電気回路学
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電気回路学. Electric Circuits. コンピュータサイエンスコース、ナノサイエンスコース 4 セメ開講. 回路に関する諸定理. 山田 博仁. 連絡事項. 1. 教科書および参考書 1 ) 大学課程 電気回路 ( 1 ) ( 第 3 版 )  大野 克郎、西哲 生 共著、オーム社 2 ) 電気回路  - 三相、過渡現象、線路 -  喜安 善市、斉藤 伸自 著、朝倉書店 3) 電気・電子工学基礎シリーズ 電気回路 山田 博仁 著、朝倉書店 2. 成績評価   ・ 講義点と定期試験の点数(約3:7の比率)を勘案して行う

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Presentation Transcript


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電気回路学

Electric Circuits

コンピュータサイエンスコース、ナノサイエンスコース4セメ開講

回路に関する諸定理

山田 博仁


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連絡事項

1. 教科書および参考書

1)大学課程 電気回路(1) (第3版) 大野 克郎、西哲 生 共著、オーム社

2)電気回路 - 三相、過渡現象、線路 - 喜安 善市、斉藤 伸自 著、朝倉書店

3) 電気・電子工学基礎シリーズ 電気回路 山田 博仁 著、朝倉書店

2. 成績評価

  ・ 講義点と定期試験の点数(約3:7の比率)を勘案して行う

  ・ 講義点(約30点)は毎回講義時のレポート提出をもって認定する

  ・ 定期試験を受けていない者は再試を受けても失格となる

(再試は行なわないかも知れない)

3. オフィスアワー

   随時、場所: 2号館203号室 (事前に電話またはE-mailにより予約のこと)

E-mail: [email protected](内線): 7101

4. 連絡および講義資料のダウンロード: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/

5. 講義に関するご意見などはブログ「講義の落書き帳」へ: http://kougi.at.webry.info/


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講義日程と内容

日程 (回目)講義内容教科書、参考書の章との対応

1)2)3)

10/1(第1回) 重ね合わせの理            8.1-5.1, 5.2

10/8(第2回) 双対回路と相反定理        8.2, 8.3-5.3~5.5

10/15 (第3回) 等価電源と補償定理        8.4, 8.5-5.6, 5.7

10/22 (第4回) 供給電力最大の法則         8.6-3.4e

10/29 (第5回) 二端子対網、 Y行列        9.1, 9.2-6.1, 6.3

11/5(第6回) Z行列と縦続行列          9.3, 9.4-6.2, 6.4

11/12(第7回) 諸行列間の関係、Y-D変換    9.7, 9.8-6.6, 6.7

11/19(第8回)  二端子対網の伝送的性質   10.1, 10.2-6.8

11/26(第9回) 円線図                  10.7-3.5c

12/3(第10回) 分布定数線路の方程式        -8.1~8.37.1~7.4

12/10(第11回) 線路の縦続行列、波の反射     -8.4~8.67.5~7.8

12/17(第12回) 理想線路、無ひずみ線路      -8.87.9

1/7(第13回) 複合線路                -9.17.10

1/14(第14回) 無損失線路と反射波         -9.27.11

1/21(第15回) まとめ

1/28(予備日)


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TAの紹介

井元 敦生(M1)

E-mail: [email protected]

研究室Tel: 795-7104

電気回路学の学習に関すること、

何でもお気軽にご相談ください


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線形回路

実在する抵抗は、抵抗値が素子を流れる電流 Iの関数になっている(非線形素子)

R(I)

I

V

R (I1+I2) = R I1 + R I2

Rが線形素子なら、

(重ね合わせ)

Rが線形でなければ、                     である

R(I1+I2) (I1 + I2) ≠ R(I1) I1 + R(I2) I2

つまり、Vと Iは比例関係にない

V = R(I)I

しかし、電流がごく小さい範囲では、R =一定とみなせる(線形近似)

R

V = R I

つまり、Vと Iは比例

(重ね合わせ)

Rが線形であれば重ね合わせが可能で、素子に I1のみが流れている状態と、I2のみが流れている状態を重ね合わせると、 I1と I2が同時に流れている状態に等価となる

実在する電気回路素子は非線形素子であるが、線形電気回路学では近似的に線形素子として扱える場合を対象にしている


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重ね合わせの理

Z1

E1

Z1

E1

J1

Z2

Z2

Z3

Z4

E2

Z3

Z4

J2

Z1

J1

Z2

Z3

Z4

複数の電源を含む線形回路網中の電圧・電流分布は、各電源が単独にその位置に存在するときの分布の総和に等しい。

I1

I

E1のみ存在

V

V1

その他の電源は殺す

電圧源→短絡

電流源→開放

In

複数の電源を含む回路網

J1のみ存在

Vn

その他の電源は殺す

V = V1 + V2 + ‥ + Vn

I = I1 + I2 + ‥ + In


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重ね合わせの理の証明

インピーダンス

(Z)行列

Z行列は、線形回路なので普遍

n 個の電圧源 E1, E2, ‥, Enが存在する線形回路網において、各閉路に電流 I1, I2,‥, Inが流れていたとすれば、

次に E1のみが存在する場合の各閉路の電流を I11, I12,‥, I1nとすれば、

次に E2のみが存在する場合の各閉路の電流を I21, I22,‥, I2nとすれば、


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重ね合わせの理の証明

さらに Enのみが存在する場合の各閉路の電流を In1, In2,‥, Innとすれば、

(2), (3), ‥ ,(4)式の左辺同士、右辺同士を足し合わせると、

(5)式と(1)式とを比較すると、

即ち、もとの回路の電流は、各電源が単独に存在する場合の電流の総和となる。


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重ね合わせの理

I1

I

I2

重ね合わせの理

I3

例題8.1

E1のみ

E2のみ

J のみ


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重ね合わせの理

I

I1

重ね合わせの理

I2

I3

例題8.2

E1のみ

E2のみ

Jのみ


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重ね合わせの理

I1

演習問題(8.1)

I

E1のみ


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重ね合わせの理

I2

I2

I3

E2のみ

Jのみ


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出席レポート問題

I

R

2E

2R

E

2R

J

R1

R2

R3

I4

E

R4

J

以下の回路において、Iと I4 を求めよ

(a)

(b)

  • 次回の講義(10/8)の時までに提出された場合のみ、本日の出席を認定

  • 提出先: 次回の講義時に持参するか、私のメールボックスまで


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双対性

直列接続

並列接続

電圧 V

電流 I

短絡

開放

インピーダンス Z

アドミタンス Y

閉路

カットセット

抵抗 R

コンダンタンス G

D型接続

インダクタンス L

キャパシタンス C

Y型接続

キルヒホッフの第2法則

キルヒホッフの第1法則

リアクタンス X

サセプタンス B

電圧源 E

電流源 J

電気回路においては、法則や記述などが多くの場合に二つずつ対をなして現れる。例えば、電圧と電流、抵抗とコンダクタンス、並列と直列などがそれに当たり、このような対応関係にある概念は双対といわれる。

双対関係にある素子などの例

双対関係にある概念の例

双対回路

ある電気回路に対して成立する関係式があるとき、その関係式に対して電圧と電流とを入れ替えた式もまた成立し、この新たな関係式を満足するような電気回路があるとき、このような2つの回路を互に双対回路という。


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双対回路

I

I

E = RI

E = jwLI

R

L

E

E

J = jwCV

C

V

V

J = GV

G

J

J

上の2つは双対回路

上の2つも双対回路


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双対回路の作り方

q

1’

Z

1

Y

E

J

2

2’

p

J

E

E

p

双対な回路を求めるには、まず双対グラフを求め、原グラフの枝と双対グラフの枝とが合い交わる枝同士で、素子をそれと双対な素子に入れ換えればよい。

q

p

原回路

双対なグラフ

双対回路

原グラフ

電源など、極性のある素子の扱い

(a) 電圧源 → 電流源

 原回路で点 p を囲んで時計回りに電圧が上昇(降下)する電圧源なら、新回路では点 p の方向(点 p から出る方向)に電流を流す電流源になる


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双対回路の作り方

J

J

E

Z1

Z3

p

p

Z2

E1

E2

J

L

C

G

(b) 電流源 → 電圧源

 原回路で点 p を囲んで時計回りに(反時計回りに)電流を流す電流源なら、新回路では点 p の方向に電圧が上昇(降下)する電圧源になる

(c) ダイオード → ダイオード

 原回路で点 pを囲んで時計回りに順方向(逆方向)のダイオードなら、新回路では p の向きに順方向(逆方向)のダイオードとなる

以下の回路と双対な回路を求めよ


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双対回路の作り方

Z1

Z3

Z2

E1

E2

原回路

原グラフ

Y3

Y2

Y1

Y2

Y1

Y3

p

q

J1

J2

J1

J2

r

双対回路

双対なグラフ


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双対回路の作り方

4

J1

2

1

原回路の電源 J2が閉路2と同じ向きなので、節点2に向かうように E2=K J2を入れる

J2

E2

原回路の電源 E1が閉路3と同じ向きなので、節点3に向かうように J1=E/Kを入れる

E1

3


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逆回路

Z1

Z2

逆回路

逆回路とは

2つの二端子回路があり、そのインピーダンスを Z1, Z2とするとき、その積が周波数 wに関係なく Z1Z2=K2となるならば、二つの回路は Kに関して互いに逆回路であるという。

逆回路の作り方

D=1/C

ただし、D1=1/C1


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逆回路

演習問題(8.2)

Kに関しての逆回路を求めよ

逆回路

上の二つの回路は双対回路となっているが、逆回路は Z1Z2=K2の関係を満たしていればよいので構造的な双対性は必要なく、一般に種々の逆回路が存在する


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逆回路

演習問題(8.2)の解答

Kに関しての逆回路は、


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定抵抗回路

インピーダンスが wに依存しない二端子回路

下の回路のインピーダンスはいずれも Rとなり、wには依存しない定抵抗回路

Z

R

R

R

R

Z

R

Z

Z

R

Z

R

10/8の出席レポート問題

 上記回路のインピーダンスがいずれも Rとなることを確かめよ

※ 次回の講義(10/15)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと


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定抵抗回路

インピーダンス

つまり、

従って、

演習問題(8.4)

この式が、周波数 wの値に関係なく成立するためには、分母と分子の各項の係数の比が R0に等しくなければならない


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定抵抗回路

I1+I2

I1

V

I2

E

I1- I2

I2

I1

I1+I2

演習問題(8.6)

また、


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相反定理

Ip’

Iq

Black Box

Black Box

Vq

Eq’

Ep

Jp

Jq’

Vp’

EpIp’= Eq’Iq

の関係が成り立つ時

p

q

相反回路

JpVp’= Jq’Vq

の関係が成り立つ時

相反回路


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相反定理の証明

I1

線形回路網

E1

I2

E2

In

En

I1’

線形回路網

E1’

I2’

E2’

In’

En’

線形回路網において、各閉路に電圧源E1, E2, ‥, Enがあるとき、各閉路の電流をI1, I2, ‥, Inとすると、

回路が線形ならば、Z行列は電流値に依らず普遍。

また、回路網が相反回路なら、Zjk = Zkjが成り立つ。つまり、Z行列は対称行列となる。

また、各閉路に電圧源E1’, E2’, ‥, En’があるとき、各閉路の電流をI1’, I2’, ‥, In’とすると、


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相反定理の証明

上式の両辺に対して右から

を作用させると、

(1)式から、転置行列の公式および Z行列が対称行列であることを用いて、


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相反定理の証明

(2)式の関係より、

つまり、

従って、

この特別の場合として、p番目の端子対にのみ電圧源 Epを接続し、それ以外の端子対を短絡(Ep≠0 = 0)した時、q番目の端子に電流Iqが流れたとする。次にq番目の端子対にのみ電圧源 Eq’を接続し、それ以外の端子対を短絡(E’q≠0 = 0)した時、 p番目の端子に電流Ip’ が流れたとすると、EpIp’ = Eq’Iqとなる。


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