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初中数学八年级下册 （苏科版）

初中数学八年级下册 （苏科版）. 11.4 互逆命题（ 1 ）. 知识回顾. 1. 什么是命题 ?. 一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做 命题 。. 2. 命题由哪两部分组成 ?. 命题可看做由 题设 ( 或条件 ) 和 结论 两部分组成。. 命题有真有假。 正确的命题是真命题，错误的命题是假命题. 同位角相等. 同位角相等. 两直线平行. 两直线平行. 观察与思考. 问题： 1. 这两个命题有什么联系与区别？ 2. 我们还学过类似的一些命题吗？. 归 纳.

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  1. 初中数学八年级下册 （苏科版） 11.4 互逆命题（1）

  2. 知识回顾 1. 什么是命题? 一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 2. 命题由哪两部分组成? 命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成。 命题有真有假。 正确的命题是真命题，错误的命题是假命题

  3. 同位角相等 同位角相等 两直线平行 两直线平行 观察与思考 问题：1. 这两个命题有什么联系与区别？ 2. 我们还学过类似的一些命题吗？

  4. 归 纳 两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。

  5. 练 一 练 说出下列命题的逆命题，并与同学交流： (1)对顶角相等； (2)如果a2=b2，那么a=b； (3)直角三角形的两个锐角互余； (4)轴对称图形是等腰三角形； (5)正方形的4个角都是直角. 相等的角是对顶角。 如果a=b，那么a2=b2 有两个角互余的三角形是直角三角形。 等腰三角形是轴对称图形。 如果一个四边形的4个角都是直角，那么这个四边形是正方形。 问题： 1、你能判断上述互逆命题的真假吗？ 2、说说你对一对互逆命题的真假性的看法，如果原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？

  6. 矩形是轴对称图形，但不是等腰三角形。 当a=2，b=－2时，a2=b2，但a≠b 讨 论 命题“轴对称图形是等腰三角形”、“如果a2=b2，那么a=b”正确吗？ 像小明、小丽这样，举出一个例子来说明一个命题是假命题，这样的例子称为反例。 数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了。

  7. 著名的反例 公元１６４０年，法国著名数学家费尔马发现： 　　　２２０＋１＝３， 　　　２２１＋１＝５， 　　 ２２２＋１＝１７， 　　 ２２３＋１＝２５７， 　　　 ２２４＋１＝６５５３７． 而3、5、17、257、65 537都是质数，于是费尔马猜想： 对于一切自然数n，２２n＋１都是质数。

  8. 著名的反例 可是，到了1732年，数学家欧拉发现： ２２5＋１= ２32＋１=4 294 967 297 = 641×6 700 417 这说明２２5＋１是一个合数， 从而否定了费尔马的猜想.

  9. 例 题 精 讲 例1.判断下列数学命题的真假,并给出证明. (1) 若2x+y=0,则x=y=0； 解: 是假命题.理由如下： 取x=-1,y=2,则2x+y=2×(-1)+2=0, 但x≠0,且y ≠0. 即 x= -1，y=2具备命题的条件,但不具备命题的结论,所以这个命题是假命题.

  10. C′ A 450 2.5cm 750 750 450 B C 2.5cm A′ B′ 例 题 精 讲 (2) 有一条边、两个角相等的两个三角形全等. 解: 是假命题.理由如下： 如图,在ΔABC和ΔA′B′C′中, ∠A=∠B′, ∠B=∠C′,AB=A′B′,但很明显,ΔABC和ΔA′B′C′不全等,所以这个命题是假命题.

  11. 练 一 练 1. 用反例说明下列命题是假命题： (1) 如果 a2=b2，那么a=b ； (2) 任何数的平方大于0； (3) 两个锐角的和是钝角； (4)一个角的补角一定大于这个角； (5)如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点。

  12. 例题与练习 例1：写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题. (1)若ac2＞bc2，则a＞b； (2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等； (3)若ab=0，则a=0.小结：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件与结论交换一下则行.判断一个命题的真假，说它真，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例，千万不能想当然.

  13. 2. 举反例说明下列命题是假命题. • (1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0； • (2)面积相等的三角形是全等三角形. • (3)4条边相等的四边形是正方形. • (4)相等的角是对顶角. • (5)两直线被第三条直线所截,同位角相等. • (6)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.

  14. （3）如果 ，，那么 　如果 ，那么 练 一 练 2. 说出下列命题的逆命题，并判定原命题和逆命题的真假： （1）既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。 假命题 真命题 圆既是中心对称，又是轴对称的图形。 （2）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 真命题 平行四边形有一组对边平行且相等。 真命题 假命题 真命题

  15. 原命题成立，它的逆命题一定成立吗？ 练 一 练 （4）等边三角形是锐角三角形。 真命题 不一定成立． 假命题 锐角三角形是等边三角形。 （5）平行四边形的对角线互相平分。 真命题 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 真命题

  16. 判断下列说法是否正确： 练 一 练 （1）如果原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题。 （ ） （2）如果原命题是假命题，那么它的逆命题也是假命题。 （ ） （3）每个命题都有逆命题。 （ ） （4）“面积相等的两个三角形是全等三角形”与“面积不相等的两个三角形不是全等三角形”是一对互逆命题 。 （ ） × × √ ×

  17. 才 智 T 台 写出下列命题的逆命题，这些逆命题是真命题吗?如果不是,举出一个反例。 （1）对顶角相等; （２）如果a2=b2，那么a=b． （３）直角三角形的两个锐角互余． （４）轴对称图形是等腰三角形． （５）正方形的四个角都是直角．

  18. 才 智 T 台 (6)如果ab=0 ,那么a=0; (7)面积相等的三角形是全等三角形; (8)不是对顶角的两个角不相等; (9)内错角相等; (10)如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数； (11)如果两个角有一条公共边，并且这两个角的和是180°，那么这两个角互为邻补角。

  19. 初中数学八年级下册 （苏科版） 11.4 互逆命题（2）

  20. 情境一 如图1, AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D. 问题1：你由这些条件得到什么结论？ 如何证明这些结论？

  21. 交流一 在下列括号内填写推理的依据. 因为AB∥CD(已知) 所以∠EGA=∠D( ) 又因为∠B=∠D(已知) 所以∠EGA=∠B( ) 所以DE∥BF( )

  22. 交流二 上面的推理过程用符号“ ”怎样表达? 问题2：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？ 问题3：在图中，如果DE∥BF,∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你的结论. 问题4：在图中，如果AB∥CD，DE∥BF，那么你得到什么结论？证明你的结论.

  23. 例题精讲 证明：如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行.

  24. 分 析 已知：如图直线a、b、c，b∥a，c∥a， 求证：b∥c. 证明：作直线a、b、c的截线d 因为b∥a(已知) 所以 ∠2=∠1( ) 因为c∥a (已知) 所以∠3=∠1( ) 所以∠2=∠3(等量代换) 所以b∥c( )

  25. 交 流 三 1.用符号“ ”简明表述上述的推理过程. b∥a ∠2=∠1 ∠2=∠3 b∥c c∥a ∠3=∠1 2.你还有其他的方法 证明b∥c吗？

  26. 例题精讲 例2 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数. 分析： 图中有三个等腰三角形， 可用等边对等角的性质， 再用方程的思想解题， 列方程的依据是 三角形内角和定理.

  27. 解：∵AB=AC(已知) ∴∠B=∠C(等边对等角) 同理，∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA. 设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，∴∠ADC=2x°, ∠CAD=2x°. 在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°. ∴x°+2 x°+ 2x°=180 °. ∴x°=36 °. 答：∠B的度数为36°. 例 题 精 讲

  28. 拓 展 练 习 1.给下面的证明过程证明理由 已知AB=DC，∠BAD=∠CDA 求证：∠ABC=∠DCB 证明：连结AC、BD交点为O 在△ADB与△DAC中 因为∠BAD=∠ADC( ) AD=DA( ) AB=DC( ) 所以△ADB≌△DAC( ) 所以BD=CA 又在△ABC与△DCB中 因为BD=CA( ) AB=DC( ) BC=BC( ) 所以△ABC≌△DCB( ) 所以∠ABC=∠DCB

  29. 拓 展 练 习 2. 证明：等角的余角相等.

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