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§5 . 多项式环的因子分解 5.1 基本结论 5.2 引理 5.3 结论的证明 PowerPoint PPT Presentation


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§5 . 多项式环的因子分解 5.1 基本结论 5.2 引理 5.3 结论的证明. 我们将要得到的结果是:一个唯一分解环 上的多元多 项式环 本身也是唯一分解环。. 5.1 基本结论. 定义 的一个元 叫做一个 本原多项式 ,假如 的系数的最大公因子是单位。. 引理 1 假定 。那么 是本原多项式,当 而且只当 和 都是本原多项式的时候。. 5.2 引理.

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§5 . 多项式环的因子分解 5.1 基本结论 5.2 引理 5.3 结论的证明

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Presentation Transcript


5 5 1 5 2 5 3

§5 .多项式环的因子分解

5.1 基本结论

5.2 引理

5.3 结论的证明


5 5 1 5 2 5 3

我们将要得到的结果是:一个唯一分解环 上的多元多

项式环 本身也是唯一分解环。

5.1 基本结论


5 5 1 5 2 5 3

定义 的一个元 叫做一个本原多项式,假如 的系数的最大公因子是单位。

引理 1 假定 。那么 是本原多项式,当

而且只当 和 都是本原多项式的时候。

5.2引理

把一个素多项式叫做不可约多项式,把一个有真因子的多项式叫做可约多项式。


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证明 若是 是本原多项式,显然 和 也都是本原多项

式。

现在假定 是两个本原多项式。

如果 不是本原多项式,那么

有一个最大公因子d,d不是 的单位。由于(B),

,因而 。这样,由于 是唯一分解环,有一个 的素元 可以整除d,因而可以整除每一个 。这个 不能整除所有的 ,也不能整除所有的 ,不然 和 不会是本原多项式。假定 和 各是 和 的头一个不能被 整数的系数。 是系数 可以写成以下形式


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在这个式子里除了 以外,每项都能被 整除,所以

也能被 整除,因而由于 是唯一分解环, 或 能被 整除,与这两个元的取发相反。这样 必须是本原多项式。证完。

现在我们用 的商域Q来做Q上的一元多项式环 ,那么

包含 。我们知道 是唯一分解环,我们要由这一件事实来证明 也是唯一分解环。


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引理 2 的每一个不等于零的多项式 都可以写成

的样子,这里 是 的本元多项式。若是 也有 的性质,那么


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证明 Q的元都可以写成 的样子,因此

叫 ,那么

叫 b 是 的一个最大公因子,那么 , 是本原多项式(Ⅳ,2习题2)

假定另一方面 , 是 的本原多项式,那么 是 的一个多项式。由于

和 都是本原多项式,bc和ad一定同是 的系数的最大公因子(Ⅳ,2,习题2),因而

这样 证完


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引理3 的一个本元多项式 在 里可约的充

分而且必要条件: 在 里可约。


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证明 假定 在 里可约。这时,因为 显然也是

的本原多项式,由(C)。 和 都属于 ,并且它们的次数都大于零。

由引理2, , 和

都是 的本原多项式。由引理1,

还是本原多项式;由引理2,

因此 ,但 和 的次数各等于 的次数,因而都大于零: ;由(A), 和

都不是 的单位。这样,由Ⅳ,1,定理3,

在 里可约。


5 5 1 5 2 5 3

假定 在 里可约。这时,由(C),

都属于 ,并且他们的次数都大于零。这样,由(A),把 看作的元,这两个多项式也不是 的单位;由Ⅳ,1,定理3,在 里 可约。证完。


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引理 4的一个次数大于零的本原多项式 在 里有唯一分解。


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证明 我们先证明 可以写成不可约多项式的乘积。若是

本身不可约,我们用不着再证明什么。假定 可约。由(C)和引理1,

都是本原多项式,并且他们的次数都小于 的次数。这样,假如 还是可约,我们又可以把他们写成次数更小的本原多项式的乘积。由于 的次数是有限正整数,最后我们可以得到(1) 。

是不可约本原多项式。


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假定还有一个分解(2) 。

那么由引理1, 是不可约本原多项式。由引理3, 和

在 里还是不可约,这就是说,(1)和(2)也是

在 里的两种分解,但 是唯一分解环,所以我们有

并且由(A),我们可以假定

这样,由引理2,

在 里有唯一分解。证完


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定理 1 若是 是唯一分解环,那么 也是。

证明 我们看 的一个不是零也不是单位的多项式 。若 ,那么由于 是唯一分解环, 显然有唯一分解。若 是本原多项式,由引理4, 也有唯一分解。这样,我们只需看

d不是 的单位, 是次数大于零的本圆多项式时的情形。

5.3 结论的证明


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这时,因d有分解

有分解

是不可约本原多项式,所以 在 里有分解:

假定在里有另一种分解:

都是 的不可约多项式。这时, 一定是 的素元, 一定是不可约多项式。


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因为: 若不是 的素元,显然也不会是 的不可约多项式; 若不是本原多项式,它的系数的最大公因子 显然是它的一个真因子,因而 也不会是不可约多项式,这样由引理1和2,我们有

(3)

是 的单位;因而

(4)


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(3)式表示的是本原多项式 的两种分解,因而由引理4,

而且我们可以假定

(4)表示的是唯一分解环 的元d的两种分解,因而

而且我们可以假定

这样, 是唯一分解环。证完。


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定理 2 若 是唯一分解环,那么 也是,这里

是 上的无关未定元。

由定理1,当 是整数环的时候, 是一个唯一分解环。但我们知道,这个多项式环不是一个主理想环(Ⅲ,7,例3)。这样,我们有了一个分解环不是主理想的例子。

由定理 1 ,应用归纳法立刻可以得到


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