Ptolemy and his famous theorem

1. Ptol-1 Ptolemy and his famous theorem

2. Ptol-2 Ptolemy Claudius, the great Greek mathematician lived and worked in the 2nd century B.C. An important theorem about inscribed quadrilaterals is connected with his name. This chapter deals with this theorem and its application. At first there are two introductory exercises. Their solution is not easy as some sophisticated ideas are needed to it. Then we will get acquainted with Ptolemy’s theorem and – as it will be seen – the theorem will be of great help in solving seemingly difficult problems. After this will generalize one of the exercises, and show how the theorem can be used – among others – to prove the theorems of addition. At last there will be some homework. Good luck to the solution!

3. Ptol-3 1.) Legyen P az A1A2A3 szabályos háromszög köré írt köre A1A3 ívének egy tetszőleges pontja. Igazoljuk, hogy

4. Ptol-4 Hosszabbítsuk meg az A3P oldalt P-n túl a szakasszal! Mivel A1A2A3P húrnégyszög, ezért tehát az A1PE háromszög szabályos Ekkor vagyis tehát valóban

5. Ptol-5 2.) Legyen P az ABCD négyzet köré írt köre AD ívének egy tetszőleges pontja. Igazoljuk, hogy

6. Ptol-6 Mielőtt ez utóbbi feladatot megoldanánk, ismerkedjünk meg Ptolemaiosz tételével Ptolemaiosz Claudiosz (Kr.u. II.sz.) Az ABCD húrnégyszög szemközti oldalai szorzatainak összege egyenlő az átlók szorzatával

7. Ptol-7 Bizonyítás Vegyünk fel az egyik (pl. AC) átlón egy olyan E pontot, melyre Ekkor

8. Ptol-8 Mivel Ezt az előbbi eredménnyel összeadva

9. Ptol-9 Térjünk rá a második feladatra Írjuk föl Ptolemaiosz tételét az ABCP húrnégyszögre

10. Ptol-10 Most írjuk föl Ptolemaiosz téte-lét a BCDP húrnégyszögre A két eredményt összeadva

11. Ptol-11 Most nézzük meg, hogy az 1. feladat mennyivel egyszerűbbé válik Ptolemaiosz tételének ismeretében Íjuk fel a tételt az A1A2A3P húrnégyszögre:

12. Ptol-12 Most próbáljuk meg általánosítani a 2. feladatot – természetesen Ptolemaiosz tételének felhasználásával

13. Ptol-13 Legyen P az A1A2A3A4A5 szabályos ötszög A1A5 ívének egy tetszőleges pontja. Igazoljuk, hogy ekkor

14. Ptol-14 Írjuk fel a tételt először az A1A2A3P húrnégyszögre Most írjuk fel a tételt az A3A4A5P négyszögre Következzen az A2A3A4P négy-szög Végül írjuk fel a tételt az A2A3A4A5 húrnégyszögre

15. Ptol-15 Az első két egyenletből: Az 3. egyenletből: Ezt és a 4. egyenletet felhasználva kapjuk:

16. Ptol-16 Most nézzük meg, hogyan használható Ptolemaiosz tétele az addíciós tételek igazolásához

17. Ptol-17 Most írjuk föl az ABCD húrnégyszögre Ptolemaiosz tételét

18. Ptol-18 Végezetül jöjjön egy Házi feladat Egy kör áthalad az ABCD paralelogramma A csúcsán, az AB oldalt P-ben, az AD oldalt Q-ban, az AC átlót R-ben metszi. Igazoljuk, hogy

19. Ptol-19 A házi feladat megoldása Ptolemaiosz tétele szerint: Az ABC és PQR háromszögek hasonlók:

20. Ptol-20 Írjuk be a kapott eredményeket Ptolemaiosz tételébe: RP-vel egyszerűsítve, BC-vel szorozva és felhasználva, hogy