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Análise Numérica

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Análise Numérica. Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética. Uso do computador. Porquê?. Problemas reais Modelos matemáticos Resoluções eficientes (com computadores…) Aplicações em áreas como Ciências Sociais Economia

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an lise num rica

Análise Numérica

Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética

Uso do computador

Análise Numérica - Apresentação

porqu
Porquê?

Problemas reais

Modelos matemáticos

Resoluções eficientes

(com computadores…)

Aplicações em áreas como

  • Ciências Sociais
  • Economia
  • Engenharia
  • Medicina ...

Análise Numérica

Análise Numérica - Apresentação

como funciona
Como funciona?
  • Aulas teóricas (teoria + exemplos)
  • Aulas práticas (máquina de cálcular +

computador )

  • Avaliação
    • Prova prática (computador) – (2 valores)

+

    • Exame final (máquina de calcular) – (18 valores)

Questão (computador) – (2 valores)

Análise Numérica - Apresentação

bibliografia
Bibliografia
  • Apontamentos na editorial

(e na página da disciplina)

  • Valença, Maria Raquel; Métodos numéricos
  • Pina, Heitor; Métodos numéricos
  • Burden, Richard L.; Numerical Analysis
  • Atkinson, Kendall E.; An introduction to numerical analysis
  • Stewart, G. W.; Afternotes on numerical analysis
  • Schilling, Robert J.; Applied numerical methods for engineers
  • Fausett, Laurene V.; Applied numerical analysis using Matlab

Análise Numérica - Apresentação

programa
Programa
  • Equações não lineares – Métodos iterativos
    • Problema: Encontrar as raízes de
    • Objectivo: Determinar

Análise Numérica - Apresentação

programa1
Programa
  • Métodos iterativos

Reescrever a equação:

Ambas são verificadas para

Análise Numérica - Apresentação

programa2
Programa
  • Estamos em presença de um Método Numérico Iterativo:
  • Produz uma solução aproximada
  • Processo rápido (neste caso)

Análise Numérica - Apresentação

programa3
Programa
  • Sistemas de equações lineares
    • Métodos Directos
    • Métodos Iterativos
  • Aproximação polinomial
    • Interpolação polinomial
    • Introdução ao método dos mínimos quadrados

Análise Numérica - Apresentação

programa4
Programa
  • Integração numérica
  • Diferenciação numérica
  • Introdução à resolução numérica de equações diferenciais
    • Exemplo: Movimento do pêndulo

Análise Numérica - Apresentação

programa5
Programa
  • Métodos Numéricos soluções aproximadas.

Como controlar o erro?

Teoria de erros

Análise Numérica - Apresentação

como se cometem erros
Como se cometem erros?...

sin( ) ≈ 0,707106781186547

Análise Numérica - Apresentação

erros dos instrumentos de c lculo
Errosdos instrumentos de cálculo
  • Exemplo

f(x,y)=333.75y6+x2(11x2y2-y6-121y4-2)+5.5y8+x/(2y)

    • Matlab

f(77617,33096) = -1.1806e+021 (Matlab)

    • Maple

f(77617,33096) = -0.8273960599468… (40 Digits)

f(77617,33096) = 0.1…×108 (30 Digits)

      • Resultado exacto = -0.8273960599468…

Análise Numérica - Apresentação

representa o dos n meros

0

overflow

underflow

overflow

-xmax

-xmin

xmin

xmax

Representação dos números
  • Números em vírgula flutuante (float)

Mantissa (<1 e 0.1) com t dígitos, expoente com k dígitos

  • Números representados pela máquina

(só um conjunto finito de pontos xi=xi -1(1+epsilon))

Epsilon=M=b-t+1

Float= sinal  mantissa  baseexpoente

Análise Numérica - Apresentação

uma pequena anima o
Uma pequena animação

Para ver o efeito de t e k na fórmula

Clique aqui

Nota: Se não consegue ver, instale o

Macromedia Flash Player

(em http://www.macromedia.com/downloads/ )

Análise Numérica - Apresentação

representa o dos n meros1
Representação dos números
  • Exemplos:
    • (32.4)10 +0.324102

(310-1+210-2+410-3)102

    • (-1011.11)2 -0. 10111124

(12-1+02-2+12-3+12-4+12-5+12-6)24

Análise Numérica - Apresentação

erros computacionais
– Erros computacionais
  • Qual a causa dos erros?
  • Nem todos os números podem ser representados
  • A adição (+) e a multiplicação () não são operações internas no conjunto dos números em vírgula flutuante

Análise Numérica - Apresentação

como aparecem resultados diferentes

193598496

193000515

597990.9

Como aparecem resultados diferentes?
  • Exemplo

256327553-594253247.8-3211862.9=-9.9

(exacto)

Máquina de cálcular com base=10 e:

Análise Numérica - Apresentação

porque aparecem resultados t o diferentes
Porque aparecem resultados tão diferentes?

Erro

>

resultado

Análise Numérica - Apresentação

como se podem evitar
Como se podem evitar?
  • Usando máquinas mais precisas.
  • Usando expressões equivalentes (na aritmética exacta) menos sensíveis aos erros nos cálculos.
    • Casa:

Calcule as duas expressões para

    • Maple

Análise Numérica - Apresentação

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