UNIDAD DIDÁCTICA: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. RELACIONES ENTRE DOS VARIABLES ESTADÍSTICAS. REGRESIÓN LINEAL. CURSO:

1. UNIDAD DIDÁCTICA: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES. RELACIONES ENTRE DOS VARIABLES ESTADÍSTICAS. REGRESIÓN LINEAL.CURSO: BACHILLERATO, MATEMÁTICAS I Miguel Yuste Arese Pablo Ogáyar Lechuga María Rosa Pérez Pérez

2. JUSTIFICACIÓN 1. Introducción histórica. Francis Galton(1822-1911) derivó y aplicó la regresión lineal a los problemas de herencia genética. Galton empleó esta representación de sus datos para ilustrar lo que todavía hoy los estadísticos llaman regresión. En 1901, junto con Karl Pearson (1857-1936), fundó la revista Biometrika, desde entonces una de las más importantes en el campo de la estadística. John W. Tukey (1915 - 2000). Eminente matemático y estadístico. Introductor de términos como “bit” y “software”. Uso histórico y actual para el cálculo de constantes en experimentos físicos, químicos etc. 2. Contexto de desarrollo de la unidad. Actualidad llena de noticias y referencias en relación con datos estadísticos. Introducción de temas transversales gracias a estas noticias (seguridad vial, economía, cambio climático, anorexia…). Aulas equipadas con equipos informáticos, acceso a internet y calculadoras. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

3. JUSTIFICACIÓN 3. Relación de la unidad con el currículo prescriptivo. • Real Decreto 1467/2007: • 1º de Bachillerato: • Distribuciones bidimensionales. • Relaciones entre dos variables estadísticas. • Regresión lineal. • 4º de E.S.O., opción B: • Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico. • Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas. • Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias. • Representatividad de una distribución por su media y desviación típica. Valoración de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valores atípicos. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparaciones y valoraciones. • Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol para el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada. • Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

4. OBJETIVOS DIDÁCTICOS 1. Objetivos de etapa. Tomados del Real Decreto 1467/2007 de 2 de Noviembre y de la página de la asignatura. • 1. Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar, interpretar y valorar fenómenos sociales, con objeto de comprender los retos que plantea la sociedad actual. • 2. Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión analítica o la necesidad de verificación. Asumir la precisión como un criterio subordinado al con- texto, las apreciaciones intuitivas como un argumento a contrastar y la apertura a nuevas ideas como un reto. • 3. Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos, utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar datos y mensajes, argumentando con precisión y rigor y aceptando discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de enriquecimiento. • 4. Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, eficacia, confianza en sí mismo y creatividad. • 5. Utilizar un discurso racional como método para abordar los problemas: justificar procedimientos, encadenar una correcta línea argumental, aportar rigor a los razonamientos y detectar inconsistencias lógicas. • 6. Hacer uso de variados recursos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto a la hora de realizar cálculos como en la búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera, humanística o de otra índole, interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de ese tratamiento. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

5. OBJETIVOS DIDÁCTICOS • 7. Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y notaciones matemáticos. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente. • 8. Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la realidad, estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno social, cultural o eco- nómico y apreciando su lugar, actual e histórico, como parte de nuestra cultura. • 9. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. • 10. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestima adecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las matemáticas. • 11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica. • 12. Valorar las matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

6. OBJETIVOS DIDÁCTICOS 2. Objetivos de área. • Conocer y diferenciar los conceptos de relación funcional y estadística. • Conocer el concepto de correlación. • Conocer la influencia de la correlación en los diagramas de dispersión. • Saber encontrar los diferentes parámetros que gobiernan una distribución bidimensional. • Conocer el concepto de covarianza y qué mide. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

7. OBJETIVOS DIDÁCTICOS 2. Objetivos de área. • Definir el concepto de correlación lineal. • Conocer las clases y los grados de correlación lineal. • Saber que las rectas de regresión se cortan en el punto cuyas coordenadas son las medias de las distribuciones marginales de una variable bidimensional. • Dibujar la nube de puntos de los datos de una tabla bidimensional. • Construir tablas de doble entrada con las distribuciones marginales de una variable bidimensional. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

8. OBJETIVOS DIDÁCTICOS 2. Objetivos de área. • Calcular la covarianza de una distribución bidimensional. • Calcular las ecuaciones de las rectas de regresión. • Calcular el coeficiente de correlación de una regresión lineal. • Hallar valores estimados de una variable sobre datos de la otra usando las rectas de regresión, valorando la fiabilidad del resultado en atención al valor absoluto del coeficiente de correlación lineal. • Saber expresar la fiabilidad de la recta de regresión. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

9. CONTENIDOS • 1. CONCEPTUALES: 1. Estadística unidimensional. 2. Variables estadísticas bidimensionales. 3. Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervienen dos variables a partir de la representación gráfica de una nube de puntos. 4. Parámetros estadísticos. 5. Grado de relación entre dos variables estadísticas. 6. Correlación. Regresión lineal. 7. Predicción de resultados. 8 . Recta de Tukey. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

10. CONTENIDOS 2. TRANSVERSALES: • Educación del consumidor • Uso de nuevas tecnologías • Problemas sociales y educación para la salud • Educación vial Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

11. 3. PROCEDIMENTALES: CONTENIDOS 1. Construcción de la nube de puntos de distribuciones estadísticas bidimensionales, y primera estimación del grado de dependencia de las variables. 2. Tabulación de frecuencias y de sus marginales correspondientes de distribuciones bidimensionales. 3. Determinación de frecuencias en distribuciones condicionadas. 4. Cálculo de la covarianza de distribuciones bidimensionales. 5. Cálculo del coeficiente de correlación de distribuciones bidimensionales y valoración de su signo y su valor absoluto. 6. Establecimiento de las ecuaciones de las rectas de regresión de una distribución bidimensional. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

12. CONTENIDOS 3. PROCEDIMENTALES: 7. Cálculo de valores estimados de una variable sobre la otra, usando rectas de regresión. 8. Valoración de la fiabilidad de la estimación, en función del valor absoluto del coeficiente de correlación lineal. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

13. 4. ACTITUDINALES: CONTENIDOS 1. Valoración de la matemática de la aleatoriedad como una parte de la matemática tan “científica” como el análisis, el álgebra o el cálculo. 2. Comprensión y valoración de la necesidad del rigor en los cálculos probabilísticos, de cuyos resultados depende la decisión que afecta a poblaciones. 3. Reconocimiento y valoración del trabajo en equipo como la manera de realizar, de forma eficaz y con menor riesgo de error, los trabajos de aplicación de modelos probabilísticos a situaciones reales estadísticas. 4. Sensibilidad y gusto por la elaboración y presentación cuidadosa de los trabajos estadísticos realizados. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

14. DESARROLLO DE LA UNIDAD Introducción metodológica: • Usaríamos el método interrogativo principalmente en la primera sesión, aunque pensamos que sería bueno para despertar el interés del alumnado empezar así el mayor número posible de sesiones. Intentaríamos aprovechar el interés despertado para desarrollar el máximo número de conceptos teóricos mediante el método expositivo. Asimismo en esta sesión haremos un repaso de los contenidos que deberían saber de cursos anteriores. • Las segunda, tercera, cuarta y quinta sesiones irían destinadas a seguir desarrollando conceptos expuestos, así como a ir profundizando en la resolución de problemas y ejercicios. La idea es que podamos partir de ejercicios simples y llegar a unos más complejos. Intentaremos usar recursos informáticos tales como hojas de cálculo y software específico para la resolución de ecuaciones durante las explicaciones y realización de los ejercicios para una interpretación más gráfica. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

15. DESARROLLO DE LA UNIDAD Introducción metodológica: • Aprovecharíamos las sexta, séptima, octava y novena sesiones para afianzar los contenidos mediante ejercicios en la red y en el cuaderno, trabajos en grupo y un test autoevaluable. • La décima y última sesión irá destinada a una prueba escrita en la que evaluaremos los objetivos alcanzados por cada alumno. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

16. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 1, DE INTRODUCCIÓN (1 HORA) • Esta es la primera sesión en la que vamos a hablar del tema de las distribuciones bidimensionales y de la regresión lineal. • Creemos que puede ser un tema clave para el desarrollo de casi todas las competencias, y por eso debemos guiar a los alumnos a que las desarrollen. • Dependiendo del tipo de interés que creamos que pueden tener los alumnos de nuestro curso en particular, podríamos empezar enseñando alguna noticia: - Temperaturas estimadas para Sevilla en el año 2070. - Variación actual del precio del petróleo y del precio del combustible. -Relación entre velocidad y accidentes de tráfico. - Relación nivel de estudios y salario. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

17. Dada las siguientes calificaciones en matemáticas, hallar media aritmética, moda y mediana: EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 1 DE INTRODUCCIÓN (1 HORA) • De comentar alguna de estas (u otras) noticias en las que se hable claramente de la relación entre dos variables podemos apoyarnos para: • Obtener una idea de los conocimientos previos de los alumnos sobre la materia. • Empezar a introducir el manejo de algunos conceptos teóricos como: • Variables discretas y continuas. • Estadística Unidimensional. • Idea intuitiva del concepto de correlación. • Frecuencia absoluta y acumulada, clases e intervalos de clase. • Tabulación de valores discretos x e y y nube de puntos. • Medidas de centralización (Media aritmética, moda y mediana). • Después pondríamos algún ejercicio (para clase, casa o ambos) simple de cálculo de media, moda y mediana, por ejemplo: Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

18. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 2, DE DESARROLLO (1 HORA) • En esta sesión nos dedicaríamos a reforzar los conceptos teóricos que vimos en la sesión anterior, y a introducir otros conceptos nuevos, como: • Medidas de dispersión (Rango o recorrido, varianza, desviación típica). • Variables estadísticas bidimensionales. • Covarianza. • Coeficiente de correlación lineal. • Correlación lineal o curvilínea, positiva o directa, negativa o inversa o nula, funcional o aleatoria. • Coeficiente de correlación de Pearson y su relación con la covarianza. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

19. En una cofradía de pescadores, el número de días que se capturaron cierta cantidad de gambas (en kilogramos) y el precio por el que se vendieron (en €/Kg) fueron las siguientes: Calcula los valores que hemos visto en la teoría para las variables precio y cantidad capturada. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 2, DE DESARROLLO (1 HORA) • Luego propondríamos algún ejercicio a modo de ejemplo, como el que sigue: • Además, empezaríamos a manejar la calculadora y daríamos a los alumnos una herramienta preparada previamente por nosotros en una hoja de cálculo. (Ver Archivo Excel “regresión”). Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

20. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 3, DE DESARROLLO (1 HORA) • Comenzaríamos la sesión con un repaso de lo estudiado, con el fin de dedicar esta sesión a la familiarización de los alumnos con calculadoras y hojas de cálculo. • Para ello, expondremos algunos de los problemas vistos en clases anteriores o hechos en casa, y volveremos a resolverlos usando la calculadora y las hojas de cálculo. • Además, daremos una serie de problemas similares a los de la clase anterior para resolver con la hoja de cálculo y la calculadora: • Los alumnos más avanzados irán practicando y resolviendo ejercicios. • Mientras, ayudamos a los que se hayan podido quedar más atrasados a consolidar los conceptos y reforzar la resolución de los problemas. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

21. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 4, DE DESARROLLO (1 HORA) • En esta sesión nos centraremos en el estudio analítico de la regresión lineal. • En primer lugar se propone un ejercicio para establecer una idea intuitiva de la recta de regresión, es decir, ¿cuándo tiene sentido calcularla? • Para ello realizaremos un análisis gráfico de una distribución bidimensional. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

22. La tabla adjunta muestra la nota de un examen de Matemáticas de 10 estudiantes, las horas dedicadas a su preparación, las horas que vieron la televisión los días previos al examen y el peso de cada uno. Estudia gráficamente la correlación entre la nota y cada una de las otras tres variables, para ello usaremos la hoja de cálculo Excel. A la vista de las gráficas, en los casos I y II los datos se agrupan en torno a una recta, por tanto, tiene sentido calcular la recta de regresión. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 4, DE DESARROLLO (1 HORA) Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

23. Ahora procederíamos al cálculo de la recta de regresión: De Y sobre X: De X sobre Y: EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 4, DE DESARROLLO (1 HORA) Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

24. Hallar las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y correspondientes a cada una de las distribuciones anteriores: nota-horas de estudio, nota-horas de televisión, y nota-peso. Razona cuál puede ser la causa de que el ángulo que forman las rectas en la distribución nota-peso es mucho mayor que en las otras dos distribuciones. Una vez hecho a mano, repetirlo con la hoja de cálculo. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 4, DE DESARROLLO (1 HORA) • Siguiendo con el ejemplo anterior: Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

25. Comprobar las propiedades con el mismo ejercicio anterior. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 4, DE DESARROLLO (1 HORA) • Finalmente, explicamos las propiedades de la recta de regresión: • Centro de gravedad o de masas: Estimación o predicción • Relación del signo de la pendiente de la recta de regresión y el coeficiente de correlación (el mismo) • Relación entre el ángulo que forman las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y con el valor del coeficiente de correlación: • Si es próximo a 1, las rectas prácticamente coinciden. • Si es próximo a 0, el ángulo que forman las rectas es casi un ángulo recto. • Ejemplo Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

26. Sea la siguiente tabla: x: gastos en publicidad de un producto (en miles de euros) y: ventas conseguidas (en miles de euros) a) Halla las dos rectas de regresión correspondientes a la distribución publicidad-ventas. b) Efectúa las estimaciones ŷ(5,5), y explica su significado. x EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 4, DE DESARROLLO (1 HORA) • Tarea para casa Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

27. Para verlo con un ejemplo, les pediremos que calculen el coeficiente de determinación de cada una de las tres distribuciones del primer ejemplo de la sesión 4, de manera que puedan verificar numéricamente lo que ya habían razonado cualitativamente o gráficamente. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 5, DE DESARROLLO (1 HORA) • Es el último día de exposición de contenidos, en el que estudiaremos el coeficiente de determinación y la linealización de modelos. • Primero vemos la definición del coeficiente de determinación: • indica el porcentaje de la variación de Y que puede ser explicada por X. • Ejemplo: Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

28. En un laboratorio se realiza un experimento para medir la aceleración de la gravedad, g. Para ello se lanza desde una altura de 2m un bola de acero y se anota su posición cada 0,1s. Calcula el valor de g que se ha obtenido si las cinco primeras mediciones tomadas son las recogidas en la siguiente tabla. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 5, DE DESARROLLO (1 HORA) • Seguidamente, veremos un ejemplo de linealización por cambio de variables, en particular, cuando la relación entre las dos variables es de tipo parabólico: Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

29. Sabemos que la relación entre el espacio recorrido, s, y el tiempo, t, en un movimiento de caída libre sin velocidad inicial viene dada por la expresión: Cuya representación gráfica es: Si hacemos el cambio de variable , ya tendría entre las variables s y z una relación lineal. En este caso, la recta de regresión de s sobre z es: Y su representación gráfica es: Comparando con la expresión inicial tenemos: EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 5, DE DESARROLLO (1 HORA) Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

30. Ajustar un modelo lineal a la distribución bidimensional dada por la siguiente tabla. Como vemos la variable Y toma dos valores, 1 y 2, que están muy alejados del resto. En la figura se ha representado la recta de regresión de Y sobre X y se aprecia su mal ajuste de la nube de puntos. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 5, DE DESARROLLO (1 HORA) • Por último veremos un ejemplo de ajuste de datos mediante la recta de Tukey: Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

31. Por ello calculamos la recta de Tukey del siguiente modo: • Se ordenan los datos en orden creciente de las abscisas. • Se divide el conjunto ordenado de datos en tres grupos: Obsérvese que en este caso el número de datos es 12, múltiplo de 3. Pero si el número n de datos no fuera múltiplo de 3, puede ocurrir que: Sea múltiplo de 3 más 1; en este caso, el grupo se deja con un dato más. Sea múltiplo de 3 más 2; en este caso se deja el grupo con un dato menos. Y en el caso de que dos datos tengan la misma abscisa, se dejan en el mismo grupo. c) Para cada grupo se halla el punto , donde e son, respectivamente, las medianas de las abscisas y de las ordenadas del grupo . EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 5, DE DESARROLLO (1 HORA) Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

32. d) La recta de Tukey pasa por el baricentro del triángulo y tiene la pendiente de la recta que pasa por Ahora ya podemos comprobar que la recta de Tukey se ajusta mejor a la nube de puntos. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 5, DE DESARROLLO (1 HORA) Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

33. El coeficiente de determinación de una distribución cuya nube de puntos se ajusta a una recta es igual a 0,33. • Interpreta este resultado. • ¿Tiene sentido encontrar un modelo lineal para esta distribución que permita realizar estimaciones? Si el coeficiente de correlación vale r=0,7: • ¿Qué tanto por ciento de la variación de Y es debido a la variación de X usando un modelo de regresión lineal? • ¿Tiene sentido realizar estimaciones en la recta de regresión obtenida? EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 5, DE DESARROLLO (1 HORA) • Tareas para casa: Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

34. Sea la variable bidimensional dada por la siguiente tabla: • Halla la recta de Tukey. • Halla la recta de regresión de Y sobre X. • Representa la nube de puntos y las dos rectas obtenidas. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 5, DE DESARROLLO (1 HORA) • Tareas para casa: Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

35. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • En esta sesión propondremos a los alumnos una lista de actividades clasificadas en tres bloques, ordenados de menor a mayor dificultad: • Para reforzar (lo básico) • Para practicar (todo el contenido de la unidad) • Cuestiones teóricas • Los alumnos deberán ir haciendo individualmente los ejercicios en los que tengan mayor dificultad, para que el profesor durante esta sesión pueda resolver las dudas de cada uno dependiendo de su mayor o menor capacidad de aprendizaje. Por ello siempre deberán empezar a leer los enunciados desde el principio y cuando se encuentren con alguno en el que tengan dudas, intentar hacerlo y preguntar al profesor/a. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

36. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Además, para agilizar el ritmo y que a los alumnos les dé tiempo de resolver el mayor número de actividades, les dejaremos que usen la calculadora, además de practicar con el modo LR para el tratamiento bidimensional. • Al final de la sesión el profesor se llevará los ejercicios hechos por los alumnos, para poder valorárselos, y dará la hoja con las soluciones. De esta forma hasta el día del examen podrán preguntar todas las dudas de resolución de las distintas actividades. Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

37. En cada uno de los siguientes casos debes decir si, entre las dos variables que se citan, hay relación funcional o relación aleatoria y, en este último caso, indicar si es positiva o negativa: • En un conjunto de familias: estatura media de los padres-estatura media de los hijos. • Temperatura a la que calentamos una barra de hierro-longitud alcanzada. • Entre los países del mundo: volumen de exportación-volumen de importación con España. • Entre los países del mundo: índice de mortalidad infantil-número de médicos por cada 1 000 habitantes. • Kw consumido en cada casa durante enero-coste del recibo de la luz. • Número de personas que viven en cada casa-coste del recibo de la luz. • Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga-número de partidos perdidos. • Equipos de fútbol: lugar que ocupan al finalizar la liga-número de partidos ganados. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • PARA REFORZAR • Problema 1 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

38. En la siguiente gráfica, cada punto corresponde a un chico. La abscisa es la estatura de su padre y la ordenada su propia altura.   a) Identifica a Guille y Gabriel, hermanos de buena estatura, cuyo padre es bajito. b) Identifica a Sergio, de estatura normalita, cuyo padre es un gigantón. c) ¿Podemos decir que hay una cierta relación entre las estaturas de estos 16 chicos y las de sus padres? EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 2 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

39. Distintas personas lanzan hacia arriba una misma piedra de 2 kg de masa, que alcanza más o menos altura según la fuerza con que ha sido impulsada. (La fuerza actúa en un tramo de 1 m.) a) ¿Qué altura, por encima de la mano, alcanzará la piedra si se impulsa con una fuerza de 110 newton?  b) ¿Podríamos escribir una fórmula que dé directamente la altura que alcanza la piedra, desde el momento en que se la suelta, en función de la fuerza con que es impulsada hacia arriba? EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 3 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

40. Esta tabla muestra cómo se ordenan entre sí diez países A, B, C… según dos variables, R.P.C. (renta per cápita) e I.N. (índice de natalidad). Representa los resultados en una nube de puntos, traza la recta de regresión y di cómo te parece la correlación. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 4 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

41. Obtén mediante cálculos manuales el coeficiente de correlación de la siguiente distribución dada por el número de encestes de una jugadora de baloncesto desde distintas distancias, con un máximo de 10 lanzamientos cada vez. Hazlo también con una calculadora con MODO LR. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 5 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

42. Traza, a ojo, la recta de regresión en cada una de estas distribuciones bidimensionales: b) ¿Cuáles de ellas tienen correlación positiva y cuáles tienen correlación negativa? c) Una de ellas presenta relación funcional. ¿Cuál es? ¿Cuál es la expresión analítica de la función que relaciona las dos variables? d) Ordena de menor a mayor las correlaciones. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • PARA PRACTICAR • Problema 6 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

43. Una distribución bidimensional en la que los valores de x son 12, 15, 17, 21, 22 y 25, tiene una correlación r = 0,99 y su recta de regresión es y = 10,5 + 3,2x. Calcula ŷ(13), ŷ(20), ŷ(30), ŷ(100). • b) ¿Cuáles de las estimaciones anteriores son fiables, cuál poco fiable y cuál no se debe hacer? • c) Expresa los resultados en términos adecuados. (Por ejemplo: ŷ(13) = 52,1. Para x = 13 es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 52.) EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 7 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

44. Los parámetros correspondientes a esta distribución bidimensional son: Halla las ecuaciones de las dos rectas de regresión, X sobre Y e Y sobre X, y represéntalas junto con la nube de puntos. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 8 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

45. Representa estos puntos y, sin efectuar cálculos, contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto vale el coeficiente de correlación? b) ¿Cómo son las dos rectas de regresión? Escribe su ecuación. c) A la vista de la respuesta anterior, da el valor de y el de . EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 9 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

46. La media de los pesos de los individuos de una población es de 65 kg y la de sus estaturas, 170 cm. Las desviaciones típicas son 5 kg y 10 cm, respectivamente, y la covarianza de ambas variables es 40. a) ¿Cuál es el coeficiente de correlación? b) Calcula la recta de regresión de los pesos respecto de las estaturas. c) ¿Cuánto estimas que pesará un individuo de 180 cm de estatura? EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 10 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

47. De un muelle se cuelgan pesas y se obtienen los siguientes alargamientos: Halla la recta de regresión de Y sobre X y estima el alargamiento que se conseguirá con pesos de 100 g y de 500 g. ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable?  EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 11 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

48. En una cofradía de pescadores, las capturas registradas de cierta variedad de pescados, en kilogramos, y el precio de subasta en lonja, en euros/kg, fueron los siguientes: a) ¿Cuál es el precio medio registrado?   b) Halla el coeficiente de correlación lineal e interprétalo.   c) Estima el precio que alcanzaría en lonja el kg de esa especie si se pescasen 2600kg. EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 12 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

49. La evolución del IPC (índice de precios al consumo) y de la tasa de inflación en 1987 fue: a) Representa la nube de puntos.   b) Calcula el coeficiente de correlación entre el IPC y la tasa de inflación.   c) ¿Se puede estimar la tasa de inflación a partir del IPC? EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Problema 13 Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez

50. El coeficiente de correlación de una distribución bidimensional es 0,87. Si los valores de las variables se multiplican por 10, ¿cuál será el coeficiente de correlación de esta nueva distribución? • 2. Hemos calculado la covarianza de una cierta distribución y ha resultado negativa. Justifica por qué podemos afirmar que, tanto el coeficiente de correlación como las pendientes de las dos rectas de regresión, son números negativos. • 3. ¿Qué punto tienen en común las dos rectas de regresión? • 4. ¿Qué condición debe cumplir r para que las estimaciones hechas con la recta de regresión sean fiables? • 5. Prueba que el producto de los coeficientes de regresión (correspondientes a cada uno de las rectas de regresión) es igual al cuadrado del coeficiente de correlación. • 6.  La estatura media de 100 escolares de cierto curso de E.S.O. es de 155 cm con una desviación típica de 15,5 cm. La recta de regresión de la estatura respecto al peso es y = 80 + 1,5x (x: peso; y: estatura).  a) ¿Cuál es el peso medio de esos escolares?   b) ¿Cuál es el signo del coeficiente de correlación entre peso y estatura? EXPOSICIÓN DE LA UNIDAD SESIÓN 6, DE ACTIVIDADES (1 HORA) • Cuestiones teóricas Miguel Yuste – Pablo Ogáyar – María Rosa Pérez