Protocolo aloha
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Protocolo Aloha. N = Número de estações. Est. 1. Est. 2. Est. N. canal comum. Protocolo Aloha. Arquitetura física :. Uma estação transmite quando precisa , sem se preocupar em escutar o canal. Protocolo Aloha.

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Protocolo Aloha

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Protocolo aloha

Protocolo Aloha


Protocolo aloha1

N = Número de estações

Est. 1

Est. 2

Est. N

canal comum

Protocolo Aloha

  • Arquitetura física:

  • Uma estação transmite quando precisa, sem se preocupar em escutar o canal.


Protocolo aloha2

Protocolo Aloha

Técnica mais simples que utiliza a estratégia de acesso a um meio comum, que pode ser acessado por todos os usuários.

Existem dois tipos de protocolo Aloha:

Aloha Puro

Aloha Segmentado


Protocolo aloha puro

Protocolo Aloha puro

  • Duas ou mais estações podem transmitir ao mesmo tempo. Esta situação dá origem a colisões, que devem ser detectadas e logo resolvidas.

Est. 1

Est. 2

Est. 3

Tempo


Modelo aloha puro

Modelo Aloha puro

  • Modelo do canal:

CANAL

Est. 1

+

.

.

.

Est. N

+


Modelo aloha puro1

Modelo Aloha puro

Hipóteses:

  • Comprimento fixo dos pacotes = T

  • Canal livre de ruído (perda de pacotes somente por colisões)

  • Estações têm comportamento homogêneo

  • Uma estação transmite pacotes com sucesso antes da chegada do seguinte

  • Chegada de pacotes em cada estação obedece a um proceso de Poisson taxa de chegadas ao meio comum tem distribuição de Poisson


Taxa efetiva de transmiss o

Taxa efetiva de transmissão

CANAL

Est. 1

+

.

.

.

  • = taxa média de transmissão de novos pacotes ao canal, em cada estação (pac/seg)

  • ’ = taxa média de transmissão ao canal de pacotes novos mais os retransmitidos (devido a colisões), em cada estação (pac/seg)

Est. N

+


Taxa efetiva de transmiss o1

Taxa efetiva de transmissão

CANAL

G

Est. 1

+

.

.

.

S

  •  = tamanho fixo de um pacote (seg)

  • S = N  T = utilização proporcional do canal por pacotes efetivamente transmitidos (novos)

  • G = N ’ T = utilização proporcional do canal pelo total de pacotes transmitidos (novos mais colisões)

Est. N

+


Taxa efetiva de transmiss o2

Taxa efetiva de transmissão

  • Logo, tem-se que: (1)

P0 = probabilidade de transmissão com sucesso de pacotes pelo canal (sem colisões)

  • Taxa total de transmissão de pacotes tem distribuição de Poissoncom parâmetro N’:


Taxa efetiva de transmiss o3

Taxa efetiva de transmissão

  • Colisão entre duas mensagens:

Canal

0

Tempo

2T

Tempo de vulnerabilidade

  • A probabilidade de que não ocorram colisões nesse intervalo [0,2T] é a probabilidade de que não sejam transmitidos pacotes neste intervalo. Logo, de (2) obtem-se:


Taxa efetiva de transmiss o4

Taxa efetiva de transmissão

  • Das equações (1) e (3) obtém-se a capacidade do canal (S) em função da taxa de transmissão total de pacotes (G):

  • Rendimento máximo ocorre para G=0.5, com S=0.184:

Max (S) = 18%


Taxa efetiva de transmiss o5

Taxa efetiva de transmissão

  • Gráfico de S(G):

0,184

  • Observações:

    • Para cargas baixas de pacotes acontecem poucas colisões, portanto S = G

    • À medida em que G aumenta e, portanto, S aproxima-se de 0.18, o número de colisões aumenta.


Taxa efetiva de transmiss o6

Taxa efetiva de transmissão

  • Gráfico de S(G):

0,184

  • Observações:

    • Ao aumentar o número de colisões, aumenta o número de retransmissões e, por conseguinte, aumenta a probabilidade de que ocorra uma colisão.

    • Então, S decai e o sistema torna-se instável para altos valores de G.


Protocolo aloha segmentado

ProtocoloAloha segmentado

  • A estação espera que comece um intervalo de tempo para transmitir um pacote

  • O sistema passa de contínuo a discreto

Est. 1

Est. 2

Est. 3

Tempo

  • Neste caso, ocorre colisão total ou não ocorre.

  • É necessário haver sincronismo geral.


Protocolo aloha

Taxa efetiva de transmissão

T

  • Tempo de vulnerabilidade cai à metade:

  • Após a mesma análise que foi feita com Aloha puro, obtém-se o seguinte resultado para Aloha segmentado:


Taxa efetiva de transmiss o7

Taxa efetiva de transmissão

0,368

  • Gráfico de S(G):

  • Rendimento máximo ocorre para G=1, com S=0.368:

Max (S) = 37%


Aloha puro

Comparação

Aloha puro

Est. 1

Est. 2

Est. 3

Tempo

  • Aloha segmentado

Est. 1

Est. 2

Est. 3

Tempo


Resumo de resultados

Comparação

Resumo de resultados:

Taxa efetiva S(G)

Máximo rend. S

Puro

18% (G = 0,5)

Segmentado

37% (G = 1)


Compara o de gr ficos

Comparação

Comparação de gráficos:


Distribui es cont nuas

Distribuições contínuas


Vari veis aleat rias cont nuas

Variáveis aleatórias contínuas

  • Variáveis aleatórias contínuas: a v.a. assume valores em um contínuo de valores possíveis, seu domínio não é um conjunto enumerável.

  • X é uma variável aleatória contínua se existe uma função f: (-,)   tal que B  

    P{XB} =

  • f(.) é a função de densidade de probabilidade da v.a. X


Vari veis aleat rias cont nuas1

Variáveis aleatórias contínuas

  • P{X(-,+)} =

  • P{X[a,b]} =

  • P{X = a} =

  • Probabilidade de uma v.a. contínua assumir determinado valor é nula


Vari veis aleat rias cont nuas2

Variáveis aleatórias contínuas

  • Função de distribuição acumulada:

    F(a) = P{X  a} =


Vari veis aleat rias cont nuas3

Variáveis aleatórias contínuas

  • Seja X uma v.a. contínua. Então, seu valor esperado é dado por:


Distribui o uniforme

Distribuição uniforme

  • Uniforme u(0,1)


Protocolo aloha

Distribuição uniforme

  • Uniforme u(,)


Distribui o uniforme1

Distribuição uniforme

  • Função de distribuição:


Protocolo aloha

Distribuição uniforme

  • Valor esperado:

    E[X] =

    =

    Portanto, E[X] =


Distribui o uniforme par metros

Distribuição uniformeParâmetros

E[X]

(b+a)/2

(b-a)2/12

Var[X]


Distribui o uniforme2

Distribuição uniforme

  • Discos de um dispositivo de memória rodam uma vez a cada 25 ms. Quando a cabeça de leitura/escrita está posicionada sobre uma trilha para ler algum registro em particular dessa trilha, este pode estar em qualquer lugar. Então, o retardo rotacional T até que o registro fique na posição para ser lido é uniformemente distribuído no intervalo 0 a 25 ms.

    (a) E[T] = ?

    (b) Var[T] = ?

    (c) probabilidade do retardo rotacional ficar entre 5 e 15 ms?


Distribui o uniforme3

Distribuição uniforme

(a)

(b)

(c)


Distribui o exponencial

Distribuição exponencial

  • X Exp ()

  • X )


Protocolo aloha

Distribuição exponencial

9

 = 8

8

7

6

5

4

3

2

1

x

2x = 0.25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.125

E[x]


Distribui o exponencial1

(x)

f

Distribuição exponencial

6

= 6



5

4

= 2



3

= 4



2

1

x

0

0.5

1.0

1.5

2.0


Protocolo aloha

Distribuição exponencial

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

= 8

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

2x = 0.25

x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.125

E[x]


Distribui o exponencial2

1

0.9

0.8

0.7



0.6

0.5

F(x)



0.4

0.3



0.2

0.1

0

0

5

10

15

20

25

30

x

Distribuição exponencial


Protocolo aloha

Distribuição exponencial

  • Valor esperado:

    E[X]=

    Para integrar por partes, define-se:

    u = x ; du = dx

    v = ; dv =

    Logo:

    E[X] = =

    Portanto, E[X]=


Distruibui o exponencial

E [X]

s

X

Var [X]

f

q

(

)

X

n

E [X

]

Distruibuição exponencial


Exemplo 1

Exemplo 1

  • X: v.a. tamanho de um pacote

  • X ~ Exp (1/L)

  • L: Valor médio do tamanho do pacote

  • L: bits/pacote

X


Exemplo 2

Exemplo 2

X

  • X: tamanho do pacote

  • Y: v.a. tempo de transmissão de cada pacote

  • Y ~ Exp (C/X)

  • X/C: valor médio do tempo de transmissão de um pacote (seg/pacote)

Canal de transmissão : C (bps)


Exemplo 3 tempo entre chegadas

Exemplo 3Tempo entre chegadas

chegada de

pacotes

  • i = t i -t i-1: tempo entre chegadas

  • i ~ Exp ()

  • i são independentes

  • 1/: valor médio do tempo entre pacotes (seg/pacote)

t





t0

t1

t2

tn


Falta de mem ria

Falta de memória

P

X

s

t

X

t

P

X

s

s

,

t

0

f

(x)



= 8

P

X

s

P

X

s

t

X

t

x [ut]

0

s

t

s+t

ut  unidades de tempo


Falta de mem ria1

Falta de memória

  • X : ~ Exp (): probabilidade de falha de uma rede

  • P{X > s}:probabilidade de que a rede não falhe durante s unidades de tempo

  • P{X > s + t | X > t}: probabilidade de que a rede não falhe durante s+t unidades de tempo, dado que funcionou durante t unidades de tempo

  • Como o sistema não tem memória:

    P{X > s + t | X > t}= P{X > s}


Ordem entre eventos exponenciais

P

X

X

1

2

1

P

X

X

1

2

2

1

Ordem entre eventos exponenciais

  • X1 ~ Exp (1)

  • X2 ~ Exp (2)

  • Problema: ?

  • Solução:


Protocolo aloha

P

X

X



X

X

1

2

3

n

1

P

X

X



X

X

1

2

3

n

n

i

i

1

Generalização

  • Xi~ Exp(i), i=1,…,n

  • Problema:

?

  • Solução:


Exemplo

Exemplo

  • Sistema de servidor de impressão formado por duas partes principais: servidor e impressora

  • Sejam:

    Xs ~ Exp(s):vida útil servidor

    Xi ~ Exp(i):vida útil impressora

    E[Xs]:10.000 hrs

    E[Xi]:3.000 hrs

  • Problema: Qual é a probabilidade do sistema falhar devido a uma falha no servidor?


Exemplo1

s

P

X

X

s

i

s

i

Exemplo

  • Problema :

    Qual é a probabilidade do sistema falhar devido a uma falha no servidor?

  • Solução:

1

10000

1

1

10000

3000

3

13


Distribui o de erlang

Distribuição de Erlang

  • X Erl (k,)

  • X 

  • Função de densidade de probabilidade

  • Função de distribuição:

(1)

(2)


Distribui o de erlang1

Distribuição de Erlang

0.8

0.7

0.6

k = 2

 = 2

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

x

0

2

3

4

5

E[x]=1


Protocolo aloha

1

0.9

0.8

0.7

0.6

k = 2

 = 2

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

x

2

3

4

5

E[x]=1

Distribuição de Erlang


Distribui o de erlang k par metros

Distribuição de Erlang (k,)Parâmetros


Rela o entre exponencial e erlang

Relação entre Exponencial e Erlang

servidor

  • Servidor com somente uma entrada e uma saída

  • Todos os pacotes devem ser atendidos

  • Servidor atende somente um pacote de cada vez

  • Existe retardo somente no servidor

  • X: v.a. tempo de serviço

  • X ~ Exp(): f(x) = ·e-x, x 0

  • E[x] = 1/ x2 = 1/2


Rela o entre exponencial e erlang1





Etapa 1

Etapa 2

Relação entre Exponencial e Erlang

  • Servidor com duas etapas em série

  • Cada pacote deve passar por ambas etapas

  • Servidor atende um pacote de cada vez (ambas etapas não podem estar ativas simultaneamente)

  • não há retardo entre etapas

  • Xi: v.a. tempo de serviço da etapa i

  • Xi ~ Exp(2): f(xi ) = 2·e -2, x 0

  • E[Xi] = 1/(2 xi2 = 1/(22


Protocolo aloha

Relação entre Exponencial e Erlang

  • Problema: qual é a distribuição do tempo total de serviço (retardo total)?

  • Solução: soma de duas variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas com distribuição exponencial

    X: v.a. tempo de serviço total

    Seja £[f(x)] a transformada de Laplace de f(x) Então: £[f(x)] = £[f(x1)] · £[f(x2)]

    f(x) = xe-x, x 

    E[X] = E[X1] + E[X2] = 1/

    x2 = x12 +x22 = 1/(22)


Rela o entre exponencial e erlang2

k

k

k

k

Etapa 1

Etapa 2

Etapa i

Etapa k

Relação entre Exponencial e Erlang

  • Servidor de k etapas em série

  • Cada pacote deve passar pelas k etapas

  • Um novo pacote pode entrar na etapa i apenas quando o pacote em serviço acabar a etapa k

  • não há retardo entre etapas

  • Xi: v.a. tempo de serviço da etapa i

  • Xi ~ Exp(k): f(xi ) = k e -kx, x 0

  • E[xi] = 1/(kxi2 = 1/(k2


Protocolo aloha

Relação entre Exponencial e Erlang

  • Problema: qual é a distribuição do tempo total de serviço (retardo total)?

  • Solução: é a soma de k variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas.

    X: v.a. tempo de serviço total

E[X] = E[Xi] = k (1/(k)) = 1/

X2 = Xi2 = k (1/(k))2 = 1/(k2)

£[f(x)] = £[f(xi)]


Rela o entre exponencial e erlang3

Relação entre Exponencial e Erlang

  • x: atraso total (em unidades de tempo) de um pacote ao atravessar ketapas, cada uma das quais introduz um retardo y

  • Y~ Exp()

  • X ~ Erl(k,), /k

  • E[X] = k E[Y]

  • x2k·y2

  • x·y


Protocolo aloha

 = 1/2 , k = 4

2.00E+00

 = 2/3 , k = 3

 = 1 , k = 2

1.50E+00

 = 2 , k = 1

1.00E+00

f(x)

5.00E-01

29.00

1.86E-03

9.67E-06

30.00

1.29E-03

5.50E-06

8.42E-11

1.75E-26

31.00

8.92E-04

3.11E-06

3.31E-11

2.37E-27

0.00E+00

0.00

2.00

4.00

32.00

6.00

8.00

6.15E-04

10.00

12.00

1.76E-06

14.00

1.30E-11

16.00

18.00

3.21E-28

20.00

-5.00E-01

Relação entre Exponencial e Erlang

Função de densidade para  . k = 2 =  x ~ Erl (k , ) y ~ Exp ()


Fun o de densidade para 1

Função de densidade para = 1

1.4

1.2

k = 10

1

k = 1

0.8

k = 2

0.6

k = 

0.4

0.2

0

x

0

1

2

3

4

5

Fazendo:df(x)/dx = 0

obtém-se:


Exemplo2

Exemplo

  • Problema: obter o tempo médio E[T] que demora um nó para transmitir n pacotes de um buffer, se o tempo de transmissão de um pacote é Exp() com média 1/.

Buffer

Canal de transmissão


Exemplo3

Exemplo

  • Solução:

  • S ~ Exp(): v.a. tempo de serviço por elemento

  • T: v.a. tempo de serviço de n elementos

  • Como o tempo de serviço por elemento distribui-se exponencialmente, então o tempo de transmissão de n elementos tem distribuição de Erlang.

  • Logo:

  • T ~ Erl(n,n)

  • E[T] = n/


Exemplo4

1

0.9

0.8

0.7

0.6

n = 1024 pacotes

 = 100 pacotes/seg

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

T(segs)

0

0

5

10

15

20

E[T]=10.24 segs

Exemplo

n=1024 pacotes

=100 pacotes/seg


Vari veis aleat rias conjuntas e probabilidade condicional

Variáveis aleatórias conjuntas e probabilidade condicional


Vari veis aleat rias conjuntas

Variáveis aleatórias conjuntas

  • Cálculos de probabilidades envolvendo duas ou mais variáveis simultaneamente

  • Função de distribuição de probabilidade acumulada de X e Y:

    F(a,b) = P{X  a,Y  b} - < a,b < 

    FX(a) = P{X  a} = P{X  a,Y  } = F(a,)


Vari veis aleat rias conjuntas1

Variáveis aleatórias conjuntas

  • X e Y variáveis aleatórias discretas:

    Função de massa de probabilidade conjunta

    p(x,y) = P{X = x, Y = y}

    pX(x) =


Vari veis aleat rias conjuntas2

Variáveis aleatórias conjuntas

  • X e Y são variáveis aleatórias contínuas conjuntas se existe uma função real f (x,y) definida para qualquer reais x e y tal que para quaisquer conjuntos A,B  

    P{XA, YB} =

  • f(x,y) é a função de densidade de probabilidadeconjunta de X e Y


Vari veis aleat rias conjuntas3

Variáveis aleatórias conjuntas

  • P{XA, YB} =P{XA, Y(-,)} =

    =

    onde


Vari veis aleat rias independentes

Variáveis aleatórias independentes

  • X e Y são variáveis aleatórias independentes se para qualquer a e b tem-se:

    P{X  a,Y  b} = P{X  a}.P{Y  b}

    F(a,b) = FX(a).FY(b)

  • X discreta: p(x,y) = pX(x).pY(y)

    X contínua: f(x,y) = fX(x).fY(y)


Fun es geradoras de momentos

Funções geradoras de momentos

  • X variável aleatória discreta:

  • X variável aleatória contínua:


Fun es geradoras de momentos1

Funções geradoras de momentos


Probabilidade condicional

Probabilidade condicional

  • Cálculo de probabilidades quando há informações parciais


Probabilidade condicional1

Probabilidade condicional

  • P[E|F] =

  • Caso discreto: função de massa de probabilidade condicional

    pX|Y(x|y) = P{X=x|Y=y} = =

  • Se X é independente de Y, então:

    px|y(x|y) = px(x)


Probabilidade condicional2

Probabilidade condicional

  • Função de distribuição de probabilidade condicional de X dado que Y = y:

  • Valor esperado condicional de X dado que Y=y


Probabilidade condicional3

Probabilidade condicional

  • X e Y v.a.s independentes:


Protocolo aloha

Exemplo 1

  • Xe Y v.a.s independentes com distribuição de Poisson de parâmetros 1 e 2 respectivamente.

    Calcular:

    P{X=k |X + Y = n} = ?

    E[X |X + Y = n] = ?

    P{X = k | X + Y = n} =

    = =


Protocolo aloha

Exemplo 1

Como X+Y tem distribuição de Poisson de parâmetro 1+2

P{X = k | X + Y = n} =

=


Protocolo aloha

Exemplo 1

Interpretação:

P{X= k | X +Y = n} é uma v.a. Bi(n, ),

logo:

E[X | X +Y = n]= n


Protocolo aloha

Exemplo 2

  • Sejam n + m experimentos independentes, cada um sendo do tipo Be(p). Avaliar o número esperado de sucessos nos n primeiros experimentos, dado que nocorreram k sucessos no total.

    Sejam as seguintes v.a.’s:

    se houve sucesso no i-ésimo exp.

    caso contrário

    Y = número de sucessos nos (n+m) experimentos.


Protocolo aloha

Exemplo 2

Problema:

pois


Probabilidade condicional4

Probabilidade condicional

  • Caso contínuo: se X e Y têm uma função de densidade de probabilidade conjunta f(x,y), então a função de densidade de probabilidade condicional de X dado que Y = y é dada por

  • Valor esperado condicional de X dado que Y=y


Protocolo aloha

Exemplo

  • Sejam X e Y v.a.s tais que:

    Problema:


Probabilidade condicional5

Probabilidade condicional

  • Caso discreto:

    E[X] = E[X | Y = y] P{Y = y}

  • Caso contínuo:

    E[X] = E[X | Y = y] fY(y)dy

  • Em geral:

    E[X] = E[E[X|Y]]


Protocolo aloha

Probabilidade condicional

  • Prova do caso discreto


Protocolo aloha

Exemplo

  • Sejam N uma v.a. Ge(p) e Y a seguinte v.a.:

    , primeiro é cara (probabilidade p)

    , primeiro é coroa (probabilidade 1-p)

  • E[N]= número médio de experimentos realizados até obter-se a primeira cara = ?

    Solução condicionando no resultado do primeiro

    experimento:

    E[N]=E[N|Y=1].P{Y=1} + E[N|Y=0].P{Y=0}

    = p.E[N|Y=1].+ (1-p).E[N|Y=0]

    E[N] = p.1 + (1-p).(1+ E[N])

    E[N] = 1/p


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