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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I. Teoría de juegos: Tema 1 Rafael Salas febrero de 2013. Teoría de juegos. Cómo individuos racionales toman decisiones cuando son interdependientes Individualismo Racionalismo Interdependencia
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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Teoría de juegos: Tema 1 Rafael Salas febrero de 2013
Teoría de juegos • Cómo individuos racionales toman decisiones cuando son interdependientes • Individualismo • Racionalismo • Interdependencia • Tipos de juegos: • estáticos (simultáneos), dinámicos. • con información perfecta, con incertidumbre, con información incompleta. • estrictamente competitivos (intereses contrapuestos), no competitivos (intereses comunes). Conflicto-cooperación. • juegos de suma cero
Elementos del juego • Jugadores: 1,...,n • n>1 • la naturaleza, en juegos de azar, un jugador más • en numerosas ocasiones n=2 • Acciones: A1,...,An y donde Ai={ai / aiAi} • decisiones que puede tomar cada jugador en un momento dado • Estrategias: S1,...,Sn y donde Si={si / siSi} • plan completo de acciones de cada jugador • Perfil de estrategias • un conjunto de estrategias, una por cada jugador (s1,...,sn) S donde s1S1,..., snSn • existen S1xS2x...xSn perfilesposibles
Elementos del juego (2) • Resultados del juego • modos en que puede acabar el juego • tiene consecuencias para cada jugador • Pagos o función de ganancias • representan los beneficios o utilidad al acabar el juego • uno para cada jugador para perfil de estrategias ui(s) • definidos sobre todos=(s1,...,sn) S • ui:SR • existen tantos pagosposibles para cada jugador, como elementos en S=S1xS2x...xSn • pueden ser magnituder ordinales (utilidad) o cardinales (utilidad esperada, beneficios)
Representación del juego • Forma estratégica o normal • Forma extensiva
Representación del juego (1) • Forma estratégica o normal • G={{1,...,n}; S1,...,Sn; U1,...,Un} • Gráficamente: • mediante una tabla con una entrada para cada jugador, donde aparecen todas las estrategias y los pagos correspondientes a todas los perfiles de estrategias posibles. • Ejemplos: (juegos simultáneos) • 1. Batalla de los sexos • 2. Pares o nones (ó juego de las monedas) • 3. Juegos con preferencia idénticas • 4. Dilema de los presos • 5. Halcón-paloma
1. La batalla de los sexos JUG 2 B O 4 , 1 0 , 0 B JUG 1 -1 , -1 1 , 4 O .
Elementos del juego 1 • Conjunto de jugadores: • N={1,2} ó n=2 • Conjunto de acciones de los jugadores 1 y 2: • A1={ B,O} y A2={ B,O} • Conjunto de estrategias de los jugadores 1 y 2: • S1={ B,O} y S2={ B,O} • Hay 4 perfiles de estrategias: • (B,B), (B,O), (O,B) y (O,O) • Los pagos de los jugadores 1 y 2: • u1(B,B)=4, u1(B,O)=0, u1(O,B)=-1, u1(O,O)=1 • u2(B,B)=1, u2(B,O)=0, u2(O,B)=-1, u2(O,O)=4
Estructura del juego 1 • u1(B,B) > u1(O,O) > u1(B,O) > u1(O,B) • u2(O,O) > u2(B,B) > u2(B,O) > u2(O,B) • No es un juego estrictamente competitivo. Ni de preferencias idénticas. Juego parcialmente competitivo • Región de ganancias cooperativas (existe margen para la negociación) • SOLUCIÓN: La veremos una vez definamos conceptos de equilibrio adecuados. Se trata de predecir lo que los individuos racionales van a hacer, descentralizadamente. • Muchos juegos en economía responden a este patrón (dos departamentos de una empresa utilizando mismos programas informáticos o diferentes)
2. El juego de las monedas JUG 2 CA CR 1 , -1 -1 , 1 CA JUG 1 -1 , 1 1 , -1 CR .
Estructura del juego 2 • u1(CA,CA) = u1(CR,CR) > u1(CA,CR) = u1(CR,CA) • u2(CR,CA) = u2(CA,CR) > u2(CR,CR) = u2(CA,CA) • Es un juego estrictamente competitivo (preferencias opuestas). • No existe margen para la negociación. • Juego de suma cero. • No son muy interesantes desde el punto de vista económico, aunque tienen propiedades matemáticas interesantes.
3. Preferencias idénticas JUG 2 IZQ DCHA 1 , 1 -1 , -1 IZQ JUG 1 -1 , -1 1 , 1 DCHA .
Estructura del juego 3 • u1(I,I) = u1(D,D) > u1(I,D) = u1(D,I) • u2(I,I) = u2(D,D) > u2(I,D) = u2(D,I) • Es un juego con preferencias idénticas. Fácil ponerse de acuerdo y cooperar. No existe conflicto. • No son muy interesantes desde el punto de vista económico. • Los individuos cooperaran. Los interesantes son los parcialmente competitivos, donde hay margen para la negociación.
4. Dilema de los presos JUG 2 CA CO 2 , 2 0 , 4 CA JUG 1 4 , 0 1 , 1 CO .
Estructura del juego 4 • u1(CO,CA) > u1(CA,CA) > u1(CO,CO) > u1(CA,CO) • u2(CA,CO) > u2(CA,CA) > u2(CO,CO) > u2(CO,CA) • Juego parcialmente competitivo • Región de ganancias cooperativas (existe incentivos para cooperar) • SOLUCIÓN: La veremos una vez definamos conceptos de equilibrio adecuados. Veremos como la solución es no cooperar (ineficiencia). • Muchos juegos en economía tienen esta estructura y esta solución: • Oligopolios • Pesca • Aranceles • Carrera armamentista
4bis. Oligopolio JUG 2 A B 1000 , 1000 -200 , 1200 A JUG 1 1200 , -200 600 , 600 B .
Ejemplo5: Halcón-paloma JUG 2 H P 2-k , 2-k 4 , 0 H JUG 1 0 , 4 2 , 2 P .
Estructura del juego 5 • Si k<2: Dilema de los presos • u1(P,H) > u1(P,P) > u1(H,H) > u1(H,P) • u2(H,P) > u2(P,P) > u2(H,H) > u2(P,H) • Si k>2: Juego diferente • u1(P,H) > u1(P,P) > u1(H,P) > u1(H,H) • u2(H,P) > u2(P,P) > u2(H,P) > u2(H,H)
Ejemplo 5bis ciervo-liebre JUG 2 C L 2 1 C 2 0 JUG 1 0 1 L 1 1 .
Ejemplo 5bis: ciervo-liebre JUG 2 C L 2 1 C 2 0 JUG 1 0 1/2 L 1 1/2 .
Representación en forma extensiva (1) • Forma extensiva • Se resalta la secuencia y el tipo de información disponible. • Se añade información sobre: • El momento en que cada jugador toma la decisión • El conjunto de información disponible en cada momento • Se representa mediante un árbol, que se compone de: • Un conjunto de nodos (vértice) • Ramas (aristas) • No hay ciclos
Representación en forma extensiva (2) • Elementos (de dominio público): • Jugadores • Nodo inicial (raíz): donde aparece la primera decisón. • Si los juegos son finitos, terminan en nodos terminales (donde aparecen los pagos de cada jugador) • Los nodos intermedios son nodos de decisión. De ellos salen ramas que representan las acciones o las decisiones de los jugadores en ese punto del juego. • Si hay incertidumbre, los nodos que configuran una jugada de azar son nodos de incertidumbre, donde mueve de la naturaleza. De ellos salen ramas que representan sucesos posibles con sus probabilidades. • En este caso los pagos son pagos o utilidades esperadas.
Representación en forma extensiva (3) • Elementos (de dominio público): • Conjuntos de información: todo lo que conoce el jugador a la hora de decidir. • En los juegos con información perfecta: se conoce todo el desarrollo del juego hasta ese momento. El jugador sabe en el nodo que se encuentra. El conjunto de información se compone de un solo nodo. • En los juegos con información imperfecta: puede que un jugador no conozca en todo el desarrollo del juego en qué nodo se encuentre. El conjunto de información se compone de más de un nodo. • Esta característica es la que define información imperfecta más que si hay incertidumbre, como veremos con los ejemplo siguientes.
Representación en forma extensiva (4) • Elementos (de dominio público): • Estrategias puras: Es un plan contingente completo. Es un conjunto de acciones para cada conjunto de información. • Jugadas (o Partida): Una secuencia de aristas que van desde el nodo inicial al final. La representamos entre corchetes. • Todo esto es de conocimiento común. • Veamos algunos ejemplos clarificadores... • En general, se tratan de juegos dinámicos. Pero los juegos estáticos también pueden representarse en forma extensiva. • ...Y los juegos dinámicos también se pueden representar en forma estratégica o normal. Hay que evitar esa confusión. • Veamos...
Ejemplo 6 1 d i 2 2 I D I D M 2 (-1, 1) I (1, -1) (1, -1) (1, -1) D 1 (1, -1) i d (-1, 1) (1, -1)
Ejemplo 6: elementos (1) • Juego dinámico con 2 jugadores, de suma cero • Información perfecta, sin jugadas de azar • 5 conjuntos de información (C.I.) con un nodo de decisión cada uno • Acciones asociadas a cada C.I.: • C.I 1 (nodo inicial) El jugador 1 tiene dos acciones posibles {i,d} • C.I. 2 El jugador 2 tiene dos acciones posibles {I,D} • C.I. 3 El jugador 2 tiene tres acciones posibles {I,M,D} • C.I. 4 El jugador 2 tiene dos acciones posibles {I,D} • C.I. 5 El jugador 1 tiene dos acciones posibles {i,d}
Ejemplo 6: elementos (2) • Estrategias puras • 4 para el jugador 1: {ii,id,di,dd} • 12 para el jugador 2: {III,IID, IMI,IMD,IDI,IDD,DII,DID,DMI,DMD,DDI,DDD} • Jugadas: ejemplo [d,I,I,d] • Perfil de estrategias: ejemplo (di, IID) • Representación en forma estratégica...
Práctica 7. El jugador 1 elige primero una acción entre {L,M,R}. Después el jugador 2 la observa si es [L] o no y escoge a continuación entre {l,r} • Tirole, p. 638 8. El jugador 1 elige primero entre {I,D}. Después el jugador 2 escoge entre {I’,D’} al observar [ I ] ó [ D ]. Después el jugador 3 observa [D,D’] o no observa naday escoge entre {I’’,D’’} • Gibbons, p. 121 9. Represente el juego de las tres en raya. • Binmore, p. 28; Mas-Collel et al., p. 220 .
Práctica 10. Suponga el siguiente juego de dos jugadores que ponen 1 euro en la mesa. El jugador 1 escoge, primero, una carta alta (a) o baja (b), con igual probabilidad. Tras verla, puede pasar (P), en cuyo caso pierde el euro o apostar otro euro (A). Si apuesta, el jugador 2, que no la ve, tiene dos opciones: pasar (P), en cuyo caso pierde el euro, o apostar otro euro (A).Si la carta es alta gana el jugador 1 y si es baja gana el jugador 2. El que gane se llevan el dinero de la mesa. • Represente el juego en forma extensiva y estratégica • ¿Se trata de un juego estático o dinámico y de información perfecta o imperfecta? • Ricart, ejemplo 4 .
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Teoría de juegos: Tema 1 Rafael Salas febrero de 2013