Σχεδιαση βελτιστου δεκτη
Download
1 / 77

Σχεδιαση βελτιστου δεκτη Δεκτης συσχετισης Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου Πιθανοτητα σφαλματος - PowerPoint PPT Presentation


  • 133 Views
  • Uploaded on

Σχεδιαση βελτιστου δεκτη Δεκτης συσχετισης Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου Πιθανοτητα σφαλματος. ΗΥ 4 30 Ψηφιακες Επικοινωνιες. Συναρτησεις Βασης ενος συνολου σηματων. Εχουμε ενα συνολο σηματων (κυματομορφων) { s 1 (t), s 2 (t),…,s M (t)} πληθους Μ, και εκπεμπεται μια απο αυτες καθε φορα.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Σχεδιαση βελτιστου δεκτη Δεκτης συσχετισης Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου Πιθανοτητα σφαλματος' - tave


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Σχεδιαση βελτιστου δεκτηΔεκτης συσχετισηςΔεκτης προσαρμοσμενου φιλτρουΠιθανοτητα σφαλματος

ΗΥ430 Ψηφιακες Επικοινωνιες


Συναρτησεις Βασης ενος συνολου σηματων

  • Εχουμε ενα συνολο σηματων (κυματομορφων) {s1(t), s2(t),…,sM(t)}

    πληθους Μ, και εκπεμπεται μια απο αυτες καθε φορα.

  • Οι συναρτησεις {f1(t), f2(t),…fK(t)}, οπου Κ  Μ, αποτελουν μια πληρη ορθοκανονικη βαση για το δοθεν συνολο των σηματωναν:

    • Οι συναρτησεις βασης ειναι ορθογωνιες μεταξυ τους, δηλαδη:

    • Οι συναρτησεις βασης ειναι κανονικοποιημενες:

    • Καθε σημα μπορει να γραφτει σαν γραμμικος συνδυασμος


Συναρτησεις Βασης και χωρος σηματων

{s1(t), s2(t),…,sM(t)}

s1(t)

s2(t)

.

.

.

sM(t)

Καθε μια απο τιςκυματομορφες si(t)

μπορει να παρασταθεισαν ενα

σημειο στον K-διαστατο χωρο

που αποτελουν οι συναρτησεις που

μπορουν να περιγραφουν απο τις

συναρτησεις βασης fj(t)

{f1(t), f2(t),…fK(t)}

f1(t)

f2(t)

.

.

fK(t)

Χωρος σηματων


Εφαρμογη στις ψηφιακες επικοινωνιεςΟ Διαμορφωτης

  • Σε ενα ψηφιακο τηλεπικοινωνιακο συστημα log2M bits πληροφοριας μεταδιδονται με μια απο τις Μ διαθεσιμες κυματομορφες του συνολου SM . Αν οι κυματομορφες αυτες ανηκουν σε χωρο σηματων με γνωστες συναρτησεις βασης τοτε μπορουμε να τις περιγραψουμε χρησιμοποιωντας:

    • Τον καταλογο των Κ συντελεστων του αναπτυγματος καθε συναρτησης

    • Την γραφικη παρασταση του Κ-διαστατου αστερισμου σηματων οπου σημειωνεται η θεση καθε σηματος στον χωρο των σηματων.

      • Η γραφικη παρασταση αυτη δινει πληθωρα πληροφοριων χρησιμων για την διαμορφωση και αποδιαμορφωση αυτων των σηματων

  • Η εξισωση-κλειδι ειναι η εξισωση συνθεσης:

    Διαμορφωση ειναι η διαδικασια υλοποιησης της εξισωσης αυτης


Εξισωση συνθεσης επικοινωνιεςΓενικη μορφη Διαμορφωτη

Αλλαγη συμβολισμου

φk(t)  fk(t)

am,I  sm,i

LUT= Look-up-table

log2M – bits address

συντελεστες


Λειτουργια του διαμορφωτη επικοινωνιες

  • Εν γενει, ενας διαμορφωτης με Μ σηματα Κ-διαστασεων χρειαζεται να αποθηκευσει τους K x M συντελεστες (Κ συντελεστες για καθε ενα απο τα Μ σηματα) και να παραγάγει τις Κ συναρτησεις βασης.

  • Οι συντελεστες αποθηκευονται σε Κ look-up tables (LUTs)που εχουν log2M γραμμες διευθυνσεων και μια εξοδο

  • Το δεδομενα εισοδου ομαδοποιουνται σε ομαδες των log2Mbits και καθοριζουν το εκπεμπομενο συμβολο και την κοινη διευθυνση των LUTs.

  • Οι εξοδοι των LUTs ειναι οι Κ συντελεστες του αναπτυγματος του επιθυμητου σηματος.

  • Οι Κ συντελεστες πολλαπλασιαζουν τις Κ συναρτησεις βασης και τα Κ γινομενα αθροιζομενα δινουν το επιθυμητο σημα που αντιστοιχει στο συγκεκριμένο συμβολο.


Ανακεφαλαιωση επικοινωνιες

  • Εξισωση συνθεσης (διαμορφωτης)

  • Εξισωση αναλυσης (αποδιαμορφωτης):

  • Ενεργεια σηματος:


Διαμορφωση επικοινωνιες

  • Θελουμε με τα ψηφιακα δεδομενα να διαμορφωσουμε κυματομορφες που να ειναι:

    • Φασματικα αποδοτικες, και

    • Ενεργειακα οικονομικες

  • Η παρασταση στον χωρο σηματων ειναι μια βολικη μεθοδος θεωρησης της διαμορφωσης η οποια μας επιτρεπει

    • Να σχεδιαζουμε φασματικα και ενεργειακα αποδοτικους αστερισμους σηματων.

    • Να καθοριζουμε την μορφη του βελτιστου δεκτη για δεδομενο διαγραμμα αστερισμου.

    • Να αξιολογουμε τις επιδοσεις του δεδομενου τυπου διαμορφωσης


Αποδιαμορφωση σηματος επικοινωνιες

  • Εκπεμπουμε ενα σημα s(t)  {s1(t), s2(t),…,sM(t)}, οπου το s(t) ειναι μηδενικο για t [0,T]. Για παραδειγμα, εκπεμπουμε το sm(t) αν θελουμε να μεταδωσουμε το m-στο από Μ συμβολα.

  • Τα διαφορα σηματα εκπεμπονται με πιθανοτητα

    p1= Pr[s1(t)],…, pM=Pr[sM(t)]

  • To λαμβανομενο σημα στον δεκτη ειναι αλλοιωμένο λογω θορυβου o οποιος υποτιθεται προσθετικος

    r(t) = s(t) + n(t)

  • Δοθεντος του r(t), ο δεκτης υπολογιζει μια εκτιμηση ŝ(t) του σηματος s(t), με στοχο την ελαχιστοποιηση της πιθανοτητας σφαλματος εκτιμησης ενος συμβολου Ps=Pr[ ŝ(t)  s(t)]


To επικοινωνιες μοντελο του θορυβου

  • Το σημα υφισταται στο καναλι αλλοιωση λογω προσθετικου ΛευκουGaussian Θορυβου

    (Αdditive White Gaussian Noise – AWGN)n(t)

  • O θορυβος n(t) εχειμεση τιμη 0, συναρτηση αυτοσυσχετισης Rnn(τ) = [N0/2]δ(τ) και πυκνοτητα φασματικης ισχυος Snn(f) = N0/2.

  • Καθε γραμμικη συναρτηση του n(t) ειναι επισης Gaussian στοχαστικη διαδικασια.

Καναλι

r(t)

s(t)

Σ

n(t)


Παρασταση στον χωρο των σηματων επικοινωνιες

  • Το εκπεμπομενο σημα μπορει να παρασταθει ως εξης:

  • Ο θορυβος μπορει να παρασταθει επισης με την βοηθεια των συναρτησεων βασης ως εξης:

  • Η συνιστωσα n'(t) του θορυβου ειναι το μερος του θορυβου που δεν ανηκει στον χωρο που περιγραφουν οι συναρτησεις βασης (δεν μπορει να γραφει σαν γραμμικος συνδυασμος τους).

  • Στο επομενο slide αποδεικνυεται οτι το n'(t) sm(t) m[0,…,M-1]


H n t s m t
H επικοινωνιεςσυνιστωσα n'(t) ειναι ορθογωνια προς ολα τα σηματα sm(t)

  • Πραγματι:


Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων

  • Το λαμβανομενο σημα μπορει λοιπον να παρασταθει ως εξης:

  • οπου rk = sm,k + nk

n'(t)

f2(t)

[r1, r2]

f1(t)


O στον χωρο σηματωνχωρος αποφασεων συρρικνώνεται σε χωρο πεπερασμενων διαστασεων

Καναλι

r

s

Σ

n

  • Εκπεμπουμε ενα σημα το οποιο απεικονιζεται με το διανυσμα πληροφοριας Κ διαστασεων: s = [s1, s2,…, sK] {s1,s2,…,sM}

  • Λαμβανουμε το διανυσμα r = [r1, r2,…,rK]= s+n, το οποιο ειναι το αθροισμα του εκπεμπομενου διανυσματος s και του διανυσματος του θερυβου n = [n1,n2,…nK].

  • Δοθεντος του r θελουμε να βρουμε μια εκτιμηση ŝτου εκπεμπομενου διανυσματος sωστε να ελαχιστοποιειται η πιθανοτητα σφαλματος Ps=Pr[ŝs]

ŝ

Δεκτης

r


Map maximum a posteriory probability
Κανονας Αποφασης μεγιστης μεταπιθανοτητας MAP (Maximum a posteriory Probability)

  • Υποθετουμε οτι τα διανυσματα {s1,s2,…,sM} με τα οποια μεταδιδονται τα Μ διαφορετικα συμβολα, εκπεμπονται με πιθανοτητες {p1, p2,…,pM} αντιστοιχα, και οτι λαμβανεται το διανυσμα r.

  • H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν στον δεκτη η εκτιμηση ŝειναι το διανυσμα smγια το οποιο ισχυει:

    Pr[sm|r]  Pr[si|r], mi

    (ΜΑΡ receiver)

  • Ισοδυναμα (Bayes)


Ml maximum likelihood
Κανονας Αποφασης μεγιστης πιθανοφανειαςML (Maximum Likelihood)

  • Αν p1=p2=…=pm =1/M, ή αν οι πιθανοτητες εκπομπης των συμβολων ειναι αγνωστες (οπότε υποτίθεται ισες), τοτε ο κανονας MAP ισοδυναμει με τον ML

  • H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν επιλεξουμε ως εκπεμπομενο συμβολο το sm το οποιο ικανοποιει την σχεση :

    p(r|sm)  p(r|si), mi.

    (ML receiver)


Υπολογισμος πιθανοτητων πιθανοφανειας

  • Για να εφαρμοσουμε τους κανονες αποφασης MAP και ML χρειαζεται ο υπολογισμος των πιθανοτητων p(r|sm).

  • Επειδη r = sm + n,οπου το smειναι ενα σταθερο διανυσμα, αρκει να υπολογισουμε την p(n) = p (n1, n2,…,nK) που ειναι η από κοινου pdf των Κ τυχαιων μεταβλητων ni.

  • Ο θορυβος n(t) ειναι μια Gaussian τυχαια διαδικασια

    • Επομενως η συνιστωσα του

      ειναι μια Gaussian τυχαια μεταβλητη.

    • Κατα συνεπεια η p(n1, n2,…,nK) ειναι η απο κοινου pdf Κ Gaussian μεταβλητων


Pdf p n
Υπολογισμος της πιθανοφανειαςpdf του θορυβου, p(n)

  • Οι Gaussian μεταβλητες niκαι nkειναι ασυσχετιστες

    Πραγματι:


Pdf p n 2
Υπολογισμος της πιθανοφανειαςpdf του θορυβου, p(n) (2)

  • Επειδη Ε[nink]=0 για ik, οι συνιστωσες του θορυβου ειναι ασυσχετιστες και επομενως ανεξαρτητες.

  • Επειδη Ε[nk2] =N0/2, καθε συνιστωσα του θορυβου εχει μεταβλητοτητα (variance) ιση με Ν0/2. Κατα συνεπεια:

p(n)=


Pdf r p r s m
Η υπο συνθηκη πιθανοφανειαςpdf του λαμβανομενου σηματος r, p(r|sm)

  • Oι μεσες τιμες των συνιστωσων του λαμβανομενου σηματοςείναι oι αντιστοιχες συνιστωσες του εκπεμπομενου διανυσματος,

    nk=rk-sm,kκαι επομενως:


Δομη του βελτιστου Δεκτη πιθανοφανειας

  • Κανονας αποφασης MAP:


Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων

  • Απο τα πιο πανω προκυπτει οτι επιλεγεται εκεινο η κυματομορφη sm(t) απο το σημειο της οποιας στον αστερισμο των σηματων εχει την μικροτερη ευκλείδεια αποσταση το σημειο προβολης του λαμβανομενου σηματος r(t).

n'(t)

f2(t)

[s1,1, s1,2]

[r1, r2]

f1(t)


Δομη του βελτιστου Δεκτη στον χωρο σηματων (συνεχεια)

  • Απαλειφοντας ορους οι οποιοι ειναι κοινοι για ολες τις επιλογες εχουμε:

  • Πολλαπλασιαζουμε και με το Ν0/2 και εχουμε την τελικη μορφη του MAPreceiver


Φυσικη ερμηνεια του αποτελεσματος

  • Το (Ν0/2)ln[pm] δειχνει την σημασια της πιθανοτητας εκπομπης ενος συμβολου.

    • Αν ο θορυβος ειναι μεγαλος, η pmεχει μεγαλη βαρυτητα

    • Αν ο θορυβος ειναι μικρος, το λαμβανομενο σημα θα μοιάζει πολυ με το εκπεμπομενο και η σημασια των pmειναι μικρη.

  • Το ειναι η συσχετιση του εκπεμπομενου με το λαμβανομενο σημα.

  • Το ειναι η ενεργεια του εκπεμπομενου σηματος


Correlation receiver
Μια υλοποιηση του βελτιστου δεκτηΟ Correlation Receiver

Ειδαμε οτι

r(t)

Χ

Σ

Σ

-Ε1/2

(Ν0/2)ln(p1)

s1(t)

Επιλογη

του

μεγαλυτερου

.

.

.

.

r(t)

Χ

Σ

Σ

-Εm/2

(Ν0/2)ln(pm)

sm(t)

r(t)

Χ

Σ

Σ

-ΕM/2

(Ν0/2)ln(pM)

sM(t)


Απλοποιησεις για ειδικες περιπτωσεις

r(t)

Χ

s1(t)

Επιλογη

του

μεγαλυτερου

.

.

.

.

r(t)

Χ

sm(t)

r(t)

Χ

  • Κριτηριο ML: Αν ολα τα σηματα ειναι ισοπιθανα (p1=p2=…=pM) οι πιθανοτητες εκπομπης pm μπορουν να αγνοηθουν.

  • Αν ολα τα σηματα εχουν ιση ενεργεια (Ε1=Ε2=...=ΕΜ) οι οροι ενεργειας μπορουν επισης να αγνοηθουν.

  • Τελικα το κριτηριο αποφασης απλοποιειται στο:

Δεκτης συσχετισης

Correlation Receiver

sΜ(t)


Υλοποιηση μειωμενης πολυπλοκοτηταςi) Η βαθμιδα συσχετισης

  • Μπορουμε να ελαττωσουμε τον αριθμο των συσχετιστων αν υλοποιησουμε την εκφραση του ŝσυναρτησει των συναρτησεων βασης

Προβολη του r(t) στις συναρτησεις βασης (υπολογισμος των rk)

r(t)

r1

Χ

f1(t)

r=[r1,r2,…,rK]

συνιστωσες του λαμβανομενου

σηματος στο συστημα των

συναρτησεων βασης

r(t)

Χ

rK

fK(t)


Υλοποιηση μειωμενης πολυπλοκοτηταςii) Η βαθμιδα Επεξεργασιας

Σ

Σ

Επιλογη

του

μεγαλυτερου

r=[r1,r2,…,rK]

-Ε1/2

(Ν0/2)ln(p1)

Χ

S

Σ

Σ

-ΕΜ/2

(Ν0/2)ln(pM)


Matched filter receiver
Ο Δεκτης Προσαρμοσμενου Φιλτρου πολυπλοκοτηταςMatched Filter Receiver

  • Υποθετουμε οτι οι συναρτησεις βασης fk(t) ειναι μη μηδενικες στο διαστημα [0,Τ], και οριζουμε την hk(t) = fk(T – t) fk(t) = hk(T – t)

  • Τοτε

    οπου το r(t)hk(t)|t=Tσυμβολιζει την τιμη της συνελιξης των σηματων r(t) και hk(t) κατα την στιγμη t=T.

  • Μπορουμε δηλαδη να υλοποιησουμε την συσχετιση του r(t) με την συναρτηση βασης fk(t) περνώντας το r(t) μεσα απο ενα γραμμικο φιλτρο με κρουστικη αποκριση hk(t) = fk(T – t). To φιλτρο αυτο ονομαζεται "προσαρμοσμενο - matched"


Correlator
Υλοποιηση του πολυπλοκοτηταςcorrelator με προσαρμοσμενο φιλτρο

hk(t) = fk(T – t)

t=T

h1(t)

r(t)

r1

Βαθμιδα

επεξεργασιας

r=[r1,r2,…,rK]

t=T

hK(t)

r(t)

rK

Προσαρμοσμενο φιλτρο


Correlator 2
Υλοποιηση του πολυπλοκοτηταςcorrelator με προσαρμοσμενο φιλτρο (2)

  • Χωρις προβολη στις συναρτησεις βασης

t=T

s1(Τ-t)

r(t)

Σ

Σ

-Ε1/2

(Ν0/2)ln(p1)

Επιλογη

του

μεγαλυτερου

.

.

.

.

r(t)

Σ

Σ

sm(Τ-t)

-Εm/2

hm(t)=sm(T-t)

(Ν0/2)ln(pm)

r(t)

s1(Τ-t)

Σ

Σ

-ΕM/2

Προσαρμοσμενα φιλτρα

(Ν0/2)ln(pM)


Παραδειγμα σχεδιασης Βελτιστου Δεκτη

  • Το συνολο των σηματων μας ειναι οι ακολουθες κυματομορφες, Μ=4:

  • s1(t) s2(t)

  • s3(t) s4(t)

1

1

2

1

2

1

2

t

t

-1

1

1

1

1 2

1

2

1

2

t

t

T=2, E1=E2=E3=E4=2


Correlation rx
Δεκτης συσχετισης ( ΔεκτηCorrelation Rx)

Επειδη τα σηματα εχουν ισες ενεργειες μπορουμε

να τις αγνοησουμε

r(t)

Χ

Σ

Σ

-Ε1/2

(Ν0/2)ln(p1)

s1(t)

Επιλογη

του

μεγαλυτερου

.

.

.

.

r(t)

Χ

Σ

Σ

-Ε4/2

(Ν0/2)ln(p4)

s4(t)


Matched filter rx
Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου Δεκτη(Matched Filter Rx)

hk(t) = sk(2 – t)

t=2

h1(t)

r(t)

Σ

(Ν0/2)ln(p1)

Επιλογη

του

μεγαλυτερου

t=2

h4(t)

r(t)

Σ

(Ν0/2)ln(p4)


Σχεδιαση βελτιστου δεκτη μειωμενης πολυπλοκοτητας

  • Το πιο κατω συνολο συναρτησεων αποτελει μια πληρη ορθοκανονικη βαση για τις 4 κυματομορφες του παραδειγματος:

  • f1(t) f2(t)

  • s1(t) = 1·f1(t) +1·f2(t), s2(t) = 1·f1(t) - 1·f2(t)

  • s3(t) = -1·f1(t) +1·f2(t), s4(t) = -1·f1(t) -1·f2(t)

1

1

1 2

1 2

-1

-1


Δεκτης μειωμενης πολυπλοκοτητας μειωμενης πολυπλοκοτηταςΒαθμιδα συσχετισμου

  • Δεκτης Συσχετισης

  • Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου

r1

r(t)

Χ

r=[r1 r2]

f1(t)

r(t)

Χ

r2

f2(t)

hk(t) = fk(2 – t)

h1(t)

r1

h1(t)

r(t)

t=2

1 2

r=[r1 r2]

h2(t)

h2(t)

r(t)

r2

1 2


Δεκτης συσχετισης μειωμενης πολυπλοκοτηταςΒαθμιδα Επεξεργασιας

1·r1+1·r2

Σ

Ν0ln(p1)/2

1·r1-1·r2

Σ

Ν0ln(p2)/2

-1·r1+1·r2

Σ

Ν0ln(p3)/2

-1·r1-1·r2

Σ

Ν0ln(p4)/2

f2

s1

s3

• •

••

f1

s4

s2

Επιλογη

του

μεγαλυτερου

r=[r1,r2]

Χ

S


Αναλυση λειτουργιας του δεκτη συσχετισης (Μονοδιαστατος χωρος σηματων)

Εκπεμπομενο σημα

(ΝΤ)

r(t)

f(t)=(1/T) για 0≤t≤T

= 0 αλλου

trigger at t=kT



Λειτουργια δεκτη προσαρμοσμενου φιλτρου

(ΝΤ)

r(t)

h(t)=f(T-t)

Εδώ h(t)=1/T για 0≤t≤T

= 0 αλλου

trigger at t=kT


Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων

  • Απο τα προηγουμενα προκυπτει οτι ο δεκτης MAP επιλεγει εκεινη την κυματομορφη sm(t) η οποια εχει την μικροτερη ευκλείδεια αποσταση απο το σημειο προβολης του λαμβανομενου σηματος r(t) στον χωρο των σηματων.

n'(t)

f2(t)

[s1,1, s1,2]

[r1, r2]

f1(t)


Περιληψη της σχεδιασης του βελτιστου Δεκτη

  • Ο βελτιστος συμφωνος (coherent) δεκτης για τον AWGN εχει τρια μερη:

    • Το πρωτο μερος συσχετιζει το λαμβανομενο σημα με καθε ενα απο τα πιθανα να μεταδοθουν σηματα

    • Το δευτερο κανονικοποιει την συσχετιση εισάγοντας την επιδραση της ενεργειας καθε σηματος.

    • και το τριτο εισαγει την επιδραση της πιθανοτητας εκπομπης ενος συμβολου σε συναρτηση με την ισχυ του θορυβου.

  • Αυτος ο δεκτης ειναι γενικης εφαρμογης για καθε συνολο σηματων.

  • Απλοποιησεις ειναι δυνατες κατω απο διαφορες συνθηκες.


Κριτηρια επιδοσεων τηλεπικοινωνιακων συστηματων

  • Η πιθανοτητα σφαλματος ειναι το βασικο κριτηριο επιδοσεων ενος συστηματος διαμορφωσης-αποδιαμορφωσης.

  • Σφαλμα εχουμε οταν η εκτιμηση ενος συμβολου ειναι διαφορετικη απο το πραγματικο συμβολο d.

    • Ο λογος που εχουμε σφαλματα φαινεται στα πιο κατω διαγραμματα προβολης των λαμβανομενων σηματων στις συναρτησεις βασης


Περιοχες Αποφασης τηλεπικοινωνιακων συστηματων

  • Βελτιστος κανονας αποφασης:

  • Εστω οτι η ειναι η περιοχη οπου

     jm

  • Τοτε η περιοχη Rmειναι η m-οστη "περιοχη αποφασης" (= η περιοχη οπου αν πεσει το r αποφασιζεται ότι σταλθηκε το m-οστο συμβολο)


Παρατηρησεις για τις περιοχες αποφασης

  • Τα ορια των περιοχων αποφασης ειναι καθετα στην γραμμη που συνδεει δυο σημεια του χωρου σηματων.

  • Αν τα σηματα ειναι ισοπιθανα, τα ορια αποφασης ειναι ακριβως στο μεσον της αποστασης μεταξυ δυο σημειων.

  • Αν τα σηματα δεν ειναι ισοπιθανα, η περιοχη του λιγωτερου πιθανου σηματος συρρικνώνεται.


Πιθανοτητα σφαλματος συμβολου αποφασης

  • Η Ps(e) = Pr[ŝs] ειναι η μεση πιθανοτητα σφαλματος συμβολου, δηλαδη:

    • οπου Pr[ŝsi|s=si]=P(E|si) ειναι η υπο συνθηκη πιθανοτητα να μην αποφασισει ο δεκτης οτι σταλθηκε το siοταν πραγματι στελνεται το si. Ειναι:

      P(E|si)=

  • Εχουμε πολλαπλή ολοκληρωση στην περιοχη Ri διοτι η pdf ειναι Κ διαστασεων


Υπολογισμος πιθανοτητας σφαλματος

  • Επειδη η πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου εξαρταται απο το μεγεθος της περιοχης αποφασης και οι περιοχες αποφασης ειναι εν γενει διαφορετικες για καθε σημειο του αστερισμου, θα υπολογισουμε την πιθανοτητα σφαλματος υποθετωντας οτι εκπεμφθηκε το συμβολο sm. Οι υπολογισμοι θα γινουν για m=1,…,M και θα χρησιμοποιησουμε το θεωρημα της ολικης πιθανοτητας για να συνδυασουμε τα αποτελεσματα.

  • Για δυαδικες διαμορφωσεις η διαδικασια εχει ως εξης:

    • Υποθετουμε οτι στελνεται το s1και υπολογιζουμε την πιθανοτητα σφαλματος P(E|s1).

    • Υποθετουμε οτι στελνεται το s2και υπολογιζουμε την πιθανοτητα σφαλματος P(E|s2).

    • Χρησιμοποιουμε το θεωρημα της ολικης πιθανοτητας για να υπολογισουμε την μεση πιθανοτητα σφαλματος:

      P(E) = P(E|s1 )Pr{σταλθηκε το s1}+ P(E|s2 )Pr{σταλθηκε το s2}

      4. Κανουμε την λογικη υποθεση οτι

      Pr{σταλθηκε το s1}=Pr{σταλθηκε το s2}=1/2

      οποτε P(E) =(1/2)P(E|s1) + (1/2)P(E|s2)= (1/2)[P(E|s1) + P(E|s2)}


Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος συμβολου για το BPSK

  • Δυο σηματα αντιθετου προσημου Μ=2: (Ρ = η ισχυς του σηματος)

  • Μια συναρτηση βασης:

  • Παρασταση στον χωρο των σηματων:

  • Pr[s1] = Pr[s2] = 0.5 (ισοπιθανα συμβολα)

Eb

-Eb

Χ

Χ

s2

s1


Ορια των περιοχων αποφασης για το BPSK

  • Συμφωνα με τον ΜΑΡ κανονα αποφασης επιλεγεται το s1αν:

  • p(r|s1)Pr(s1)  p(r|s2)Pr(s2)

R2

R1

0

s1 = Eb r

s2= - Eb


Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος για το BPSK

Δηλαδη:


Πιθανοτητες σφαλματος για το σφαλματος για το BPSK

  • Στο προηγουμενο slide ειδαμε οτι:

  • Λογω συμμετριας:

  • Μολονοτι το αποτελεσμα εξηχθη για την περιπτωση του BPSK, το ιδιο αποτελεσμα ισχυει για καθε συνολο σηματων με το ιδιο διαγραμμα αστερισμου.

    Ps(e)= Q(di,j /2N0) οπου di,j ειναι η ευκλειδεια αποσταση των σημειων i και j


Γραφικη παρασταση της πιθανοτητας σφαλματος για το BPSK


Coherent fsk
Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο (coherent) FSK

  • Δυο ορθογωνια σηματα (Μ=2):

    • τα σηματα ειναι ορθογωνια για f1-f2=k/2T, οπου k = σταθ. (γιατι??).

  • Δυο συναρτησεις βασης:

  • Παρασταση στον χωρο των σηματων:


Περιοχες αποφασης για το δυαδικο συμφωνο FSK

f2(t)

R2

s2

R1

s1

f1(t)

Με περιστροφη και μετακινηση των αξονων εχουμε:

R2

R1

s2'= - Eb/2 s1'= Eb/2


Coherent fsk1
Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο (coherent) FSK

  • Καθε μεταθεση, περιστροφη ή ανακλαση των συντεταγμενων, που δεν αλλαζει την αποσταση μεταξυ των σηματων δεν επηρρεαζει την πιθανοτητα σφαλματος.

  • Επαναλαμβανοντας τους υπολογισμους για το BFSK με αντικατασταση του Εbμε το Eb/2 βρισκουμε οτι:


Ber bit error rate bpsk fsk
Διαγραμμα του σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο (BER (bit error rate) για το BPSK και FSK

To FSK ειναι κατά 3db χειροτερο του BPSK (χρειαζεται διπλασια ενεργεια ανα bit για την ιδια πιθανοτητα σφαλματος)

3db


Υπολογισμος πιθανοτητας σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο ASK

  • Δυο κυματομορφες (Μ=2):

  • Μια συναρτηση βασης:

  • Παρασταση στον χωρο σηματων:

    • οποτε

  • Το διαγραμμα αστερισμου ειναι ιδιο με του FSK οποτε:

μετα απο

μεταθεση

αξονων

=>

R2 R1

R2 R1

Χ

X

X

Χ

s2=0 Eb/2 s1=2Eb

s2=-Eb/2 0 s1=Eb/2


Διαμορφωση πολλαπλων επιπεδων σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο

  • Εστω m(t) το μηνυμα πληροφοριας

  • Δυαδικη σηματοδοσια: m(t)  {0,1}

  • M-ary σηματοδοσια : m(t)  {0, 1,…,M-1}

    • To σημα πληροφοριας παιρνει μια απο Μ τιμες

    • Μ=2k

    • k= αριθμος bits/symbol.

  • Παραδειγμα:

    • Μ διαφορετικες φασεις (M-ary PSK)

    • Μ διαφορετικα πλατη (M-ary ASK)

    • συνδυασμοι οπως η τετραγωνικη διαμορφωση πλατους (Quadrature Amplitude Modulation – QAM)


Βασικο πλεονεκτημα της διαμορφωσης πολλαπλων επιπεδων: Οικονομια φασματος

  • Εστω:

    • Τb η διαρκεια ενος bit

    • Tsη διαρκεια ενος συμβολου

  • Τοτε

    • Rb = 1/Tbειναι ο ρυθμος μεταδοσης bits

    • Rs = 1/Ts ειναι ο ρυθμος μεταδοσης συμβολων

  • Η πληροφορια μεταδιδεται με τον ρυθμο μεταδοσης των bits

  • Το ευρος φασματος ειναι αναλογο του ρυθμου μεταδοσης συμβολων

    • ενας μονο παλμος μεταδιδεται για καθε συμβολο


M ary psk mpsk
M-ary PSK (MPSK) διαμορφωσης πολλαπλων επιπεδων: Οικονομια φασματος

  • Παρασταση μετρου και φασης:

    • m(t)  {0, 1,…,M-1}

    • To Acειναι μια σταθερα και συμβολιζει το πλατος του σηματος.

  • Ειδικη περιπτωση: Μ=2 που αντιστοιχει στο BPSK


M 4 quadrature psk qpsk
M=4: Quadrature PSK (QPSK) διαμορφωσης πολλαπλων επιπεδων: Οικονομια φασματος

  • QPSK:

  • Διαφορετικη φαση για καθε συμβολο

  • Χρησιμοποιειται ευρυτατα

  • Παρασταση I/Q:


Διαγραμμα αστερισμου του διαμορφωσης πολλαπλων επιπεδων: Οικονομια φασματοςQPSK

y(t)

Αc

- Αc

Αc

x(t)

- Αc

Παρατηρηση: Διαφορετικες μετατοπισεις φασης μπορουν να

παραγουν διαγραμμα αστερισμου που προκυπτει απο το πιο πανω δια περιστροφης

Παραδειγμα:


Φασματικα χαρακτηριστικα του διαμορφωσης πολλαπλων επιπεδων: Οικονομια φασματοςMPSK

  • Η πυκνοτητα φασματικης ισχυος υπολογιζεται ευκολα αν θεωρησουμε το MPSK ως αθροισμα M σηματων ASK.


Πιθανοτητα σφαλματος συμβολου για το QPSK

  • Τα 4 σηματα του QPSK ειναι τα ακολουθα:

  • Τα σηματα αυτα μπορουν να παρασταθουν με τις συναρτησεις βασης:

  • Αυτη η παρασταση δινει τα ακολουθα διανυσματα πληροφοριας:

  • οπου Εs = PT= η ενεργεια ενος συμβολου


Το διαγραμμα αστερισμου του για το QPSK και οι περιοχες αποφασης

f2

s2

s1

s3

f1

s4


To qpsk 45 0
To για το διαγραμμα αστερισμου του QPSK μετα απο περιστροφη 450

s1=[Es/2, Es/2 ]

f2

s2

s1

s2=[-Es/2, Es/2 ]

f1

s3=[-Es/2, -Es/2 ]

s4=[Es/2, -Es/2 ]

s3

s4


Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος συμολου για το QPSK


Qpsk 2
Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος συμολου για το QPSK (2)


Πιθανοτητα σφαλματος συμβολου για το QPSK

  • H υπο-συνθηκη πιθανοτητα σφαλματος και για τα 4 σηματα ειναι ιδια, δηλαδη:

  • Η πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβόλου του QPSK ειναι σχεδον διπλασια εκεινης του BPSK:

  • Οταν μιλήσουμε πιο κατω για το BER (Bit Error Rate) θα δουμε οτι ειναι τα BPSK και QPSK εχουν ιδιο BER.


R qpsk bpsk
ΒΕ για το R διαγραμματα για το QPSK και το BPSK


Παρατηρησεις επι της διαδικασιας υπολογισμου των πιθανοτητων σφαλματος

  • Η πιθανοτητα σφαλματος ευρισκεται ολοκληρωνοντας την υπο-συνθηκη πιθανοτητα σφαλματος στην περιοχη αποφασης.

    • Ο υπολογισμος αυτος γινεται δυσκολα αν εχουμε χωρο πολλων διαστασεων

    • Με την καταλληλη περιστροφη, μεταφορα και ανακλαση των συντεταγμενων, μπορουμε να απλοποιησουμε τους υπολογισμους

  • Η συμπεριφορα ενος αστερισμου σηματων ως προς την πιθανοτητα σφαλματος εξαρταται αποκλειστικα απο τις αποστασεις των σημειων του αστερισμου

  • Η μεθοδος του “Union Bound” μας επιτρεπει να ελαττωσουμε τους υπολογισμους της πιθανοτητας σφαλματος σε μια σειρα υπολογισμων δυαδικων σφαλματων