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8.2  网络最大流. 运输网络问题是很大一类网络问题,通过介绍有些运输网络问题,可以使我们建立起一些处理网络问题的基本概念和方法。 这里涉及的运输网络问题只是考虑简单情况。. 一、运输网络 1. 运输网络的定义 定义 8.7 :一个带权有向图 G=(V,E) 若满足如下条件: (1) G 是连通无自环的; (2) 每条弧 ( i,j) 的权 cij 为非负整数,称为弧的容量, cij 全体所构成的集合记为 C ; (3) 存在 2 个不同的顶点 s 和 t 。

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8.2  网络最大流

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Presentation Transcript


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8.2 网络最大流

  • 运输网络问题是很大一类网络问题,通过介绍有些运输网络问题,可以使我们建立起一些处理网络问题的基本概念和方法。

  • 这里涉及的运输网络问题只是考虑简单情况。


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  • 一、运输网络

  • 1.运输网络的定义

  • 定义 8.7:一个带权有向图G=(V,E)若满足如下条件:

  • (1)G是连通无自环的;

  • (2)每条弧(i,j)的权cij为非负整数,称为弧的容量,cij全体所构成的集合记为C;

  • (3)存在2个不同的顶点s和t。

  • 则称该有向图为运输网络, 简称网络,记为N(V,E,C)。称s为发点, t为收点, 除s和t以外其它顶点称为中间点。C称为容量函数。


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  • 2.运输网络N中的流

  • 定义 8.8:在网络N(V,E,C)的弧集E上定义了一个非负整值函数f={fij}, 称f为网络N上的流, fij称为弧(i,j)上的流量。若无弧(i,j), 则fij定义为0。设流f满足下列条件:

  • (1)容量限制条件:对每一条弧(i,j), 有fij≤cij。

  • (2)平衡条件:除s和t外的每个中间点k, 有

  • 即流出和等于流入和。

  • 对于s和t有

  • 则称f为网络N的一个可行流, Vf为流f的值, 或称f的流量。

  • 若N中无可行流f', 使Vf'>Vf, 则称f为最大流。


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  • 定义 8.9:若fij=cij, 则称弧(i,j)是饱和的; 若fij<cij, 则称弧(i,j)是未饱和的。若fij=0, 则称弧(i,j)是f-0的; 若fij>0, 则称弧(i,j)是f-正的.

  • 现在的关键是如何求最大流的值。


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  • 二、最大流最小割定理

  • 引理:对于给定的网络N=(V,E,C), 若可行流f和割(P,V-P), 成立Vf=C(P,V-P),则Vfmax=Vf,Cmin(P,V-P)=C(P,V-P)。

  • 因此求最大流的一个想法就是构造流和割,使得流量和割容量相等。


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  • 福特,富克逊(Frod,Falkerson)于1956 年给出的最大流最小割定理

  • 基本思想:

  • 1)对任意网络构造初始流。

  • 零流,或其他可行流。

  • 2)在初始流基础上寻找可增加流的路,这样的路称为增广路。并在寻找增广路的同时,计算在该路上可增加多少流。

  • 3)若找到了从s到t的可增加流的路,则修改流,得到新的可行流。然后转回2)


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  • (1)怎样找增广路

  • (2)如果找不到这样的增广路,是否此时的流就是最大流?


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  • 1.寻找增广路的方法

  • 设u为s到t的路(不考虑弧的方向)

  • (1)先考察该路上与路方向一致的弧(称为向前弧)。

  • 若路上所有弧均为向前弧,且每条弧的流量<相应弧的容量,则可增加流的路。

  • 对于向前弧(i,j),fij是否<cij。

  • 可增加流的通路,采用标号法。


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  • 1)对源点s标号(-)

  • 2)设点i已经标号,j点没有标,对于向前弧(i,j),若fij<cij,则点j标号i+;若fij=cij,则点j不标号。

  • 3)若收点t最后被标号,如t点被标号c+,则找到了从s到t的增广路。

  • 还需要知道这条路可增加多少流量,以便修改流。


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  • 1)对源点s标号(-),令Δs=+∞。

  • 2)设点i已经标号,增量为Δi,j点没有标,对于向前弧(i,j),若fij<cij,则点j标号i+,

  • Δj=min{Δi,cij- fij}

  • 若fij=cij,则点j不标号。

  • 3)若收点t最后被标号,如t点被标号c+,Δt=min{Δc,cct- fct},这就找到了从s到t的增广路,可增加的流量是Δt。

  • 修改流时,为满足平衡条件,对该路上所有弧流量+Δt。


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如果在这路上的向前弧(s,b),(c,t)都已经饱和,则显然该路不可能是增广路。

如果(s,b),(c,t)没有饱和,且在前面的的标号过程中,b点已经标号,s+,Δb.

是否有增广路,取决于向后弧(c,b)的流fcb,

  • 若按此方法找不到增广路,是否就结束?

  • 还可采用下面的方法

  • (2)如果u中部分弧的方向与路的方向相反(称这样的弧为向后弧)。

  • 如下图所示。

如果b点已经标号,(s+,Δb),且fcb>0,则c点标号(b-,Δc),

这里Δc=min{Δb, fcb}。

s到t的路s,b,c,t,这里弧(c,b)与路的方向相反。

按前面的方法无法解决,对于这类情况需要新的方法


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  • 0)对任意网络构造初始流。

  • 1)对源点s标号(-,+∞)。

  • 2)设点i已经标号,增量为Δi,j点没有标,

  • i)对于向前弧(i,j),若fij<cij,则点j标号(i+,Δj),

  • 这里Δj= min{Δi,cij- fij}

  • 若fij=cij,则点j不标号。

  • ii)对于向后弧(i,j),若fji>0,则j点标号(i-,Δj),

  • 这里Δj=min{Δi, fji}。

  • 若fij=0,则点j不标号。

  • (3)重复第2步,直到

  • i)若收点t最后被标号(x+,Δt),这就找到了从s到t的增广路,可增加的流量是Δt。

  • 修改流时,对该路上所有向前弧流量+Δt,向后弧上的流量减少Δt,并以此结果作为新的流,转向1)。

  • ii)若不再有新的顶点被标号,且t仍没有被标号,则说明网络中的流为最大流


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  • 定理:用上述标号法在算法停止时得到的一定是最大流。

  • 证明:算法停止时,已经标号的点构成集合P,没有标号的构成V-P,则(P,V-P)构成割。然后证明网络中的流的值就等于该割的容量。

  • 关于算法有2点要说明:

  • 1)在某点有多种标号选择时,可任意选择1种进行标号。

  • 2)初始流不一定是零流,只要是可行流即可。


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8.3图与二分图的匹配

定义:若G中每一个顶点是关于M 饱和的, 则称M为G的完美匹配。

一个图不一定存在完美匹配

  • 一、匹配的概念

  • 定义 8.11:在图 G=(V,E)中, M是边集E的子集,并且M中没有两条边相邻, 称M是G的一个匹配。

定义:若M中的一边关联于顶点v, 则称v为关于M饱和的。

M中的边的两端点称为在M下配对。


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图可能有许多不同的最大匹配。

完美匹配必是最大匹配,

反之不一定。

如果G有完美匹配,则它的任一最大匹配是否一定为完美匹配?

  • 完美匹配不一定唯一.

  • 定理:无自环的图G,若它有完美匹配,则|V(G)|为偶数.

  • 定义:若G中不存在匹配M',使|M'|>|M|, 则称M为G的最大匹配。


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  • 二、匹配的基本定理

  • 首先引进2个定义。

  • 定义 8.12:设M是G的一个匹配, (1)若在G中有一条路,它的边在E-M和M中交错地出现, 则称该路为关于M的交错路。

(2)若关于M的交错路的起点和终点不是关于M饱和的, 则称该路为关于M的增广路。


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  • 定理:关于M的增广路中属于E-M的边数比属于M的边数多 1。

  • 定理 8.8:在图G中,M是最大匹配当且仅当G中不包含关于 M的增广路。

  • 证明:用反证法。假设G中存在关于 M的增广路p,

  • 构造M’=Mp

  • 证明(1)M’是匹配 (2)|M’|=|M|+1

  • 假设M不是最大匹配, 则存在匹配 M',使|M'|>|M|。设由 MM’导出的图G(MM’)记为H, 它的每个分支或者是交错路, 或者是交错回路。由此证明H中存在关于M的增广路


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  • 作业:P188

  • 12,14,15,16


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