Membrana kołowa

1. Membrana kołowa Tomasz Kołodziej MMVII – IV - XX

2. I. Rozwiązania równania Definicje i założenia: Membraną nazywamy płaską błonę nie stawiającą oporu zginaniu i zsuwaniu. Rozważamy membranę naciągniętą na płaski kontur C (w naszym przypadku – okrąg). Będziemy badać drgania poprzeczne membrany, w których przesunięcie jest prostopadłe do płaszczyzny membrany.

3. Założenia co do membrany: • Środek membrany w punkcie (0,0). • Promień membrany – R0. • Stałe napięcie membrany (niezależne od czasu i położenia). • Jednorodna gęstość membrany. • Brak oporów ruchu. • Małe drgania.

4. Równanie membrany: □f = 0 Gdzie: □ = ∆ - - dalambercjan f – funkcja charakteryzująca wychylenie membrany w stosunku do położenia równowagi Problem rozpatrujemy we współrzędnych biegunowych, czyli f = f(r,φ,t) a – jest prędkością membrany

5. Po wstawieniu postaci laplasjanu we współrzędnych biegunowych równanie membrany przybiera postać: □f = Teraz zajmiemy się rozwiązaniem tego równania.

6. Separacja zmiennych Postulujemy rozwiązanie postaci: f(r,φ,t) = R(r)Φ(φ)T(t) (Różniczkujemy funkcję f względem trzech zmiennych)

7. … i wstawiamy do równania: Po wyciągnięciu „stałych” przed znaki pochodnych dzielimy obustronnie przez funkcję f:

8. Po wykonaniu różniczkowania i uproszczeniu wzoru funkcja przyjmuje postać: Żeby równanie było spełnione, obie strony równania muszą równać się stałej, i to tej samej stałej: Co daje: oraz

9. Z pierwszym równaniem postępujemy jeszcze raz podobnie, mnożąc je wcześniej przez r: Co ostatecznie prowadzi nas do trzech niezależnych równań:

10. 1. Część czasowa: 2. Część transwersalna: 3. Część radialna: * aλ = ω

11. Pierwsze dwa równania to oczywiście równania typu oscylatora harmonicznego. Współczynniki przy drugich wyrazach muszą być dodatnie, żeby nie dostać tylko rozwiązań „trywialnych”. Część radialna jest równaniem typu Bessela. Jeżeli zamienimy w nim zmienne tak, że: oraz To jego rozwiązanie jest postaci:

12. Nasze rozwiązania są w takim razie postaci: Aby nadal rozwiązywać nasz problem musimy wziąć pod uwagę warunki brzegowe: 1.drgania ograniczone: f(r,φ,t)<∞ 2.periodycznść: f(r,φ,t) = f(r,φ+2π,t) 3.brzeg membrany: f(R0,φ,t)=0

13. Z warunku peridyczności funkcji Φ można łatwo otrzymać, że μ=m , m = 0,1,2… Warunek ograniczoności usuwa z rozwiązania radialnego funkcje Neumanna (funkcje Bessela IIego rodzaju), tzn. że F=0. Z brzegu membrany: R(R0)=0 => Jm(λR0)=0 λR0 – zero f-cji Bessela λR0 = αnm n – wskaźnik zera funkcji, m – rząd funkcji Bessela.

14. W takim razie dostajemy zespół nowych współczynników: Po wstawieniu tych współczynników do rozwiązań:

16. W takim razie nasza funkcja f=RΦT przyjmie postać:

17. Po pomnożeniu i wprowadzeniu nowych stałych rozwiązanie ogólne przechodzi ostatecznie w:

18. Problem drgań własnych Zajmiemy się tutaj położeniem węzłów dla „zadanego drgania” membrany. Węzły na membranie kołowej są w postaci linii; są one dwojakiego rodzaju: radialne na promieniach okręgu, oraz koncentryczne okręgi na membranie. Jeżeli mamy zatem zadaną funkcję fnm, to: (wracamy do zapisu w postaci funkcji zmiennych rozseparowanych)

19. Tylko pierwsza część funkcji jest funkcją promienia membrany r. Zerowanie się tej funkcji da nam węzły tranwersalne. Tzn. Rozwiązanie drgań powinno być w postaci:

20. W związku z czym promień k-tego okręgu będącego węzłem jest: • k=0,1,2 …n • Teraz zajmijmy się węzłami radialnymi. Odpowiedzialne jest za nie znikanie na płaszczyźnie (r, φ) funkcji Φ.

22. Czyli • A to z kolei oznacza, że węzły radialne powstają dla kątów:

23. Z warunku periodyczności: *(Proste animacje w gnuplocie)

24. * * * Bibliografia: • A.N.Tichonov „Równania fizyki matematycznej” • Tadeusz Trajdos „Matemetyka dla inżynierów”

25. Fin