Proiezioni per sviluppo modificate matematicamente Carta di Mercatore

1. Proiezioni per sviluppo modificate matematicamenteCarta di Mercatore A cura: S.T.V. Giuseppe FIORINI

2. Proiezione Cilindrica Centrale Per ben comprendere il principio di costruzione della Carta di Mercatore è indispensabile conoscere la Proiezione Cilindrica Centrale. In tale proiezione il punto di vista è collocato al centro della sfera rappresentativa mentre il quadro è un cilindro tangente lungo l’Equatore. I meridiani ed i paralleli vengono rappresentati con due fasci di rette ortogonali fra loro; i meridiani distano fra di loro tutti di una stessa quantità, mentre i paralleli sono rappresentati da rette tanto più distanti fra di loro e dall’equatore quanto più cresce la latitudine. I poli sono proiettati all’infinito e qui ndi non sono rappresentabili.

3. Un carattere generale delle carte è il seguente: “ad un punto della sfera (φ,λ) corrisponde un unico punto della carta, e viceversa” Il punto della carta è dato dai valori cartesiani (x,y) In termini più tecnici si può dire che tra i punti “obbiettivi” della “sfera” ed i punti “immagini” della carta c’è corrispondenza biunivoca. Per semplicità le Relazioni di Corrispondenza che legano (φ,λ) con (x,y) sono ottenute in generale col metodo geometrico per mezzo delle proiezioni.

4. Le RELAZIONI di CORRISPONDENZA per questa carta sono: x = R  y = R tgφ (vedi figura)

5. La proiezione cilindrica centrale non è ISOGONA in quanto non conserva la similitudine fra le piccole figure della carta e della Terra. Infatti gli angoli formati fra le diverse direzioni sulla terra non sono rappresentati con angoli uguali sulla carta. Si dimostra inoltre che la funzione (tgR’), in cui R’ è un angolo sulla carta corrispondente ad un angolo R sulla Terra, è uguale al prodotto (tgR*cosφ) tgR’ = tgR*cosφ In altri termini , se consideriamo sulla Terra una Lossodromia che formi l’angolo di rotta R costante con tutti i meridiani che incontra , tale angolo verrà deformato sulla proiezione cilindrica centrale del fattore “cos φ” Con il crescere della latitudine, la funzione cos φ diminuisce e di conseguenza l’angolo R’ sulla carta diventa sempre più piccolo mano a mano che la lossodromia si avvicina ai poli.

6. La proiezione è isogona solo per φ = 0° (circa 10° N o S ) La Proiezione cilindrica non possedendo i requisiti di isogonismo e di rettifica delle lossodromie, non può essere impiegata come carta nautica, tuttavia partendo da essa e modificando la legge di distribuzione dei paralleli (Relazioni di Corrispondenza ) si ottiene una carta con i requisiti richiesti:  isogonismo  rettifica delle lossodromie  e possibilità di rappresentare zone estese di superficie per i percorsi oceanici. Tale è la Carta di Mercatore

7. Carta di Mercatore La Carta di Mercatore (nautica o marina) non è altro che una Proiezione cilindrica centrale modificata matematicamente Vediamo come si arriva alla formulazione matematica della carta di mercatore. Consideriamo uno spicchio sferico terrestre limitato da due meridiani distanti fra loro di una quantità infinitesima “dy” e su di esso l’archetto infinitesimo di lossodromia “dm” passante per i punti A e B e formante l’angolo di rotta R nel punto A.

9. Consideriamo la stessa situazione , rappresentata sulla carta di Mercatore. Volendo conservare gli angoli, senza cambiare la legge di distribuzione dei meridiani, Mercatore impose matematicamente la condizione di isogonismo rendendo simili il triangolo infinitesimo ABC sulla sfera ed il corrispondente triangolo abc sulla carta. In altri termini costruì una carta in cui si verificava per ogni latitudine la proporzionalità fra i lati corrispondenti dei due triangoli. Il triangolo infinitesimo ABC della sfera rappresentativa può, a causa della sua piccolezza, essere considerato Piano.

10. Imponendo la proporzionalità fra i lati dei due triangoli si ha: dx = dy da cui si ricava  dy = dx dφ dp dφ dp Ricordando che dx = dλ per costruzione, in quanto si vuole conservare la legge di distribuzione dei meridiani, e dp = d λ cos φ, in quanto un elemento di parallelo è uguale al simile elemento di equatore per il coseno della latitudine, si ha con la sostituzione: dy = dλdφ= dφ sec φ d λ cos φ Volendo ottenere la lunghezza dell’arco di meridiano che va dall’equatore al parallelo di latitudine φ che si vuole rappresentare si dovrà integrare (sommare) la precedente formula fra i valori di 0° e φ°, cioè: φ y = ∫ d φ sec φ 0

11. Con i procedimenti dell’analisi si dimostra che tale integrale è dato dalla relazione: y = ln tg (45° + φ/2) Il simbolo y è detto latitudine crescente per la sfera e si indica con φc. Per quanto detto le relazioni di corrispondenza della Carta di Mercatore per la Terra sferica sono: x = R λ y = φc Volendo esprimere y in primi di equatore si avrà: y = φc = (10800/π ) ln tg (45° + φ/2)

12. Le carte nautiche sono generalmente costruite per la Terra ellissoidica, pertanto la formula della latitudine crescente e dissimile da quella della Terra sferica. Le tavole Nautiche dell’I.I. (Tav.4) forniscono i valori di queste latitudini crescenti per l’Ellissoide (o latitudini isoterme). La differenza fra i valori delle latitudini crescenti per la sfera e per l’ellissoide consiste nel fatto che: - i primi sono sempre maggiori delle corrispondenti latitudini geografiche (espresse in primi d’arco) - i secondi cominciano ad essere più grandi delle corrispondenti latitudini geografiche solo fra l’11° e il 12° parallelo. Nella zona equatoriale le lat. Isoterme sono minori delle lat. Geografiche e ciò dipende dal raggio di curvatura del meridiano.

13. La carta di Mercatore è isogona ma non è né equivalente né equidistante, cioè non conserva né le aree né le distanze. • Queste ultime vengono deformate col variare della latitudine di un fattore “ sec φ” ed è appunto per questo motivo che la misura delle distanze sulla carta di Mercatore viene effettuata servendosi delle scale laterali delle latitudini (anchè esse variabili con la “sec φ” ) • Il grigliato della carta di Mercatore si presenta, apparentemente, come quello della proiezione cilindrica, cioè a maglie rettangolari. la differenza consiste appunto nella legge di distribuzione dei paralleli la cui distanza dall’equatore dipende dal valore della secante della latitudine, mentre nella proiezione cilindrica centrale dipende dal valore della tangente della latitudine.