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Análise Numérica. Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética. Uso do computador. Porquê?. Problemas reais Modelos matemáticos Resoluções eficientes (com computadores…) Aplicações em áreas como Ciências Sociais Economia

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An lise num rica

Análise Numérica

Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética

Uso do computador

Análise Numérica - Apresentação


Porqu
Porquê?

Problemas reais

Modelos matemáticos

Resoluções eficientes

(com computadores…)

Aplicações em áreas como

  • Ciências Sociais

  • Economia

  • Engenharia

  • Medicina ...

Análise Numérica

Análise Numérica - Apresentação


Como funciona
Como funciona?

  • Aulas teóricas (teoria + exemplos)

  • Aulas práticas (máquina de cálcular +

    computador )

  • Avaliação

    • Prova prática (computador) – (2 valores)

      +

    • Exame final (máquina de calcular) – (18 valores)

      Questão (computador) – (2 valores)

Análise Numérica - Apresentação


Bibliografia
Bibliografia

  • Apontamentos na editorial

    (e na página da disciplina)

  • Valença, Maria Raquel; Métodos numéricos

  • Pina, Heitor; Métodos numéricos

  • Burden, Richard L.; Numerical Analysis

  • Atkinson, Kendall E.; An introduction to numerical analysis

  • Stewart, G. W.; Afternotes on numerical analysis

  • Schilling, Robert J.; Applied numerical methods for engineers

  • Fausett, Laurene V.; Applied numerical analysis using Matlab

Análise Numérica - Apresentação


Programa
Programa

  • Equações não lineares – Métodos iterativos

    • Problema: Encontrar as raízes de

    • Objectivo: Determinar

Análise Numérica - Apresentação


Programa1
Programa

  • Métodos iterativos

    Reescrever a equação:

    Ambas são verificadas para

Análise Numérica - Apresentação


Programa2
Programa

  • Estamos em presença de um Método Numérico Iterativo:

  • Produz uma solução aproximada

  • Processo rápido (neste caso)

Análise Numérica - Apresentação


Programa3
Programa

  • Sistemas de equações lineares

    • Métodos Directos

    • Métodos Iterativos

  • Aproximação polinomial

    • Interpolação polinomial

    • Introdução ao método dos mínimos quadrados

Análise Numérica - Apresentação


Programa4
Programa

  • Integração numérica

  • Diferenciação numérica

  • Introdução à resolução numérica de equações diferenciais

    • Exemplo: Movimento do pêndulo

Análise Numérica - Apresentação


Programa5
Programa

  • Métodos Numéricos soluções aproximadas.

    Como controlar o erro?

    Teoria de erros

Análise Numérica - Apresentação


Como se cometem erros
Como se cometem erros?...

sin( ) ≈ 0,707106781186547

Análise Numérica - Apresentação


Erros dos instrumentos de c lculo
Errosdos instrumentos de cálculo

  • Exemplo

    f(x,y)=333.75y6+x2(11x2y2-y6-121y4-2)+5.5y8+x/(2y)

    • Matlab

      f(77617,33096) = -1.1806e+021 (Matlab)

    • Maple

      f(77617,33096) = -0.8273960599468… (40 Digits)

      f(77617,33096) = 0.1…×108 (30 Digits)

      • Resultado exacto = -0.8273960599468…

Análise Numérica - Apresentação


Representa o dos n meros

0

overflow

underflow

overflow

-xmax

-xmin

xmin

xmax

Representação dos números

  • Números em vírgula flutuante (float)

    Mantissa (<1 e 0.1) com t dígitos, expoente com k dígitos

  • Números representados pela máquina

    (só um conjunto finito de pontos xi=xi -1(1+epsilon))

    Epsilon=M=b-t+1

Float= sinal  mantissa  baseexpoente

Análise Numérica - Apresentação


Uma pequena anima o
Uma pequena animação

Para ver o efeito de t e k na fórmula

Clique aqui

Nota: Se não consegue ver, instale o

Macromedia Flash Player

(em http://www.macromedia.com/downloads/ )

Análise Numérica - Apresentação


Representa o dos n meros1
Representação dos números

  • Exemplos:

    • (32.4)10 +0.324102

      (310-1+210-2+410-3)102

    • (-1011.11)2 -0. 10111124

      (12-1+02-2+12-3+12-4+12-5+12-6)24

Análise Numérica - Apresentação


Erros computacionais
– Erros computacionais

  • Qual a causa dos erros?

  • Nem todos os números podem ser representados

  • A adição (+) e a multiplicação () não são operações internas no conjunto dos números em vírgula flutuante

Análise Numérica - Apresentação


Como aparecem resultados diferentes

193598496

193000515

597990.9

Como aparecem resultados diferentes?

  • Exemplo

    256327553-594253247.8-3211862.9=-9.9

    (exacto)

    Máquina de cálcular com base=10 e:

Análise Numérica - Apresentação


Porque aparecem resultados t o diferentes
Porque aparecem resultados tão diferentes?

Erro

>

resultado

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Como se podem evitar
Como se podem evitar?

  • Usando máquinas mais precisas.

  • Usando expressões equivalentes (na aritmética exacta) menos sensíveis aos erros nos cálculos.

    • Casa:

      Calcule as duas expressões para

    • Maple

Análise Numérica - Apresentação


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