Curs 2009-2010 Geometria Cinemàtica de Mecanismes Robòtics (GCR)

1. Mòdul 2: Estàtica Problemes i qüestions curtes P. Jiménez Curs 2009-2010Geometria Cinemàtica de Mecanismes Robòtics(GCR)

2. Exercise 1. The rule of the parallelogram Let f1 = (L1,M1,R1) and f2 = (L2,M2,R2) be two forces acting on a rigid lamina, such that S1 = (L1,M1) and S2 = (L2,M2) are not parallel. Prove that their resultant f = f1 + f2 is a line bound vector that meets the point of intersection of f1 and f2. (In other words, we ask to prove the result in Fig. 2.14, but for general skew forces, not necessarily applied to the origin.)

3. Ex. 1 La regla del paralelogram Y {L1+L2, M1+M2; R1+R2} O p X {L2, M2; R2} • Calcular p • Comprovar que es compleix l’equació de la recta per a la resultant {L1, M1; R1}

4. Ex. 1 La regla del paralelogram Y O p X {L2, M2; R2} {L1, M1; R1}

5. Ex. 1 La regla del paralelogram Y {L1+L2, M1+M2; R1+R2} O p X Lyp –Mxp+ R=0 (L1+L2)yp – (M1+M2 )xp+ R1+R2=0

6. Ex. 1 La regla del paralelogram (L1+L2)yp – (M1+M2 )xp+ R1+R2=0 (L1+L2)(M1R2–M2R1) – (M1+M2 )(L1R2–L2R1) + +(L1M2–L2M1)( R1+R2)=0 L1M1R2+L2 M1R2–L1M2R1–L2M2R1 – M1L1R2 – M2 L1R2 +M1L2R1+M2L2R1 +L1M2R1–L2M1R1+ L1M2R2–L2M1R2 =0

7. Exercise 2. Test for concurrent lines Prove the statement at the end of page 75 on Duffy's book. That is, prove that three lines , i = 1,2,3 are concurrent if, and only if,

8. Ex. 2 Test de rectes concurrents $1 Y $2 {L2, M2; R2} {L1, M1; R1} {L3, M3; R3} $3 O X

9. Ex. 2 Test de rectes concurrents L1M1R1 L2M2R2 L3M3R3 D= = 0 $1, $2, $3 concurrents feix de rectes: qualsevol d’elles és expressable com a combinació lineal de dues d’altres L3= L1+lL2 M3= M1+lM2 R3= R1+lR2 D = 0

10. Ex. 2 Test de rectes concurrents L1M1R1 L2M2R2 L3M3R3 D= = 0 $1, $2, $3 concurrents D3 L1M1R1 L2M2R2 L3M3R3 M1R1 M2R2 L1R1 L2R2 L1M1 L2M2 = L3 – M3 + R3 = 0 $2 $1 $3 L3 yp – M3 xp + R3 = 0 p

11. Exercise 3. Leg force distribution along a trajectory Do exercise 2.4 of Duffy's book. You will need the help of some computer language (for example Matlab, or C) because an iterative calculation needs to be done. Please comment all steps of your solution to the problem.

12. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria Y [c, s, p]T ? f 3.0 2.4 1.7 X

13. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

14. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria 1x1ny1n 1x1by1b (x1n,y1n) (x2n,y2n) L1 : M1 : R1 (x3n,y3n) l1n l3n 1/(L12 + M12)1/2 =1/l1 l2n c1 : s1 : p1 (x1b,y1b) (x2b,y2b) (x3b,y3b)

15. c2 s2 p2 c1 s1 p1 c3 s3 p3 Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria f l= j -1 ŵ (aplicada) f1 j = f1 f3 f3 f2 (resultants) f2 f f f1n (equilibrants) f2n f11 f31 f3n f21

16. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria % Platform points (in initial position) x1p = 0; y1p = 3; x2p = 0.4*sqrt(2); y2p = 2.4; x3p = 0.95 * sqrt(2); y3p = 1.7; % Base points (fixed) x1b = 0; y1b = 0; x2b = 3.5; y2b = 0; x3b = 5.0; y3b = 0; % Unitized coordinates of the force f f=[1;0;-2.4]; fprintf('f is:'); printmat(f); % Platform self-parallel displacements step = 0.01; M = []; pos = [];

17. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria for i=1:500 % Platform point coordinates x1p = x1p + step; x2p = x2p + step; x3p = x3p + step; % Leg lengths for such coordinates l1 = sqrt((x1p-x1b)^2 + (y1p-y1b)^2); l2 = sqrt((x2p-x2b)^2 + (y2p-y2b)^2); l3 = sqrt((x3p-x3b)^2 + (y3p-y3b)^2); pos = [pos,x1p]; % Grassmann's point matrices (see page 44) G1 = [1,x1b,y1b; 1,x1p,y1p]; G2 = [1,x2b,y2b; 1,x2p,y2p]; G3 = [1,x3b,y3b; 1,x3p,y3p];

18. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria for i=1:500 % Platform point coordinates % Leg lengths for such coordinates % Grassmann's point matrices (see page 44) % Unitized coordinates of leg 1 c1 = det(G1(:,[1,2])) / l1; s1 = det(G1(:,[1,3])) / l1; p1 = det(G1(:,[2,3])) / l1; % Unitized coordinates of leg 2 c2 = det(G2(:,[1,2])) / l2; s2 = det(G2(:,[1,3])) / l2; p2 = det(G2(:,[2,3])) / l2; % Unitized coordinates of leg 3 c3 = det(G3(:,[1,2])) / l3; s3 = det(G3(:,[1,3])) / l3; p3 = det(G3(:,[2,3])) / l3;

19. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria for i=1:500 % Jacobian matrix j = [c1, c2, c3; s1, s2, s3; p1, p2, p3]; % Vector of leg forces lambda = inv(j)*f; % We collect all results in a matrix M, in order to plot them later M = [M,lambda]; end % Plot of the results: Red, green, and blue lines correspond to the % resultant forces on legs 1, 2, and 3, respectively. plot(pos, M(1,:),'r', pos, M(2,:),'g', pos, M(3,:),'b', 'LineWidth',2);

20. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria Forces resultants als connectors. Les forces equilibrants són iguals però de signe contrari.

21. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

22. Ex. 3 Distribució de forces als connectors al llarg d’una trajectòria

23. Qüestions de test (estàtica)

24. 6. (4 puntos) La siguiente figura muestra un manipulador paralelo 3RPR en una determinada configuración y con una determinada fuerza y par ejercidos sobre su elemento terminal: Señala la respuesta correcta: a) La pata 1 está en tensión, con valor de 5√2 N, las patas 2 y 3 en compresión, con valor de 5 N. b) Las patas 1 y 2 están en tensión, con valor de 5√2 N, y la 3 en compresión con valor de 5 N. c) La pata 1 está en tensión, con valor de 5√2 N, la pata 2 no trabaja, y la pata 3 está en compresión, con valor de 5 N. d) Todas las patas están en tensión. e) Variando la orientación y magnitud de la fuerza externa, se puede alcanzar una singularidad. 5N 10Nm 4m 90º 60º 45º (0,0) (1,0) (2,0)

25. c2 s2 p2 c1 s1 p1 c3 s3 p3 Trobar les forces als connectors 5 0 -5·4+10 5 0 -10 = ŵ = = 5N 10Nm = f1 + f2 + f3 4m 90º 60º 45º p2 = √3/2 (0,0) (1,0) (2,0)

26. Trobar les forces als connectors 5 0 -5·4+10 5 0 -10 = ŵ = = 5N 10Nm = f1 + f2 + f3 4m 90º 60º 45º f1 = 5√2 f2 = 0 f3= −5 (0,0) (1,0) (2,0)

27. 7. (2 puntos) Cada una de las afirmaciones A-D es aplicable exclusivamente a uno de los mecanismos, en las configuraciones que se muestran: A- En aquesta configuració, hi ha forces que no poden ser equilibrades pels actuadors B- En aquesta configuració, no cal aplicar-hi forces als actuadors per equilibrar la força exercida 1 2 C- La força que es mostra pot ser equilibrada actuant només una de les articulacions D- Aquest mecanisme mai pot ser en una configuració singular Señala la correspondencia correcta: a) A-2, B-1, C-3, D-4 b) A-4, B-3, C-2, D-1 c) A-2, B-4, C-1, D-3 d) A-3, B-1, C-4, D-2 e) A-1, B-3, C-2, D-4 3 4

28. 8. (4 puntos) En el mecanismo de la figura se aplica una única fuerza, tal como se muestra: f1 F f3 h l f2 Señala la respuesta correcta: a) f1 = f3 = 0 y f2 = F b) f1 = f2 = f3 = F/3 c) f1 = f2 = 0 y f3 = F d) f2 = f3 = 0 y f1 = F cos(l/h) e) f1 = F cos(l/h), f2 = Fp2/2 y f3 = Fp2/2

29. Questions sobre el mecanisme f1 Y F f3 h l X f2 1 0 -√2/2 0 1 √2/2 -h 0 l 0 F 0 f1 f2 f3 =

30. l = h√2/2 9. (3 puntos) El mecanismo del ejercicio anterior es modificado, manteniendo las orientaciones de las patas, hasta que l = h√2/2, como muestra la figura. f1 F f3 h l 45º f2

31. l = h√2/2 Questions sobre el mecanisme f1 F f3 h l 45º Configuració singular? f2

32. Questions sobre el mecanisme f1 F f3 h l Es pot equilibrar F? f2

33. Questions sobre el mecanisme f1 F f3 h l Si l → h√2/2 què passa amb fi ? f2

34. Questions sobre el mecanisme f1 F f3 h l Es pot equilibrar F? f2

35. Questions sobre el mecanisme f1 T f3 h l Es pot equilibrar T? f2