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第 5 章 函数式程序设计语言

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第 5 章 函数式程序设计语言. 过程式程序设计语言由于数据的名值分离, 变量的时空特性导致程序难于查错、难于修改 命令式语言天生带来的三个问题只解决了一半 滥用 goto 已经完全解决 悬挂指针没有完全解决 函数副作用不可能消除. 问题是程序状态的易变性( Mutability) 和顺序性( Sequencing) Backus 在图灵奖的一篇演说《程序设计能从冯 · 诺依曼风格下解放出来吗?》 中 极力鼓吹发展与数学连系更密切的函数式程序设计语言. 5 .1 过程式语言存在的问题. (1) 易变性难于数学模型

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第5章 函数式程序设计语言
  • 过程式程序设计语言由于数据的名值分离, 变量的时空特性导致程序难于查错、难于修改
  • 命令式语言天生带来的三个问题只解决了一半
  • 滥用goto已经完全解决
  • 悬挂指针没有完全解决
  • 函数副作用不可能消除
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问题是程序状态的易变性(Mutability)和顺序性(Sequencing)问题是程序状态的易变性(Mutability)和顺序性(Sequencing)
  • Backus在图灵奖的一篇演说《程序设计能从冯·诺依曼风格下解放出来吗?》中极力鼓吹发展与数学连系更密切的函数式程序设计语言
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5.1 过程式语言存在的问题

(1)易变性难于数学模型

  • 代数中的变量是未知的确定值,而程序设计语言的变量是对存储的抽象
  • 根本解决: 能不能不要程序意义的“变量”只保留数学意义的“变量”?
  • 能不能消除函数的副作用?
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例:有副作用的函数

int sf_fun(int x)

static int z = 0; //第一次装入赋初值

return x + (z++);

sf_fun(3) = {3 |4 | 5 | 6 | 7 …}

//随调用次数而异,不是数学意义的确定函数。

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(2)顺序性更难数学模型
  • 顺序性影响计算结果, 例如, 前述急求值、正规求值、懒求值同一表达式就会有不同的结果。有副作用更甚, 因而难于为程序建立统一的符号数学理论。
  • 应寻求与求值顺序无关的表达方式
  • 理想的改变途径
  • 没有变量, 就没有破坏性赋值, 也不会有引起副作用的全局量和局部量之分。 调用通过引用就没有意义。 循环也没有意义, 因为只有每次执行循环改变了控制变量的值, 循环才能得到不同的结果。
  • 那么程序结构只剩下表达式、条件表达式、递归表达式。
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5.2 λ演算
  • λ演算是符号的逻辑演算系统, 它正好只有这三种机制, 它就成为函数式程序设计语言的模型
  • λ演算是一个符号、逻辑系统,其公式就是符号串并按逻辑规则操纵
  • Church的理论证明, λ演算是个完备的系统, 可以表示任何计算函数, 所以任何可用λ演算仿真实现的语言也是完备的。
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λ演算使函数概念形式化,是涉及变量、函数、函数组合规则的演算。λ演算使函数概念形式化,是涉及变量、函数、函数组合规则的演算。
  • λ演算基于最简单的定义函数的思想: 一为函数抽象λx.E, 一为函数应用(λx.E)(a)。
  • 一切变量、标识符、表达式都是函数或(复合)高阶函数。如λx.C(C为常量)是常函数。
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λ演算公式举例

x 变量、公式、表达式。

(λx.((y)x))函数, 体内嵌入应用。

(λz.(y(λz.x)))函数, 体内嵌入应用,

再次嵌入函数。

((λz.(z y))x)应用表达式。

λx.λy.λz.(x λx.(u v)w)复杂表达式

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由于λ演算中一切语义概念均用λ表达式表达。 为了清晰采用命名替换使之更易读。

T = λx.λy.x //逻辑真值

F = λx.λy.y //逻辑假值

1 = λx.λy.x y //数1

2 = λx.λy.x(x y) //数2

zerop = λn.n(λx.F)T //判零函数

注:zerop中的F、T可以用λ表达式展开

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形式语法

核心的λ演算没有类型, 没有顺序控制等概念, 程序和数据没有区分。 语法极简单:

<λ-表达式> :: = <变量>

| λ<变量>.<λ-表达式>

| (<λ-表达式><λ-表达式>)

| (<λ-表达式>)

<变量> :: =<字母>

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基本函数
  • TRUE 和FALSE的λ表达式

T = λx.λy.x

F = λx.λy.y

  • 整数的λ表达式:

0=λx.λy.y

1=λx.λy.x y

2=λx.λy.x(x y)

n=λx.λy.x(x(…(x y))

n个

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基本操作函数

not=λz.((zF)T)=λz.((zλx.λy.y)(λx.λy.x))

and=λa.λb.((ab)F) = λa.λb.((ab)λx.λy.y))

or = λa.λb.((aT)b) = λa.λb.((a λx.λy.x)b)

以下是算术操作函数举例:

+ = add = λx.λy.λa.λb.((xa)(ya)b)

* = multiply = λx.λy.λa.((x(ya)))

** = sqr = λx.λy.(yx)

identity = λx.x //同一函数

succ = λn.(λx.λy.nx(x y)) //后继函数

zerop = λn.n(λx.F)T

=λn.n(λz.λx.λy.y)(λx.λy.y) //判零

函数

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例:3+4就写add 3 4, add 3返回“加3函数”应用到4上当然就是7。写全了是:

(λx.λy.λa.λb.((x a)(y a) b ))

(λp.λq.(p(p(p q)))(λs.λt.(s(s(s(s t)))

λa.λb.(a(a(a(a(a(a(a b)))))))

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归约与范式

归约将复杂的表达式化成简单形式, 即按一定的规则对符号表达式进行置换。

例:归约数1的后继

(succ 1) => (λn.(λx.λy.n x(x y))1)

=> (λx.λy.1 x(x y))

=> (λx.λy.(λp.λq. p q) x(x y))

=> (λx.λy.(λq. x q)(x y))

=> (λx.λy.x(x y))=2

注:succ和1都是函数(1是常函数),第一步是λn束定的n被1置换。 展开后, x置换p, (xy)置换q, 最后一行不能再置换了, 它就是范式, 语义为2。

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(1)β归约:β归约的表达式是一个λ应用表达式(λx.M N), 其左边子表达式是λ函数表达式,右边是任意λ表达式。β归约以右边的λ表达式置换函数体M中λ指明的那个形参变量。形式地,我们用[N/X,M]表示对(λx.M N)的置换(规则略)。

关键的问题是注意函数体中要置换的变量是否自由出现,如:

((λx.x(λx.(xy)))(zz))

=>(zz)(λx.((zz)y)) //错误,第二x个非自由出现。

=>(zz)(λx.(xy)) //正确

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(λn.add n n) 3

  • => add 3 3 //3置换n后取消λn
  • => 6
  • (λf.λx.f(f x)) succ 7
  • => λx.succ (succ x) 7
  • => succ (succ 7)
  • => succ (8) = 9
  • 注:add,3, succ, 7, 9是为了清晰没进
  • 一步展开为λ表达式。
例5-5 高层表示的β归约

但β归约有时并不能简化,

如:(λx.xx)(λx.xx),归约后仍是原公式, 这种λ表达式称为不可归约的。 对应为程序设计语言中的无限递归。

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(2)η归约是消除一层约束的归约:λx.Fx => F

(3)α换名:归约中如发生改变束定性质, 则允许换名(λ后跟的变量名), 以保证原有束定关系。 例如:

(λx. (λy.x)) (z y) //(zy)中y是自由变量

=> λy.(zy) //此时(zy)中y被束定了, 错误!

=> (λx.(λw.x))(zy) //因(λy.x)中函数体

无y, 可换名

=> λw.(zy) // 正确!

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(4)归约约定
  • 顺序:每次归约只要找到可归约的子公式即可归约, λ演算没有规定顺序。
  • 范式:符号归约当施行(除α规则外)所有变换规则后没有新形式出现,则这种λ表达式叫范式。
  • 解释:范式即λ演算的语义解释,

形如 x x,(y (λx.z))就只能解释为数据了。

上述基本函数均为范式, 在它的上面取上有意义的名字可以构成上一层的函数,

如:pred =λn.(subtract n 1)

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(5) 综合规约例题:以λ演算规约3**2

3**2=**(3)(2)

=λx.λy.(y x)(3)(2)

>β(λy.(y 3))(2)

>β((2)3)

= (λf.λc.f ( f c ) ) (3)

>βλc.(( 3 ( 3 c ) )

= λc.(λf.λc.(f(f(f(c)))))(3 c))

// 有c不能置换c

>αλc.(λf.λz.(f (f (f (z)))))(3 c)

>βλc.(λz.((3 c)((3 c)((3 c)(z)))))

// 再展3

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=λc.λz.((( λf.λc.(f(f(f(c)))c)((3c)((3c)(z))))

  • >αλc.λz.(((
  • λf.λw.(f( f( f(w)))c)((3c)((3c)(z))))
  • >βλc.λz.(((λw.(c(c(c(w))))((3c)((3c)(z))))
      • //同理展开第二个c,第三个c
  • =λc.λz.(((λw.(c(c(c(w))))(( λp.(c(c(c(p)))))((
  • λq.(c(c(c(q)))))(z))))
  • >βλc.λz.(((λw.(c(c(c(w))))((
  • λp.(c(c(c(p)))))(((c(c(c(z))))))
  • >βλc.λz.(((λw.(c(c(c(w))))((
  • (c(c(c(c(c(c(z)))))))))))
  • >β λc.λz.(c(c(c(c(c(c(c(c(c(z))))))))))= 9
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增强λ演算

只用最底层λ演算是极其复杂的。用高层命名函数,语义清晰。不仅如此,保留一些常见关键字,语义更清晰。例如,我们可以定义一个if_then_else为名的函数:if_then_else =λp.λm.λn.p m n,当p为\'真\'时, 执行m否则为n。我们先验证其真伪。

例:当条件表达式为真时if_then_else函数的归约

(if_then_else) T M N

=> (λp. λm. λn. p m n) T M N

=> (λm.λn. ( T m n))M N

=> (λm. λn. (λx.λy.x) m n) M N

=> (λm. λn. (λy.m) n) M N

=> (λm. λn. m) M N

=> (λn. M) N

=>M

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if表达式

可保留显式if-then-else形式:

(if_then_else) E1 E2 E3= if E1 then E2

else E3

其中E1, E2, E3为λ表达式。

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Let/where表达式

  • 如果有高阶函数:
  • (λn. multiply n (succ n)) (add i 2 )
  • =>multiply (add i 2) (succ (add i 2))
  • //n 和 add i 2置换变元得
  • => multiply n (succ n) // let n = add i 2 in
  • let a = b in E ≡ (λa. E) b ≡ E where a=b
  • (λf. E2) (λx.E1) = let f = λx.E1 in E2
  • = let f x = E1 in E2
  • 其中形如f=λx.E1的λx. 可移向左边为f x = E1 。 如:
  • sqr = λn. multiply n n //整个是λ函数表达式
  • sqr n = multiply n n //两应用表达式也相等
  • let表达式在ML. LISP中直接采用, Miranda用where关键字使程序更好读, let直到E完结构成一个程序块。Miranda只不过把where块放在E之后.
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元组表达式

  • 一般情况下n元组是p=(x1,x2,…xn), 建立在p上函数有:
  • let f(x1,x2,…xn)=E1 in E2
  • ≡ let fp=E1 in
  • let x1=first p in
  • let x2=second p in
  • .
  • .
  • .
  • let xn=n_th p in E2
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5.3 函数式语言怎样克服命令式语言的缺点
  • 5.3.1 消除赋值

赋值语句在过程语言中起什么作用。 在函数式

语言中取消会有什么问题:

[1] 存储计算子表达式的中间结果。

[2] 条件语句的重要组成。

[3] 用于循环控制变量。

[4] 处理复杂数据结构(增删改某个成分)。

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解决办法

[1]:保留全局量、局部量(符号名)以及参数名。

[2]:用条件表达式代替条件语句,其返回值通过

参数束定或where子句束定于名字

[3]:函数式语言都要定义表数据结构, 因为归约

和递归计算在表上很方便。 对整个表操作实

则是隐式迭代。 不用循环控制变量。 对于

顺序值也都用表写个映射函数即可隐式迭代。

部分达到作用[3], 其它显式循环要用递归。

slide27

A

A

B

C

B’

C

[4]:禁止赋值意味着数据结构一旦创建不得修改,故采用如下函数式语言结构数据修改方式

D

E

F

F’

I

J

G

H

5 3 2 while do
5.3.2 以递归代替while_do

组织仿真的要点是把递归函数体写入条件表达式。 循环终止条件是条件测试部分, 函数如有返回值放在then部分, 递归函数体放在else部分, 如果不需返回值则取消一部分(else)。

5.3.3 消除顺序

一旦语义相关无法传递数据, 非得写成嵌套函数不可(返回值自动束定到外套函数的变元上)

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5.3.4用嵌套代替语义相关的顺序

例:pascal实现:

c:=a+b;

s:=sin(c * c); 。

write(a,b, c, s); //上面计算不进行是无法打印 //的逻辑上要有顺序。

LISP 实现:

(print (let ((c(+ a b)))

let ((s (sin (* c c))))

list a b c s )))) //仍有顺序但在一个 //表达式内。自左至右处理即隐式顺序。

Miranda实现:

Answere a b = (a b c s )

where

s= sin (c* c)

c= a+b //多么清晰, 全然没有顺序

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利用卫式进一步消除顺序性

Miranda的卫式表达式

gcd a b= gcd (a-b) b, a>b

= gcd a (b-a), a<b

= a, a=b

LISP的条件选择

(define GCD (a b)

(cond (( greaterp a b) (GCD ((diference a b ) b)))

((Lessp a b) (GCD (a (diference b a ))))

( T a )))

用懒求值代替顺序

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5.3.5 输出问题

  • 利用数据对象内部原有的顺序
  • 结构对象是第一类对象, 语言支持的任何形式(交互、非交互)的输出都可以用在表和元组上。Miranda就是用无限表动态实现的
  • 无限表尾不表示任何值, 它是函数对象, 每当调用到它时, 它按规定计算表头值, 并构造 一新的函数对象放在表尾, 以便再展其它项, 它就是新的无限表尾的头, 这个过程一直延续到需要的表长已达到。
  • 输入输出流就是一个值的无限表, 每次处理输入流一个新值就附在表尾并为程序访问。同样, 也用无限表模型输出流。
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5.4 函数式语言Miranda

简单的Miranda手本

Miranda λ演算

sq n = n * n sq = λn. * n n

z=sq x/sq y z=/(sq x)(sq y)

Miranda的基本类型有字符(char类型, 加单引号的字母), 真值(bool类型, 值为True和False)和数(num 类型, 包括整数、实数), 数据结构只有表和元组, 串是字符表

11.4.1 数据结构

  • 元组(tuple)
  • 树类型定义
  • tree::= Leaf Integer | Node tree tree [1]
  • leaf1 = (Leaf 3) [2]
  • tree1 = (Node leaf1 (Node (Leaf 17) (Leaf 49))) [3]
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tree 1

leaf 1

3

3

leaf 1

第[2]行执行后

17

49

第[3]行执行后

多态函数定义及调用

设函数 max_tree 为求树中叶子值最大

max_tree (Leaf ldata) = ldata [1]

max_tree (Node n1 n2) = max1, max1 > max2 [2]

= max2, max2 > max1 [3]

= max1, otherwise

where

max1 = (max_tree n1) [4]

max2 = (max_tree n2) [5]

如有应用:

(max_tree leaf1)

//结果值为3, leaf1用上例

(max_tree tree1)

//结果值为49,tree1用上例

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表(list)

Miranda表的表示法

[ ] //空表

[1..n] //1到n,域表示

odd_number = [1,3,..100] //1到100内奇数表,头两项及最后项必写

eleven_up = [11...] //10以上, 无限表表示

evens = [10,12...100] //10以上偶数表至100,头两项及最后项必写

evens_up = [12,14...] //10以上偶数无限表,

week _days = [“Mon”,“Tue”,“Wed”,“Thur”,“Fri”]

//五个串值的表

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5.4.2 内定义操作

Miranda定义了常规的算术运算符(+、-、*、/、div、mod)并按中缀表示使用。故内定义了一些有用的表操作:

L1 ++ L2 // 表L2并接到表L1的末尾

item:List // 将项item加到表List的头前

List ! n // 从表List中选取第n项

L1 -- L2 // 从表L1中剔出L2的值

#List //返回表List的项(基)数

5 4 3
5.4.3 定义函数

Miranda把函数定义叫方程(equation)。

例: 斐波那契数的函数定义, 用卫式表达式实现递归

Fibonacci n = 1, n=0

= 1, n=1

= Fibonacci (n-1)+Fibonacci (n-2) n>1

卫式表达式的值集应复盖所有的可能,

否则用otherwise。

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例: 利用where解二次方程

quadroot a b c = error “complex roots”,delta < 0

= [term1] , delta = 0

= [term1 + term2,term1 - term2],

delta >0

where

delta = b*b - 4*a*c

radix = sqrt delta

term1 = -b/(2*a)

term2 = radix /(2*a)

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Miranda完全按λ演算模型,每个函数都是一元运算,当有多个变元时, 函数名也是第一类对象, 它逐一应用到各个参数, 中间返回函数可以任意取名, 这种中间函数称Curry函数。

例: 直角三角形求斜边长函数

hypotenuse a b = sqrt (a * a + b * b)

调用时

hypotenuse 3 4 //=5

也可写作:

(hypotenuse 3 ) 4  f 4

Miranda则写作为:

f 4 where f = hypotenuse 3

//f=sqrt(9 + b*b)即 Curry 函数。

slide39

例: Miranda用变阶函数实现类型参数化。

type row_type=array[0..9] of Integer;

function Reduce(functionf(x:Integer,y:Integer):Integer;

ar:row_type):Integer;//函数f是参数化的。

var sum,k:Integer;

begin

sum:=ar[0];

for k=1 to 9 do

sum:=f(sum,ar[k]);

reduce:=sum

end;

function MyOp(s:Integer,y:Integer):Integer; //此处定义一实例函数。

begin

MyOp:=abs(x)+abs(y)

end;

function MySum(ar:row_type):Integer;

begin MySum:=Reduce(MyOp,ar) end;

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上程序仅将 Reduce函数操作参数化。数组元素类型、长度还是固定的。Miranda都可以,它设3个参数:操作、表、单位元。单位元的值可用于归约过程的初始化值,也是空表时的返回值:

reduce f[] n = n [1]

reduce f(a : x) n = f a (reduce x n) [2]

为了理解上不引起岐意,写明reduce的类型:

reduce::(numnumnum) //第一变元f是函数类型(有

括号),它是二元算子

[num] //返回值是表,表元素是num类型

num //若空表映射为数,类型是num.

 num //最后映射返回值是num类型。

[2]行中(a:x)是表头a和表尾x,右边函数体是表尾归约后与表头归约。[1]行指明空表规约 n 次是单位元的 n 次复合。

5 4 4
5.4.4 表闭包

表闭包是一个任意复杂结构的(无限)表。其语法是:

<ZF表达式>::=‘[’<体>‘|’<限定符表>‘]’

<限定符表>::=<产生器>{‘;’<产生器>|<过滤器>}

<产生器>::=<变量>←<表_表达式>

<过滤器>::=<布尔表达式>

<体>::= <表_表达式>

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表闭包示例:

ZF 表达式 解释

[n*2 | n←[2,4,6,8,10]] [4,8,12,16,20] [1]

[n*n | n ←[1,2,...]] [1,4,9,...] [2]

[x+y | x← [1..3]; y←[3,7]] [4,5,6,8,9,10] [3]

[x*y | x ←[1..3]; y←[1..3];x>=y][1,2,4,3,6,9] [4]

[1]行只有一个生成器, 表值2,4,6,8,10束定于n得出2倍表。[2]行是无限表也只有一产生器,[3]行[4]行有两个产生器, [4]行还有一过滤器, 否则要对称出9个数。

slide43

例: 用Miranda编写快速分类

sort [ ] = [ ] [1]

sort (pivot:rest) = sort [y | y ← rest; y<=pivot] [2]

++ [pivot] ++ [3]

sort [ z | z ← rest; y>pivot] [4]

[1]行定义函数sort的变元是空表它返回一空表(调用同一函数), 一般定义递归它都有[1]行。 它同时指出sort是表变元。[2]行的圆括号不是表, 而是说明变元一个表, 它由元组pivot和rest组成,即表头、表尾。 以局部的名字给出了与之结合的实参表表头、表尾。

5 4 5
5.4.5 无限表
  • 可以把无限表看作两部分: 有限的头部, 它放λ已经算好了的值, 和一个无限的尾, 它由生成新表尾的代码组成。这相当于一个函数, 也采用懒求值, 即不到表不够时不计算它。
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5.5 问题与讨论

(1) 模拟状态不易

(2) 效率还是问题

  • 从过去比顺序的命令式语言慢200-1000倍到近来的3-5倍, 其原因是:
    • 函数是第一类对象, 局部于它的数据一般要在堆(heap)上分配, 为了避免悬挂引用, 要有自动重配的检查。
    • 无类型(如LISP)要在运行中检查类型,即使是强类型的(如ML, Miranda)减少了类型动态检查, 但函数式语言天然匹配选择模式的途径也是运行低效原因。
    • 懒求值开销大
    • 中间复合值一多费时费空间。
    • 无限表动态生成, 计算一次增长一个元素! 效率也很低。
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(3) 并发性

    • 函数式语言被认为是非常适用于处理并发性问题的工具, 共享值不需加特殊保护, 因为他们不会被更新、并行进程之间不会互相干扰。
    • 还有一些困难问题要解决。 在将表达式求值分配给不同的处理器这一点上就有隐藏的额外开销: 用于求表达式值的数据必须从一个处理器传到另一个处理器, 而表达式的计算结果还得被传回来。
    • 寻找解决这个问题的先进技术是一个热门的研究课题。
haskell
Haskell语言

Haskell是一种标准化的,通用纯函数式编程语言,有非限定性语义和强静态类型。它的命名源自美国逻辑学家Haskell Brooks Curry,他在数学逻辑方面的工作使得函数式编程语言有了广泛的基础。在Haskell中,函数是一等公民。作为函数式编程语言,主要控制结构是函数。Haskell语言是1990年在编程语言Miranda的基础上标准化的,并且以λ演算(Lambda-Calculus)为基础发展而来。具有“证明即程序、结论公式即程序类型”的特征。这也是Haskell语言以希腊字母「λ」(Lambda)作为自己标志的原因。

scheme
Scheme语言

Scheme 语言是 Lisp 的一个现代变种、方言,诞生于1975年,由 MIT 的 Gerald J. Sussman and Guy L. Steele Jr. 完成。与其他lisp不同的是,scheme是可以编译成机器码的 。

Scheme语言的规范很短,总共只有50页,甚至连Common Lisp 规范的索引的长度都不到,但是却被称为是现代编程语言王国的皇后。它与以前和以后的 Lisp 实现版本都存在一些差异,但是却易学易用。

clojure
Clojure语言

Clojure 是一种运行在 Java™ 平台上的 Lisp 方言,它的出现彻底颠覆了我们在Java虚拟机上并发编程的思考方式改变了这一现状。如今,在任何具备 Java 虚拟机的地方,您都可以利用 Lisp 的强大功能

作为Lisp方言,Clojure或许拥有最灵活的编程模型,因此绝不缺乏号召力。与其他Lisp方言不同的是,它不会带那么多括号,还有众多Java库和在各平台上的广泛部署作为坚强后盾

scala
Scala 语言

Scala是一种函数式面向对象语言,它融汇了许多前所未有的特性,而同时又运行于JVM之上。随着开发者对Scala的兴趣日增,以及越来越多的工具支持,无疑Scala语言将成为你手上一件必不可少的工具。

Scala为Java系统引入了强大的函数式思想,同时也并未丢弃面向对象编程。回顾历史,我发现C++和Scala有着惊人的相似之处,因为从过程式编程过渡到面向对象编程期间,C++同样起到了举足轻重的作用。当你真正融入Scala社区之后,你就会明白,为什么对于函数式语言程序员来说,Scala是异端邪说,而对于Java开发者来说,Scala是天降福音。

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