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全等三角形的性质 :

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全等三角形的性质 : - PowerPoint PPT Presentation


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知识回顾. 能完全重合的图形叫全等图形. 全等图形 :. 能完全重合的三角形是全等三角形. 全等三角形 :. 全等三角形的对应边、对应角相等 . 全等三角形的周长相等、面积相等 . ( 3 )全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。. 全等三角形的性质 :. 全等三角形的判定. 一般三角形全等的判定:. SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS. 直角三角形全等的判定:. SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS 、 HL. 角的平分线的性质:. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。. 角的平分线的判定:.

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Presentation Transcript
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知识回顾

能完全重合的图形叫全等图形

全等图形:

能完全重合的三角形是全等三角形.

全等三角形:

全等三角形的对应边、对应角相等.

全等三角形的周长相等、面积相等.

(3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

全等三角形的性质:

全等三角形的判定

一般三角形全等的判定:

SAS、ASA、AAS、SSS

直角三角形全等的判定:

SAS、ASA、AAS、SSS、HL

角的平分线的性质:

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

角的平分线的判定:

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

slide2

回顾知识点:

边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)

边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等(可简写成“SAS”)

角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“ASA”)

角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“AAS”)

斜边.直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“HL”)

slide3

A

B

C

AB=DE

BC=EF

CA=FD

D

E

F

3、全等三角形的判定方法

三角形全等判定方法1

三边对应相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或“SSS”)。

用符号语言表达为:

在△ABC和△ DEF中

∴ △ABC ≌△ DEF(SSS)

slide4

AC=DF

∠C=∠F

BC=EF

三角形全等判定方法2

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)

用符号语言表达为:

D

A

在△ABC与△DEF中

F

C

E

B

∴△ABC≌△DEF(SAS)

slide5

∠A=∠D

AB=DE

∠B=∠E

三角形全等判定方法3

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。

用符号语言表达为:

D

A

在△ABC和△DEF中

F

C

E

B

∴ △ABC≌△DEF(ASA)

slide6

∠A=∠D

∠B=∠E

BC=EF

三角形全等判定方法4

有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)。

在△ABC和△DEF中

∴ △ABC≌△DEF(AAS)

slide7

AB=DE (已知 )

AC=DF(已知 )

三角形全等判定方法5

有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

A

D

在Rt△ABC和Rt△DEF中

B

C

E

F

∴ △ABC≌△DEF(HL)

slide8

方法指引

证明两个三角形全等的基本思路:

找第三边

(SSS)

找夹角

(SAS)

(1):已知两边----

找是否有直角

(HL)

找这边的另一个邻角(ASA)

找这个角的另一个边(SAS)

已知一边和它的邻角

找这边的对角 (AAS)

(2):已知一边一角---

找一角(AAS)

已知一边和它的对角

已知角是直角,找一边(HL)

找两角的夹边(ASA)

(3):已知两角---

找夹边外的任意边(AAS)

注意:1、“分别对应相等”是关键;

   2、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。

2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。

3、三角形全等是证明线段相等,角相等的重要途径。

slide9

归纳:

全等三角形的进一步应用

   全等三角形,是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一,证明时

①要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三角形中。

②分析要证两个三角形全等,已有什么条件,还缺什么条件。

  ③有公共边的,公共边一般是对应边, 有公共角的,公共角一般是对应角,有对顶角,对顶角一般是对应角

注意:有些题可能要证明多次全等或者进行一些必要的

等价转化

slide10

总结提高

学习全等三角形应注意以下几个问题:

(1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与 “对角”的不同含义;

(2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上;

(3):要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等;

(4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”

slide11

二.角的平分线:

1.角平分线的性质:

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

用法:∵QD⊥OA,QE⊥OB,

点Q在∠AOB的平分线上

∴ QD=QE

2.角平分线的判定:

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用法:∵QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.

∴点Q在∠AOB的平分线上.

slide12

全等三角形识别思路

A

D

C

B

如图,已知△ABC和△DCB中,AB=DC,请补充一个条件____________,使△ABC≌ △DCB。

思路1:

找夹角

∠ ABC=∠DCB (SAS)

已知两边:

AB=DC,BC=CB

找第三边

AC=DB (SSS)

找直角

∠ A=∠D=90°(HL)

slide13

如图,已知∠C= ∠D,添加一个条件________________,

可得△ABC≌ △ABD,

C

B

A

D

思路2:

∠CAB=∠DAB

∠CBA=∠DBA

已知一边一角(边角相对)

∠C= ∠D,AB=AB

(AAS)

再找一角

slide14

如图,已知∠1= ∠2,添加一个条件___________________,可得△ABC≌ △CDA,

D

C

2

1

A

B

思路3:

已知一边一角(边与角相邻):

∠1= ∠2,AC=CA

找夹此角的另一边

AD=CB

(SAS)

找夹此边的另一角

∠ACD=∠CAB

(ASA)

找此边的对角

∠D=∠B

(AAS)

slide15

A

D

C

B

E

如图,已知∠B= ∠E,要识别△ABC≌ △AED,需要添加的一个条件是_______________

思路4:

已知两角:

∠B= ∠E,

∠A= ∠A

找夹边

AB=AE

(ASA)

AC=AD

找一角的对边

(AAS)

或 DE=BC

slide17

三个角对应相等的两个三角形全等吗?

三个角对应相等的两个三角形不一定全等

slide18

两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?

slide19

=

\

=

\

两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?

两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等

slide20

A

B

A

D

D

D

3.如图(3),若OB=OD,∠A=∠C,若AB=3cm,则CD= . 说说理由.

A

O

O

1.如图(1),AB=CD,AC=BD,则△ABC≌△DCB吗?说说理由

E

B

C

C

B

C

图(2)

图(3)

图(1)

2.如图(2),点D在AB上,点E在AC上,

CD与BE相交于点O,且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm,则∠C= ,

BE= .说说理由.

公共边,公共角,对顶角

练一练

一、挖掘“隐含条件”判全等

20°

5cm

3cm

slide21

A

D

B

6.如图(6)是某同学自己做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用度量,就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。

5.如图(5)∠CAE=∠BAD,∠B=∠D,AC=AE,△ABC与△ADE全等吗?

为什么?

D

E

E

F

4.如图,AE=CF,∠AFD=∠CEB,DF=BE,△AFD与△ CEB全等吗?为什么?

B

C

C

A

试一试

二、转化“间接条件”判全等

slide22

4.如图(4)AE=CF,∠AFD=∠CEB,DF=BE,△AFD与△ CEB全等吗?为什么?

A

D

解:∵AE=CF

∴AE-FE=CF-EF

即AF=CE

F

E

又∵ ∠AFD=∠CEB,

DF=BE

C

B

根据“SAS”,可以得到

△AFD≌△CEB

slide23

5.如图(5)∠CAE=∠BAD,∠B=∠D,AC=AE,△ABC与△ADE全等吗?为什么?5.如图(5)∠CAE=∠BAD,∠B=∠D,AC=AE,△ABC与△ADE全等吗?为什么?

B

D

E

C

A

解: ∵ ∠CAE=∠BAD

∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE

即∠BAC=∠DAE

又∵∠B=∠D

AC=AE

根据“AAS”,就可以得到

∴ △ABC≌ △ADE

slide24

6.如图(6)是某同学自己做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用度量,就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。6.如图(6)是某同学自己做的风筝,他根据AB=AD,BC=DC,不用度量,就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。

解:连接AC

∵ AB=AD,BC=DC

又∵AC=AC

根据“SSS”就可以得到

∴△ADC≌△ABC

在根据全等三角形的

对应角相等,得到:

∴ ∠ABC=∠ADC

slide25

A

B

C

如图: △ABC中, ∠B=2 ∠A,AB=2BC,

试说明:AC ⊥BC

slide26

三、活动探究:

例1、把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图,问图中共有几对全等三角形?请分别指出。

F

A

O

P

Q

B

E

C

D

△ABC≌ △FED

△BPD≌ △EQC

△FPO≌ △AQO

slide27

例2,把以上两块三角板先拼成如图,再连接AO,则图中共有几对全等三角形?请任选一对加以证明。

A

D

C

O

B

E

△ABC≌ △AED

△BOD≌ △EOC

△ADO≌ △ACO

△AOB≌ △AOE

slide28

例3,把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图,再过点C作CP⊥AB于P,过点D作DQ ⊥AB于Q,请问CP和DQ相等吗?为什么?

若AC=2,求P、Q两点间的距离。

C

D

O

B

A

Q

P

∵在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AC=2

∴AB=4

又 在Rt△ACP中,∠ACP=30°,AC=2

∴AP=1,

同理 BQ=1

∴PQ=4-1-1=2

解:∵△ACB≌△BDA

∴AC=BD,∠CAP= ∠DBQ

∵∠CPA=∠DQB=90 °

∴△CAP≌△DBQ

∴CP=DQ

slide29

探究:

把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图,再过点C作CP⊥AB于P,过点D作DQ ⊥AB于Q,你能求出C、D之间的距离吗?

C

D

C

D

O

O

A

B

A

B

图1

图2

slide30

中考链接:

(06年嘉兴市)如图,矩形纸片ABCD,AB=2,∠ADB=30°,沿对角线BD折叠(使△ABD和△ EDB落在同一个平面内),则A,E两点的距离是---------。

E(C)

A

D

C

B

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