Joα,转向与角加速度α相反。如图10-9所示,整个系统上的主动力、约束反力与虚加的惯性力在形式上构成一个平衡力系。

③列静力平衡方程并求解。

∑Fx=0 FOx=0 (1)

∑Fy=0 FOy-G-P-W+FQA-FQB=0 (2)

∑MO(F)=0 (P- FQA)R1-(W+ FQB)R2-TQo=0 (3)

由运动学关系可得:aA= R1α,aB= R2α;将其代入式(1)、(2)、(3),并解得


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y

FAy

FAx

A

aCy

C

aCx

B

O

x

FNB

FQx

P

TQ

FQy

例4:如下图所示一曲柄连杆机构。曲柄OA长为r,连杆AB重力为P,长为l。已知在图示瞬时,连杆质心C的加速度为acx、acy,连杆的角加速度为α。求曲柄销A和滑块B的约束反力。

解题分析及步骤:

①取连杆与滑块为研究对象,

画受力图。

作用于连杆上的主动力有P,

约束反力有FAx、FAy、FNB。

②分析运动,添加惯性力。

连杆AB作平面运动,惯性力系可简化为通过质点C的一个惯性主矢FQ和一个惯性主矩TQc,它们的方向如图10-10所示,大小为FQx= Pacx/g,FQy= Pacy/g,TQc=-Jcα。其中:Jc =Pl2/(12g)


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③列静力平衡方程并求解。

∑Fx=0 FAx-FQx = 0 (1)

∑Fy=0 FAy-P- FNA- FQy = 0 (2)

∑MA(F)=0

解得:


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