ฟังก์ชันและกราฟ

1. ฟังก์ชันและกราฟ ตัวอย่าง ตารางแสดงอุณหภูมิในฤดูร้อนระหว่างวันที่ 19-29 มิถุนายน 1990 อุณหภูมิ H ขึ้นกับวันที่ t : H=f(t) ตัวแปรอิสระ หรือ ตัวแปรต้น คือ วัน ตัวแปรตาม หรือ ผลลัพธ์ คือ อุณหภูมิ เซตของตัวแปรอิสระ เราเรียกว่า โดเมน (domain) เซตของตัวแปรตาม เราเรียกว่า เรนจ์ (range)

2. ในที่นี้ นอกจากนี้ ฟังก์ชัน H=f(t) สามารถเขียนอยู่ในรูปของเซตที่มีสมาชิกเป็นคู่ลำดับได้ดังต่อไปนี้

3. การนำข้อมูลมาเขียนกราฟการนำข้อมูลมาเขียนกราฟ

4. บทนิยามฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ของเซต 2 เซต ภายใต้หลักเกณฑ์ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง 2 เซตนั้น โดยที่ แต่ละสมาชิกในเซตที่กำหนดให้(โดเมน) ทำให้ได้สมาชิกในอีกเซตหนึ่งเพียงตัวเดียวเท่านั้น (เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์) A B C x y

5. A B C x y ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ A ถูกส่งไปยังสมาชิก 2 ตัว (Not well-defined)

6. ตัวอย่าง กำหนดฟังก์ชัน f และ g ดังนี้

7. Discussion จงหาโดเมนและเรนจ์ของ

8. ตัวอย่าง ในการศึกษาแบคทีเรียชนิดหนึ่ง พบว่า แต่ละเซลล์จะแบ่งตัวเป็น 2 เซลล์ในทุกๆ 2o นาที กำหนดให้เริ่มต้นการทดลอง มีแบคทีเรียอยู่ 1 เซลล์ จงหาจำนวนแบคทีเรีย เมื่อเวลาผ่านไป t นาที

9. ตัวอย่าง ในการศึกษาแบคทีเรียชนิดหนึ่ง พบว่า แต่ละเซลล์จะแบ่งตัวเป็น 2 เซลล์ในทุกๆ 2o นาที กำหนดให้เริ่มต้นการทดลอง มีแบคทีเรียอยู่ 1 เซลล์ จงหาจำนวนแบคทีเรีย เมื่อเวลาผ่านไป t นาที

10. รูปแบบการนำเสนอฟังก์ชันรูปแบบการนำเสนอฟังก์ชัน • ตารางข้อมูล • ข้อความ (เช่นโจทย์เรื่องแบคทีเรีย) • กราฟ • สูตร • เซตของคู่อันดับ

11. ฟังก์ชันและกราฟที่ควรรู้จักฟังก์ชันและกราฟที่ควรรู้จัก ฟังก์ชันพีชคณิต (algebraicfunction) • ฟังก์ชันพหุนาม • ฟังก์ชันตรรกยะ • ฟังก์ชันพีชคณิตอื่นๆ

12. ฟังก์ชันพหุนาม เป็นจำนวนเต็มบวกหรือ 0

13. ระดับขั้นของพหุนามคือ อันดับสูงสุดของ x ที่ปรากฎในพหุนาม นั่นคือ f(x) เป็นพหุนามระดับขั้น n เมื่อ n ≠ 0 ระดับขั้น = 4 ระดับขั้น = 1

14. 1. ฟังก์ชันคงตัว : a0

15. 2. ฟังก์ชันเชิงเส้น: y = x+2 การร่างกราฟของสมการเส้นตรง ทำได้โดยหาจุดบนเส้นตรงนั้น 2 จุดแล้วลากเส้นตรงเชื่อมทั้ง 2 จุด

16. 2. ฟังก์ชันกำลังสอง: y = Ax2 + Bx + C, A < 0 y = Ax2 + Bx + C, A > 0 กราฟของฟังก์ชันกำลังสองดังที่กล่าวมานี้มีชื่อว่า พาราโบลา

17. a > 0 a > 0 พาราโบลาคว่ำ จุดสูงสุดอยู่ที่ (b,c) พาราโบลาหงาย จุดต่ำสุดอยู่ที่ (b,c)

18. Discussion จงหาวาดกราฟของ

19. พิจารณาสัตว์เซลล์เดียว ซึ่งมีรูปร่างเป็นทรงกลม ความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ผิว S กับรัศมี r ของเซลล์เป็นฟังก์ชันดังนี้ นั่นคือ S เป็นฟังก์ชันขึ้นกับตัวแปร r

20. พิจารณาการไหลของกระแสเลือดในหลอดเลือด สมมติว่า หลอดเลือดมีลักษณะเป็นทรงกระบอกที่ มีพื้นที่ภาคตัดขวางเป็นรูปทรงกลมขนาดเท่ากันตลอด และให้การไหลของกระแสเลือดมีทิศทางขนาน กับหลอดเลือด ให้ R เป็นรัศมีของหลอดเลือด ให้ r เป็นระยะห่างจากแกนกลางไปยังจุดใดๆ ในหลอดเลือด (cm.) จะได้ว่า ความเร็ว v ของกระแสเลือดที่ผ่านจุดนั้นคือ cm/s. R=0.2cm. ถ้าให้ K = 1100, R=0.2 cm.

21. ความเร็วต่ำสุด = 0 cm/s เกิดขึ้นที่ผนังของหลอดเลือด ความเร็วสูงสุด = 44 cm/s เกิดขึ้นที่แกนกลางของหลอดเลือด กราฟ ??? วาดได้ไหมคะ

22. ฟังก์ชันตรรกยะ : p(x), q(x) เป็นพหุนาม และ q(x) ≠ 0 Graph ??? เราจะมาวาดกันในส่วนท้ายของบทนี้

23. ฟังก์ชันพีชคณิตรูปแบบอื่นๆ คือ ฟังก์ชันพีชคณิตที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพหุนามและฟังก์ชันตรรกยะ แต่เป็นฟังก์ชันที่เกิดจากการ บวก ลบ คูณ หาร ยกกำลัง และ ถอดราก

24. นักสรีระวิทยาพบว่า พื้นที่ผิว S ของร่างกายสัตว์ (m2) มีความสัมพันธ์กับ น้ำหนัก W ของสัตว์นั้น (kg.) ดังสมการ เมื่อ K เป็นค่าคงที่ ซึ่งขึ้นอยู่กับชนิดของสัตว์ ถ้า K = 0.1 จะได้

25. ฟังก์ชันแยกนิยาม (Step function) ฟังก์ชันแยกนิยาม คือฟังก์ชันที่มีการกำหนดค่าต่างกันในแต่ละช่วงโดเมน Graph ??

26. ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = |x|

27. Discussion จงวาดกราฟของฟังก์ชัน f(x) = 2|x| จงวาดกราฟของฟังก์ชัน f(x) = x+2|x|

28. ฟังก์ชันขั้นบันได (Step function) ฟังก์ชันที่มีค่าคงตัวเป็นช่วงๆ เช่น เมื่อ [x] = จำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x 2 -1 0 1 3 [-0.4]=-1 [2.2]=2

29. -3 -2 -1 0 1 2 3

30. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง(Exponential function) ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = ax เมื่อ a >0

31. กราฟของฟังก์ชันชี้กำลังกราฟของฟังก์ชันชี้กำลัง

32. ฟังก์ชันลอการิทึม(Logarithm function) ฟังก์ชันที่อยู่ฟังก์ชันลอการิทึมคือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลโดยเป็นฟังก์ชันจาก R+ไป R (a>0) เราเรียกฟังก์ชัน y = logax ว่าฟังก์ชันลอการิทึมฐาน a ถ้า a = e ≈ 2.8 เราเรียก y = logex ว่าลอการิทึมธรรมชาติ

33. Domain = ? Range = ?

34. คุณสมบัติฟังก์ชันลอการิทึมคุณสมบัติฟังก์ชันลอการิทึม

35. กราฟของฟังก์ชันชี้กำลัง VS กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม

36. พีชคณิตของฟังก์ชัน (f+g)(x) = f(x) + g(x) (f-g)(x) = f(x) - g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x)≠0

37. Discussion ตัวอย่าง จงหาโดเมนของฟังก์ชัน

38. กราฟของฟังก์ชันใหม่จากฟังก์ชันเดิมกราฟของฟังก์ชันใหม่จากฟังก์ชันเดิม G(x)= x2 +2= F(x)+2 F(x)= x2 H(x) = x2-2 = F(x)-2 การเลื่อนตามแกน y

39. กำหนดกราฟ y = f(x) จงวาดกราฟ y = f(x)±c,c>0 F(x)+1 F(x) F(x) F(x)-1

40. กราฟของฟังก์ชันใหม่จากฟังก์ชันเดิมกราฟของฟังก์ชันใหม่จากฟังก์ชันเดิม H(x) = (x+1)2 G(x) = (x-1)2 การเลื่อนตามแกน x F(x) = x2

41. กำหนดกราฟ y = f(x) จงวาดกราฟ y = f(x±c),c>0 F(x-1) F(x) F(x+1) F(x)

42. Discussion กำหนดกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ดังรูป 2 1 -2 จงวาดกราฟของฟังก์ชัน y=f(x+2), y= f(x-2), y=f(x)+2, y= f(x)-2