Download
1 / 13

Математическое моделирование задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство - PowerPoint PPT Presentation


  • 142 Views
  • Uploaded on

Математическое моделирование задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство. Ванина Снежанна 135 группа. Основные этапы решения. Цель :

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Математическое моделирование задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство' - temima


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Математическое моделирование задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство

Ванина Снежанна

135 группа


Основные этапы решения задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство

Цель:

Определение и исследование полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения в рамках теории плоской деформации идеального жесткопластического тела на примере задачи о внедрении клина в жесткопластическое полупространство

Этапы:

1. Построение геометрии решения пластической области; составление уравнений, определяющих положение особенностей поля линии скольжения и свободных подвижных поверхностей, ограничивающих деформированное тело в процессе пластического течения.

2. Определение поля скоростей перемещений в пластической области, удовлетворяющего граничным условиям.

3.Определение нормальной скорости распространения линии разрыва, скоростей перемещений и скорости подвижного центра веера линий скольжения, по которым определяется поле деформаций в пластической области.


Внедрение клина в жесткопластическое полупространство.Автомодельное решение

v– скорость внедрения клина

с – глубина внедрения клина

α ,β– взаимно ортогональные семейства линий скольжений

u ,v–компоненты скорости перемещений

Вследствие симметричности пластического течения рассмотрим правую половину пластической области ABDEC деформированного материала, состоящую из треугольников ABD и AEC равномерного напряженного состояния и центрированного веера ADE, в центре которого сходятся прямолинейные линии скольжения семейства β.


Геометрия пластической области жесткопластическое полупространство

Рассмотрим ∆OBF и ∆AFC. Т.к. площадь вытесняемого материала равна площади внедренной части клина, то:

(1)

OB=c

AB=AC=h

Выражая AHиз ∆AFHи ∆ACH, получаем:

(2)

И подставляя (2) в (1), получим:

(3)


Геометрия пластической области жесткопластическое полупространство

Согласно выбранной системе координат , крайние точки рассматриваемой части пластической области имеют следующие координаты:

точка A:

точка B:

точка C:

Точка C, согласно предложенной схеме, всегда лежит на первоначальной линииконтакта. Уравнения для соответствующих линий BDEC имеют вид:

(4)

Линия BD:

(5)

Линия DE:

(6)

Линия EC:


Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений

Известно, что модуль градиента функции определяется через производную этой функции по нормали к линии уровня:

С другой стороны, производная

Следовательно, нормальная скорость движения линии разрыва определяется из соотношения:

(7)

Используя формулу (7) для уравнений соответствующих линий BDEC будут иметь вид:

Линия BD:

Уравнение задано в явном виде

, то функция дифференцируема по соответствующей координате.

(8)

Тогда:


Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений

Линия DE:

Это уравнение задано в параметрическом виде, тогда частные производные функции определяются соотношениями:

Принимая это во внимание, получим:

(9)


Определение нормальной скорости G распространения линии разрыва поля скоростей перемещений

Линия EC:

, где

Уравнение линии EC представляет собой уравнение заданное в неявном виде

, тогда

частные производные определяются следующим образом:

Значит, нормальная скорость G будет иметь вид:

(10)


Нормальная скорость распространения линии разрыва поля скоростей перемещений

Учитывая полученные ранее соотношения скорости G, можем написать:

, где:


Деформация на жесткопластической границе

Абсолютное значение величины удельной диссипации энергии рассчитывается по формуле:

Поле скоростей однородно во всей пластической области. На жесткопластической границе BDEC проекция

скорости перемещения вдоль

равна нулю. Тогда, согласно уравнению

Гейрингер:

- вдоль линии

:

- направленный против движения часовой стрелки угол наклона характеристик семейства α к оси абсцисс

,где

- вдоль линии

:

Проекция u на каждой линии αявляется постоянной, и при краевом условии на AB (скорость клина V=1 при глубине внедрения c) равна

Тогда:

(11)


Деформация на жесткопластической границе

Определение деформаций в окрестности точки А, являющейся центром линии скольжения DAE, сводится к решению системы :

, где

(12)

Для рассматриваемой задачи центр веера линий скольжения движется по закону:

(13)

Траектория движения частиц в пластической области проходит через жесткопластическую границу BDEC. В частности, частица, попадающая в веер, получает начальные деформации на линии EC. Следовательно, решение системы (12) для закона движения вершины центрированного веера DAE (13) удовлетворяет начальным условиям (для случая 2μ=60°):

,где

- удельная диссипация энергии на линии ЕС.

A- компоненты дисторсии


Определение деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения

В качестве меры деформаций выбран тензор конечных деформаций Альманси:

При плоской деформации:

, i,j=1,2

Или в главных значениях:

Первое главное значение тензора Альманси:

На линии разрыва поля скоростей перемещений


Поле деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения

μ=30°


ad