POGLAVJE 4

1. POGLAVJE 4 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

2. KONCEPT NAPETOSTI • V prejšnjem poglavju smo obravnavali popolnoma kinematični opis gibanja. • Brez opisa sil, ki povzročijo gibanje. • V mehaniki kontinuuma opišemo sile, ki delujejo na telo kot • Volumske sile: npr. gravitacijska sila, elektrostatična sila. • Površinske sile: delujejo na namišljene ali dejanske površine telesa. • Površinske sile opišemo s konceptom napetostnega vektorja. • Ta koncept ne vključuje informacije o ukrivljenosti površine. • To predpostavko imenujemo Cauchyjev napetostni princip. • Predstavlja enega izmed osnovnih aksiomov klasične mehanike kontinuuma. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

3. VEKTOR NAPETOSTI Predpostavimo ploskev skozi telo, ki gre skozi točko in ima enotsko normalo . Ploskev razdeli telo na dva dela. En del leži v smeri . Kaže v del telesa II. En del leži v smeri . Kaže v del telesa I. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS STRESS AND INTEGRAL FORMULATIONS OF GENERAL PRINCIPLES

4. Predpostavimo, da imamo silo , ki deluje na majhno ravnino , ki vsebuje točko . Definirajmo napetostni vektor, ki deluje v smeri iz II v smer I v točki na ravnino kot naslednjo limito V primeru, da dela telesa I in II predstavljata prosta telesa, imamo zaradi Newtonovega zakona akcije in reakcije MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

5. Definirajmo Cauchijev napetostni vektor, ki deluje v smeri iz II v smer I v točki na ploskev kot naslednjo limito: V primeru, da sta telesi I in II prosti telesi, imamo zaradi Newtonovega zakona akcije in reakcije Kjer skalar označuje čas. V nadaljevanju pokažemo, da zaradi Newtonovega drugega zakona velja naslednja odvisnost Cauchijevega napetostnega vektorja v odvisnosti od , kjer je linerna transformacija. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

6. NAPETOSTNI TENZOR Definirajmo transformacijo tako, da velja Pokažimo, da je ta trasformacija linearna. V ta namen iz telesa izoliramo telo s štimimi stranicami (tetrahedron). Postavimo točko v eno izmed ogljišč. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

7. Napišimo Newtonov drugi zakon za tetrahedron. Velja Se pravi, da gre desna stran proti nič z . Na levi strani pa so površine, ki gredo proti nič sorazmerno z . Enotski vektor na poševni strani naj ima koordinate Obravnavane štiri površine imajo zato med seboj naslednjo odvisnost MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

8. Zato v limiti velja (če zanemarimo volumen) Zaradi zakona o akciji in reakciji sil velja Tako lahko napišemo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

9. Zato je transformacija, definirana kot linearna transformacija. Imenujemo jo napetostni tenzor ali Cauchijev napetostni tenzor. Napetostni vektorji na treh koordinatnih ploskvah so definirani kot Zaradi definicije komponent tenzorja imamo ali MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

10. Pozitivne normalne komponente imenujemo tudi stisne napetosti. Negativne normalne komponente imenujemo tudi natezne napetosti. Tangencialne komponente napetosti imenujemo tudi strižne napetosti. Skupna strižna napetost na ravnino je Velikost te strižne napetosti je MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

11. Podobno velja Oblika za računanje napetostnega vektorja v matrični obliki V primeru, ko je napetostni tenzor znan, lahko izračunamo napetosti v katerikoli smeri MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

12. SIMETRIJA NAPETOSTNEGA TENZORJA: NAČELO OHRANITVE VRTILNE KOLIČINE Iz telesa izrežimo prizmo. Iz principa vrtilne količine pokažemo, da je napetostni tenzor simetričen. Izračunajmo navor vseh sil, ki deluje na prizmo skozi os, ki poteka skozi točko in je vzporedna s koordinato . MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

13. Skupni navor okoli osi , ki gre skozi točko je Zanemarimo vse majhne člene, pa dobimo: Če je prizma v statičnem ravnovesju ali ne, velja To velja zato, ker je člen kotnega pospeška sorazmeren z vztrajnostnim momentom MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

14. Vztrajnostni moment je oblike Ta člen je vedno majhen v primerjavi s členi oblike Se pravi Oziroma Na povsem ekvivalenten način izpeljemo Te enačbe definirajo simetrijo napetostnega tenzorja. Pri tem smo privzeli, da v prizmi ni notranjih navorov. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

15. POGLAVITNE NAPETOSTI Za vsak realen simetričen tenzor obstajajo vsaj tri medsebojno pravokotne poglavitne smeri. Lastni vektorji . Ravnine, na katere so ti vektorji pravokotni imenujemo poglavitne ravnine. Poglavitne napetosti izračunamo preko karakteristične enačbe. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

16. MAKSIMALNE STRIŽNE NAPETOSTI Imejmo naslednje poglavitne smeri in poglavitne napetosti napetostnega tenzorja . Velja ali MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

17. Normalna napetost na ravnino je podana kot Če s označimo velikost celotne strižne napetosti na ravnino, velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

18. Ali v obliki komponent Sedaj bi radi poiskali ravnine, na katerih so največje strižne napetosti, ki jih določajo koordinate smernega vektorja . Veljata enakosti Če najdemo maksimum smo poiskali tudi maksimum . V primerih Velja . To je tudi minimalna vrednost za funkcijo . MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

19. Minimalno vrednost v splošnem poiščemo iz Rešitev je Velja tudi Velja tudi Zgornje tri enačbe plus enačba MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

20. So dovolj za izračun Parameter je Lagrangeov multiplikator. Metodo za iskanje optimalnih vrednosti pa imenujemo metodo Lagrangeovih multiplikatorjev. Obstaja množica rešitev zgornjega sistema nelinearnih enačb. Samo ena rešitev daje minimalen in samo ena rešitev maksimalen . MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

21. Naslednji ravnini sta enaki Naslednji ravnini sta pravokotni ena na drugo Matematično obstaja 18 množic rešitev. Od teh je samo 9 neodvisnih. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

22. Največje strižne napetosti MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

23. Maksimalna strižna napetost predstavlja maksimum naslednjih treh vrednosti Ali z drugimi besedami Na ravnini z največjo strižno napetostjo je normalna napetost V primeru, ko je nimamo na nobeno ravnino strižnih napetosti. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

24. ENAČBE GIBANJA: NAČELO OHRANITVE GIBALNE KOLIČINE V tem poglavju napišimo enačbe gibanja kateregakoli delca kontinuuma v gibanju. Osnovni postulat teh enačb je, da mora vsak delec kontinuuma upoštevati Newtonov zakon gibanja. Imejmo delec kontinuuma v točki na katerega delujejo sile MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

25. Volumska sila je enaka Pospešek je enak Newtonov zakon gibanja dobi obliko MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

26. Ker velja lahko zapišemo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

27. Osnovno enačbo lahko zato preuredimo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

28. Okrajšamo, pa dobimo Naj gredo dimenzije volumna, na katerem obravnavamo gibanje, proti nič. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

29. Velja Ali v brezkoordinatni obliki To je Cauchijeva enačba gibanja V Kartezijevih koordinatah V primeru, ko ni gibanja, velja statična ravnovesna enačba MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

30. ROBNI POGOJI ZA NAPETOSTNI TENZOR Če imamo na robu območja porazdeljene sile jih imenujemo površinske napetosti. Robne pogoje pa napetostni robni pogoji. Skušajmo najti zvezo med površinskimi napetostmi in napetostnim tenzorjem v notranjosti. je napetostni tenzor na robu je vektor sile na enoto površine na robu je normala na površino predstavlja primer, ko ni sil na robu MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

31. PIOLA KIRCHHOFFOV NAPETOSTNI TENZOR Cauchijev napetostni tenzor je definiran na enoto površine trenutne konfiguracije. Napetostne tenzorje, ki so definirani glede na nedeformirano površino imenujemo Piola-Kirchhoffove napetostne tenzorje. Imejmo začetni in končni čas in začetno ter končno površino Diferenciala začetne in končne površine sta V končni konfiguraciji velja predstavlja silo, ki deluje na MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

32. Prvi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor Definirajmo S tem definiramo psevdo napetostni vektor Prvi Piola-Kirchhoffov ali Lagrangeov napetostni tenzor definiramo kot linearno transformacijo Relacije s Cauchijevim napetostnim tenzorjem pa so MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

33. Sledi Željeni relaciji povezav med napetostnimi tenzorji sta MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

34. V Kartezijevih koordinatah imamo Če uporabimo Kartezijeve koordinate za referenčno in trenutno konfiguracijo velja V splošnem prvi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor ni simetričen. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

35. Drugi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor Imejmo Kjer je predstavlja psevdo diferencialno silo, ki se transformira pod vplivom deformacijskega gradienta v dejansko diferencialno silo na deformiranem mestu. Drugi Piola-Kirchhoffov deformacijski tenzor je linearna transformacija je enotska normala na nedeformirano površino. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

36. Nadalje lahko zapišemo To velja za vsak Zato To je relacija med prvim Piola-Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem in drugim Piola-Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

37. Relacija med Cauchijevim napetostnim tenzorjem in drugim Piola-Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem pa je Kjer je Drugi Piola-Kirchhoffov napetostni tenzor je simetričen v primeru, ko je simetričen tudi Cauchyjev napetostni tenzor. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

38. ENAČBA GIBANJA, NAPISANA GLEDE NA REFERENČNO KONFIGURACIJO Enačbe gibanja, zapisane s Cauchyjevim napetostnim tenzorjem so Pokažemo, da imajo enačbe gibanja, zapisane s prvim Piola-Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem, enako obliko kot enačbe gibanja, zapisane s Cauchyjevim napetostnim tenzorjem V tem primeru so snovne koordinate, pa začetna gostota. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

39. Zapisano izpeljemo na naslednji način Pri tem smo uporabil izraz (iz ene izmed nalog) Zato MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

40. Zato velja Uporabimo enačbo gibanja v Cauchyjevi obliki in zato sledi Velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

41. MOČ ZARADI NAPETOSTI Delo na enoto časa, ki ga opravljata napetostna vektorja Kjer smo uporabili naslednje izraze MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

42. Delo na enoto časa, ki ga opravljajo volumske sile je Celotno delo na enoto časa je MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

43. Upoštevajmo princip ohranitve mase Sledi Kjer je kinetična energija. Zapišemo lahko MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

44. Zato, ker velja Izraženo z simetričnim napetostnim tenzorjem in tenzorjem hitrosti deformacije izrazimo moč zaradi napetosti kot Moč zaradi napetosti predstavlja delo na enoto časa zaradi spremembe volumna in oblike delca enotskega volumna. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

45. MOČ ZARADI NAPETOSTI IZRAŽENA S PIOLA-KIRCHHOFFOVIM NAPETOSTNIM TENZORJEM V prejšnjem podpoglavju smo obravnavali moč zaradi napetosti, izraženo s Cauchijevim napetostnim tenzorjem in tenzorjem hitrosti deformacije . V tem podpoglavju izrazimo moč s prvim Piola Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem in deformacijskim gradientom ter z drugim Piola Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem in Lagrangeovim deformacijskim tenzorjem . Pare tenzorjev imenujemo konjugirane pare tenzorjev. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

46. Iz izvajanj v tretjem poglavju imamo Ker velja dobimo Ta enačba naj bi veljala za vsak . Zato ali MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

47. Sledi Velja tudi Zato sledi MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

48. Upoštevajmo enakosti Dobimo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

49. Cauchijev napetostni tenzor izrazimo z drugim Piola-Kirchhoffovim napetostnim tenzorjem Zaradi tega Pokažimo še Že prej smo izpeljali MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT

50. Zaradi tega Prav tako smo že izpeljali Iz primerjave zgornjih dveh enačb vidimo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS KONCEPT NAPETOSTI / STRESS CONCEPT