math bar model

1. การแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์โดยใช้ Bar Model โดย วาสนา บึงบงกช ครูชำนาญการพิเศษ โรงเรียนอนุบาลบางกรวย(วัดศรีประวัติ) สำนักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษานนทบุรี เขต 1

2. Bar Model

3. Bar Model เป็น การใช้รูปภาพแท่งสี่เหลี่ยมผืนผ้า เป็นสัญลักษณ์แทนข้อมูลที่เราวิเคราะห์และตีความหมายจากโจทย์ปัญหา เช่นโจทย์ “ รัตนา มีขนม 20 ชิ้น ส่วน ปราณี มีขนม 30 ชิ้น” รัตนา ปราณี ขนม 20 ชิ้น ขนม 30ชิ้น

4. การนำวิธีการแก้โจทย์ปัญหา ของ George Polyaมาประยุกต์ใช้ในรูปแบบของบาร์โมเดล 4 ขั้นตอน ขั้นที่ 1 ทำความเข้าใจ (Understanding the Problem) อ่านโจทย์อย่างน้อย 3 ครั้ง • ครั้งที่ 1 อ่านในใจ • ครั้งที่ 2 อ่านแล้วจดข้อความสำคัญ • ครั้งที่ 3 อ่านแล้วตั้งคำถามย่อย • เขียนคำตอบของคำถามย่อยนั้น

5. การนำวิธีการแก้โจทย์ปัญหา ของ George Polyaมาประยุกต์ใช้ในรูปแบบของบาร์โมเดล (ต่อ) ขั้นที่ 2 วางแผน (Developeing a Plan) วางแผนการวาดรูป บาร์โมเดล ขั้นที่ 3 แสดงวิธีทำ (Carrying out the Plan) ขั้นที่ 4 ตรวจสอบ (Looking Back)

6. วิธีวาดรูป บาร์โมเดล 1. วาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 หรือ 3 รูป แทนจำนวนที่ต้องการเปรียบเทียบ • ให้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามี ความกว้าง ประมาณไม่เกิน 1 เซนติเมตร • ส่วน ความยาว ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้พิจารณาจากค่าของจำนวนที่เกี่ยวข้อง ให้จำนวนที่มีค่ามากมีความยาวรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาวกว่าความยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของจำนวนที่มีค่าน้อย 2. เขียนคำอธิบาย แทนจำนวน และสิ่งที่เกี่ยวข้องไว้ข้างๆรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังตัวอย่างต่อไปนี้

7. หลักการวาดรูปบาร์โมเดลและการนำไปใช้หลักการวาดรูปบาร์โมเดลและการนำไปใช้ อลิสา มีขนม 16ชิ้น ส่วนยุพินมีขนม 25 ชิ้น 16 อลิสา ยุพิน 25

8. 1 . วาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนรูปบาร์โมเดลที่แสดงความสัมพันธ์ ที่เป็นส่วนรวมทั้งหมด และส่วนย่อยแต่ละส่วน (Part-whole Model) รูปแบบที่ 1 : ส่วนย่อย-ส่วนรวม สำหรับใช้ในการบวกหรือลบ รวมทั้งหมด ส่วน 1 ส่วน 2

9. กรณีที่ 1: กรณีที่ 1 กำหนดส่วนย่อย แล้วหาส่วนรวมทั้งหมด ต้องการหาส่วนรวมทั้งหมด กำหนดส่วนที่ 1 มาให้ กำหนดส่วนที่ 2 มาให้ จากรูป: ส่วนรวมทั้งหมด = ส่วนที่ 1 + ส่วนที่ 2

10. กรณีที่ 2: กำหนดส่วนรวมทั้งหมดและส่วนย่อยมาให้หนึ่งส่วน แล้วหาส่วนย่อยอีกหนึ่งส่วน ต้องการหาส่วนที่ 2 กำหนดส่วนรวมทั้งหมดมาให้ กำหนดส่วนที่ 1 มาให้ ? จากรูป: ส่วนที่ 2= ส่วนรวมทั้งหมด - ส่วนที่ 1

11. 2. การเปรียบเทียบระหว่างจำนวนสองจำนวน กรณีที่ 1: วาดรูปบาร์โมเดลรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แทนให้จำนวนสองจำนวนที่ กำหนดให้ สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งยาวกว่าอีกรูปหนึ่งแล้วหาค่าของ ส่วนที่แตกต่างกัน

12. โจทน์นิสาหนัก 45 กิโลกรัม ก้องภพหนัก 57 กิโลกรัม ก้องภพหนักมากกว่านิสาเท่าใด นิสา มากกว่า ก้องภพ 57 45 ? ก้องภพหนักมากกว่านิสา = 57 - 45

13. กรณีที่ 2: กำหนดจำนวนมาให้จำนวนหนึ่ง และค่าของส่วนที่แตกต่างกัน แล้วให้หาว่าอีกจำนวนหนึ่งมีค่าเท่าใด ต้องการหา รูปแบบ 1: มากกว่า ? กำหนดให้

14. กำหนดให้ รูปแบบ 2: มากกว่า ? ต้องการหาจำนวนที่ 2 กำหนดให้

15. ตัวอย่างที่ 1 โจทย์ ขบวนรถไฟสายกรุงเทพ-เชียงใหม่ มีผู้โดยสารเดินทางไปกับขบวน รถโบกี้ นั่งเป็นจำนวน 218 คน มีผู้โดยสารในขบวนรถนอนปรับ- อากาศจำนวน 345 คน รถไฟสายกรุงเทพ-เชียงใหม่ ขบวนนี้มี ผู้โดยสารทั้งหมดกี่คน ขั้นที่ 1. ทำความเข้าใจโจทย์ ขบวนรถไฟสายกรุงเทพ-เชียงใหม่ มีผู้โดยสารเดินทางไปกับ ขบวนรถโบกี้นั่งเป็นจำนวน 218 คน มีผู้โดยสารในขบวนรถ นอนปรับอากาศ เป็นจำนวน 345 คน

16. ผู้โดยสารขบวนโบกี้นั่งมีมากกว่าหรือน้อยกว่าผู้โดยสารในขบวนรถนอนปรับอากาศผู้โดยสารขบวนโบกี้นั่งมีมากกว่าหรือน้อยกว่าผู้โดยสารในขบวนรถนอนปรับอากาศ ผู้โดยสารในขบวนรถนอนปรับ-อากาศ มีมากกว่า ดังนั้น เราต้องวาดรูปแบบโมเดลให้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แทนจำนวนผู้โดยสารในขบวนรถนอนปรับ-อากาศยาวกว่า

17. ขั้นที่ 2. วางแผนการวาดรูปบาร์โมเดล ผู้โดยสารในขบวน รถโบกี้นั่ง ผู้โดยสารในขบวน รถนอนปรับอากาศ รวม จำนวนผู้โดยสาร ทั้งหมดในรถไฟขบวนนี้ 218 นักเรียนดูจากรูป จะเข้าใจและสามารถเขียนวิธีทำ และ แสดงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ทันที โดยที่ครูไม่ต้องอธิบายหรือบอกการใช้เครื่องหมาย 218 + 345 = 563 345 345 218

18. ตัวอย่างที่ 2 โจทย์ จากสำรวจของสำนักสถิติแห่งชาติในปีพ.ศ.2552 พบว่าผู้ใช้ โทรศัพท์มือถือที่เป็นวัยรุ่นเพศชายมีจำนวน 426,688 คน เป็นวัยรุ่น เพศหญิงมีจำนวน 547,425 คน ผู้ใช้โทรศัพท์มือถือที่เป็นวัยรุ่นมี ทั้งหมดกี่คน ขั้นที่ 1. ทำความเข้าใจโจทย์ จากการสำรวจพบว่าผู้ใช้โทรศัพท์มือถือที่เป็นวัยรุ่นเพศชายมีจำนวน 426,688 คน เป็นวัยรุ่นเพศหญิงมีจำนวน 547,425 คน

19. วัยรุ่นเพศชายใช้โทรศัพท์มือถือ มากกว่าหรือน้อยกว่าวัยรุ่นเพศหญิง วัยรุ่นเพศหญิงใช้โทรศัพท์มือถือมากกว่า ดังนั้น เราต้องวาดรูปแบบโมเดลให้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แทนจำนวนผู้ใช้โทรศัพท์มือถือของวัยรุ่นเพศหญิงยาวกว่าจำนวนผู้ใช้โทรศัพท์มือถือของวัยรุ่นเพศชาย

20. ผู้ใช้โทรศัพท์มือถือ วัยรุ่นเพศชาย ผู้ใช้โทรศัพท์มือถือ วัยรุ่นเพศหญิง รวม ผู้ใช้โทรศัพท์มือถือ ทั้งหมด ขั้นที่ 2. วางแผนการวาดรูปบาร์โมเดล 426,688 547,425 426,688 547,425

21. ตัวอย่างที่ 3 การสอนเต็มรูปแบบการ แก้โจทย์ปัญหา โดยใช้ Bar Model โจทย์ น้ำหวานมีเงินอยู่ 22,500 บาท น้ำหวานต้องการซื้อคอมพิวเตอร์ ราคา 35,400 บาท น้ำหวานต้องเก็บเงินอีกเท่าใดจึงสามารถซื้อ คอมพิวเตอร์ได้ ขั้นที่1. ทำความเข้าใจโจทย์ น้ำหวานมีเงินอยู่ 22,500 บาท น้ำหวานต้องการซื้อคอมพิวเตอร์ ราคา 35,400 บาท

22. น้ำหวานมีเงินเพียงพอที่จะซื้อคอมพิวเตอร์หรือไม่?น้ำหวานมีเงินเพียงพอที่จะซื้อคอมพิวเตอร์หรือไม่? น้ำหวานต้องเก็บเงินเพิ่มอีกเท่าใด น้ำหวานมีเงินมากกว่าหรือน้อยกว่าราคาคอมพิวเตอร์

23. ขั้นที่ 2. วางแผนการวาดรูปบาร์โมเดล น้ำหวานมีเงิน ต้องเก็บเงินอีก? คอมพิวเตอร์ราคา 35,400 22,500 ? ต้องเก็บเงินอีก? ต้องเก็บเงิน? 35,400 22,500 ?

24. วางแผนวาดรูปบาร์โมเดล และเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ ต้องเก็บเงินอีก ? จากรูปบาร์โมเดล จะเห็นได้ว่า น้ำหวานต้องเก็บเงินอีก = 35,400 - 22}5000 = ? = 706,600 + 325,600 น้ำหวานต้องเก็บเงินอีก • ? 22,500 บาท น้ำหวานมีเงินอยู่ 35,400 บาท คอมพิวเตอร์ราคา

25. ขั้นที่ 3 แสดงวิธีทำและลงมือคำนวณ วิธีทำ น้ำหวานต้องการซื้อคอมพิวเตอร์ราคา 35,400 _ บาท น้ำหวานมีเงินอยู่ 22,500 บาท น้ำหวานต้องเก็บเงินอีก 12,900 บาท ตอบ น้ำหวานต้องเก็บเงินอีก ๑๒,๙๐๐ บาท

26. ขั้นที่ 4 ตรวจสอบคำตอบ หาผลบวกของจำนวนเงินที่น้ำหวานมีอยู่ขณะนี้กับจำนวนที่ต้องเก็บเพิ่มอีก น้ำหวานมีเงินอยู่ 22,500  บาท น้ำหวานต้องเก็บเงินอีก 12,900 บาท รวมเป็นจำนวนเงิน 35,400 บาท จำนวนเงินที่มีอยู่รวมกับที่จะต้องเก็บเพิ่มอีกเท่ากับราคาคอมพิวเตอร์ แสดงว่าทำถูกต้องแล้ว ⁺

27. ทดลองปฏิบัติการแก้โจทย์ปัญหา 4 ขั้นตอน 1. ฟาร์มเลี้ยงไก่แห่งหนึ่ง เก็บไข่ไก่ในวันเสาร์ได้ 3,218 ฟอง และวันเสาร์ เก็บไข่ไก่ได้น้อยกว่าวันอาทิตย์ 439 ฟอง เจ้าของฟาร์มแห่งนี้เก็บไข่ไก่ใน วันอาทิตย์ได้กี่ฟอง 2. ปัทมามีเงินมากกว่าวาริน 1,410 บาท ถ้าปัทมามีเงิน 3,800 บาท วารินมีเงินเท่าไร 3 พ่อค้าซื้อโทรทัศน์มาราคา 26,900 บาท ขายไปได้กำไร 2,100 บาท พ่อค้าขายโทรทัศน์ไปราคาเท่าไร 4. ปรีชาจ่ายเงินซื้อบ้าน ราคา 4,560,000 บาท ซื้อรถยนต์ราคา 960,000 บาท ปรีชาจ่ายเงินซื้อบ้านมากกว่ารถยนต์เท่าไร *****ให้นักเรียนจับคุ่ ช่วยกันทำลงใบงานที่ครูแจกนะคะ***

28. ตัวอย่างที่ 4 โจทย์ ชาวสวนผู้หนึ่งขายมะม่วงงานวันมะม่วงและของดีเมืองแปดริ้ว ที่ จังหวัดฉะเชิงเทรา เขาขายมะม่วงเขียวเสวยได้ 3,750 ผล มะม่วงน้ำดอกไม้ 2,125 ผล และมะม่วงอกร่อง 850 ผล ชาวสวน ผู้นี้ขาย มะม่วงได้ทั้งหมดกี่ผล ขั้นที่ 1. ทำความเข้าใจโจทย์ ชาวสวนผู้หนึ่งขายมะม่วงเขียวเสวยได้ 3,750 ผล มะม่วง น้ำดอกไม้ 2,125 ผล และมะม่วงอกร่อง 850 ผล

29. ชาวสวนผู้นี้ขายมะม่วงกี่ชนิดชาวสวนผู้นี้ขายมะม่วงกี่ชนิด • อย่างละเท่าใด • ขายมะม่วงได้ทั้งหมดกี่ผล

30. ขั้นที่ 2. วางแผนการวาดรูปบาร์โมเดล มะม่วงเขียวเสวย มะม่วงน้ำดอกไม้ มะม่วงอกร่อง รวมมะม่วงทั้งหมด มะม่วงเขียวเสวย มะม่วงน้ำดอกไม้ มะม่วงอกร่อง 3,750 2,125 850 850 2,125 3,750

31. จากรูปบาร์โมเดล จะเห็นได้ว่าจะหาจำนวนมะม่วงทั้งหมดได้โดย การบวก ดังนี้ จำนวนมะม่วงทั้งหมด = จำนวนมะม่วงเขียวเสวย + จำนวนมะม่วง- น้ำดอกไม้ + จำนวนมะม่วงอกร่อง = 3,750 + 2,125 + 850 เข้าใจอ๊ะป่าว

32. จากรูปบาร์โมเดล จะเห็นได้ว่ายังมีเงินไม่ครบอีกบางส่วน จะต้องหาจำนวนเงินที่ต้องเก็บเพิ่ม ซึ่งใช้วิธี การลบ ดังนี้ จำนวนเงินที่น้ำหวานต้องเก็บเพิ่ม = ราคาคอมพิวเตอร์ – จำนวนเงินที่มีอยู่ = 35,400 – 22,500

33. ตัวอย่างที่ 5 โจทย์ดนุพลต้องการซื้อเตียงพร้อมกับที่นอน 1 ชุด ถ้าเตียงราคา 7,350 บาท และที่นอนราคา 11,100 บาท ดนุพลมีเงินอยู่ 14,300 บาท ดนุพลต้องเก็บเงินอีกเท่าไหร่ จึงจะสามารถซื้อเตียงพร้อมกับที่นอนได้? ขั้นที่1. ทำความเข้าใจโจทย์ ดนุพลต้องการซื้อเตียงหรือต้องการซื้อที่นอน? ซื้อเตียงพร้อมกับที่นอน 1 ชุด หมายความว่าอย่างไร? เตียงและที่นอนราคารวมกันเป็นเท่าไร? ดนุพลมีเงินเพียงพอที่จะซื้อเตียงและที่นอนหรือไม่?

34. ขั้นที่ 2. วางแผนการวาดรูปบาร์โมเดล เตียงราคา ที่นอนราคา ?รวมราคาเตียง และที่นอน? ดนุพลมีเงินจำนวนเงินที่ ต้องเก็บเพิ่ม? 7,350 11,100 11,100 7,350 14,300

35. หรือ ขั้นตอนที่ 1 ดนุพลต้องการซื้อเตียงพร้อมกับที่นอน 1 ชุด ถ้าเตียงราคา 7,350 บาท และที่นอนราคา 11,100 บาท เตียงราคา ที่นอนราคา รวมราคาเตียง และที่นอน? ราคาเตียง ? ราคาที่นอน 7,350 11,100 7,350 11,100

36. จากรูปบาร์โมเดล จะเห็นได้ว่า ขั้นตอนที่1:จะต้องหาผลรวมของราคาเตียงและที่นอน โดย ใช้การบวก รวมราคาเตียงและราคาที่นอน = ราคาเตียง + ราคาที่นอน = 7,350 + 11,100 = 18,450

37. ขั้นตอนที่ 2 ดนุพลต้องการซื้อเตียงพร้อมกับที่นอน 1 ชุด ถ้าเตียง 7,350 บาท และที่นอนราคา 11,100 บาท ดนุพลมีเงินอยู่ 14,300 บาท ดนุพลต้องเก็บเงินอีกเท่าไร จึงจะสามารถซื้อเตียงพร้อมกับที่นอนได้?

38. ขั้นตอนที่ 2 ดนุพลต้องการซื้อเตียงพร้อมกับที่นอน 1 ชุด ถ้าเตียงราคา 7,350 บาท และที่นอนราคา 11,100 บาท ดนุพลมีเงินอยู่ 14,300 บาท ดนุพลต้องเก็บเงินอีกเท่าไร จึงจะสามารถซื้อ เตียงพร้อมกับที่นอนได้ ? รวมราคาเตียง และที่นอน ดนุพลมีเงิน จำนวนเงินที่ ต้องเก็บเพิ่ม? 18,450 14,300

39. จากรูปบาร์โมเดล จะเห็นได้ว่า ตอนที่ 2: จะต้องหาจำนวนที่ดนุพลต้องเก็บเพิ่ม โดยใช้การลบ จำนวนเงินที่ต้องเก็บเพิ่ม = ราคาเตียงและราคาที่นอน – จำนวนเงินที่ดนุพลมีอยู่ = 18,450 – 14,300 = 4,150

40. ตัวอย่างที่ 6 โจทย์โรงงานแห่งหนึ่งผลิตน้ำส้มกระป๋องได้เดือนละ 872,000 กระป๋อง น้ำลำไยกระป๋องได้น้อยกว่าน้ำส้ม 165,400 กระป๋อง และผลิต น้ำอ้อยกระป๋องได้มากกว่าน้ำลำไยกระป๋อง 325,600 กระป๋อง โรงงานแห่งนี้ผลิตน้ำอ้อยกระป๋องได้เดือนละกี่กระป๋อง

41. ขั้นที่1. ทำความเข้าใจโจทย์ โรงงานผลิตน้ำผลไม้กี่ชนิด? น้ำผลไม้ชนิดใดที่โจทย์บอกจำนวนการผลิตมาให้ โรงงานผลิตน้ำส้มกระป๋องมากกว่าน้ำลำไยเท่าใด 4) โรงงานผลิตน้ำอ้อยกระป๋องมากกว่าน้ำลำไยเท่าใด 5) โรงงานผลิตน้ำผลไม้ชนิดใดมากที่สุด

42. ขั้นที่ 2. วางแผนการวาดรูปบาร์โมเดล น้ำส้ม 165,400 ผลิตน้ำลำไย น้ำลำไย น้อยกว่าน้ำส้ม ? น้ำอ้อย ผลิตน้ำอ้อย มากกว่าน้ำลำไย 872,000 ? 325,600

43. ตัวอย่างข้อนี้จะต้องใช้ความคิดวิเคราะห์และการตีความเป็นอย่างดี เขียนรูปบาร์โมเดลโดยใช้ข้อมูลจากโจทย์ตามลำดับ ให้มีจุดเริ่มอยู่ในแนวที่ตรงกัน การวาดบาร์โมเดลจะช่วยทำให้เห็นความสัมพันธ์อย่างชัดเจน ทำให้เข้าใจและสามารถตีความได้ถูกต้อง

44. โรงงานผลิตน้ำส้มกระป๋องได้เดือนละ 872,000 กระป๋อง ผลิตน้ำลำไยกระป๋องได้น้อยกว่าน้ำส้ม 165,400 กระป๋อง น้ำส้ม 165,400 ผลิตน้ำลำไย น้ำลำไย น้อยกว่าน้ำส้ม น้ำลำไย? 872,000 872,000 ? ? 165,400

45. จากรูปบาร์โมเดล จะเห็นได้ว่า ขั้นตอนที่ 1: จะต้องหาจำนวนน้ำลำไยกระป๋อง โดยใช้การลบ จำนวนน้ำลำไยกระป๋อง = จำนวนการผลิตน้ำส้มกระป๋อง – จำนวนการผลิตน้ำ ลำไยกระป๋องที่น้อยกว่าน้ำส้ม = 872,000 – 165,400

46. ขั้นตอนที่ 2 ผลิตน้ำอ้อยกระป๋องได้มากกว่าน้ำลำไยกระป๋อง 325,600 กระป๋อง น้ำลำไย น้ำอ้อย ผลิตน้ำอ้อย? น้ำลำไย 706,600 ผลิตน้ำอ้อย มากกว่าน้ำลำไย 325,600 706,600 325,600 ผลิตน้ำอ้อย มากกว่าน้ำลำไย

47. จากรูปบาร์โมเดล จะเห็นได้ว่า ตอนที่ 2: จะต้องหาจำนวนน้ำอ้อยกระป๋อง โดยใช้การบวก จำนวนน้ำอ้อยกระป๋อง = จำนวนการผลิตน้ำลำไยกระป๋อง + จำนวนผลิต น้ำอ้อยกระป๋องที่มากกว่าน้ำลำไยกระป๋อง = 706,600 + 325,600 = 1,032,220

48. จากตัวอย่าง จะเห็นว่าการใช้บาร์โมเดลจะช่วยให้นักเรียนเห็นข้อมูลที่กำหนดไว้ในโจทย์ปัญหาได้เป็นรูปธรรมขึ้น ทำให้มองเห็นความสัมพันธ์ของข้อมูลที่กำหนดให้ทั้งหมด และสามารถเชื่อมโยงไปสู่การหาคำตอบของข้อคำถามที่โจทย์ต้องการได้อย่างชัดเจน

49.  ลองฝึกทำกันนะคะ  • 1. แม่แบ่งเงินให้ลูกสามคน รวม 724,000 บาท ลูกคนแรกได้เงิน 215,000 บาท ลูกคนที่สองได้เงิน 230,000 บาท ลูกคนที่สามจะได้เงินเท่าไร • 2. ปีแรกขายสินค้าได้น้อยกว่าที่สอง 50000 บาท ปีที่สองขายสินค้าได้น้อยกว่าปีที่สาม 100000บาท ถ้าปีที่สามขายสินค้าได้ 450000 บาท ปีแรกขายสิค้าได้เท่าไร • 3. ร้านขายข้าวหน้าเป็ดขายได้สัปดาห์ละ 43,900 บาท จ่ายค่าเป็ด 15,750 บาท ค่าจ้างคนงาน 9,345 บาท เจ้าของร้านเหลือเงินเท่าไร ****นักเรียนจับคู่ทำลงในใบงานนะคะ ****

50. โจทย์ปัญหาโดยใช้ Bar Model การคูณ และ การหาร