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6 장 . 계수 및 확률 (2)

6 장 . 계수 및 확률 (2). 이산수학 및 응용 하병현 bhha@pusan.ac.kr. 목차. 6.1 개요 6.2 가능성 트리 및 곱의 법칙 6.3 서로소인 집합의 원소 수 계산 : 합의 법칙 6.4 부분집합의 개수 계산 : 조합 6.5 중복을 허락하는 r - 조합 6.6 조합의 대수적 성질 6.7 이항정리 6.8 확률공리 및 기대값 6.9 조건부 확률 , Bayes 의 공식 및 독립사건. 6.3 서로소인 집합의 원소 수 계산 : 합의 법칙.

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Presentation Transcript

  1. 6장. 계수 및 확률(2) 이산수학 및 응용 하병현 bhha@pusan.ac.kr

  2. 목차 6.1 개요 6.2 가능성 트리 및 곱의 법칙 6.3 서로소인 집합의 원소 수 계산: 합의 법칙 6.4 부분집합의 개수 계산: 조합 6.5 중복을 허락하는 r-조합 6.6 조합의 대수적 성질 6.7 이항정리 6.8 확률공리 및 기대값 6.9 조건부 확률, Bayes의 공식 및 독립사건

  3. 6.3 서로소인 집합의 원소 수 계산: 합의 법칙 The whole of science is nothing more than a refinement of everyday thinking. Albert Einstein, 18791955

  4. 합의 법칙 • 정리 6.3.1: 합의 법칙 • 유한 집합 A가 k개의 서로 소인 부분집합 A1, A2, …, Ak의 합집합으로 이루어지면 N(A)  N(A1) + N(A2) + … + N(Ak) • 증명? • 예제 • 컴퓨터의 비밀번호가 1문자 이상 3문자 이하의 26개의 영문자로 만들어진다면, 가능한 비밀번호의 개수는? • 길이가 1인 비밀번호의 개수: 26 • 길이가 2인 비밀번호의 개수: 2626 • 길이가 3인 비밀번호의 개수: 262626 • 비밀번호의 총 개수: 26 + 2626 + 262626

  5. 합의 법칙 • 예제 • 100부터 999까지의 정수 중 5로 나누어 떨어지는 것의 개수는? • 0으로 끝나는 정수의 개수: 910 • 5로 끝나는 정수의 개수: 910 • 총 개수: 910 + 910

  6. 차집합 계수원리 • 정리 6.3.2: 차집합 계수원리 • 유한집합 A에 대해 집합 B가 A의 부분집합이면 N(A B)  N(A) N(B) • 증명? • 예제 • 비밀번호는 “26개의 영문자와 10개의 숫자”에서 고른 4개의 문자로 이루어진 열이다. 중복된 문자가 있는 비밀번호의 개수와 확률은? • 총 비밀번호의 개수: 36363636 • 문자의 중복이 없는 비밀번호의 개수: 36353433 • 그렇다면?

  7. 차집합 계수원리 • 예제(계속): 형식적으로 쓰면, • 모든 비밀번호의 집합: S • 중복이 없는 비밀번호의 집합: A • 여사건에 대한 확률 공식 • S가 유한한 표본공간이고 E가 S에서 사건이면, E에 대한 여사건의 확률은 다음과 같다. P(Ec)  1  P(E)

  8. 포함/제외 규칙 • 정리 6.3.3: 둘 또는 세 집합의 포함/제외 규칙 • A, B, C가 유한집합일 때, 다음의 규칙이 성립한다. • N(AB)  N(A) + N(B)  N(AB) • N(ABC)  N(A) + N(B) + N(C)  N(AB)  N(AC)  N(BC) + N(ABC) • 예제 • 1부터 1,000까지의 정수 중 3 또는 5의 배수의 개수는? 또, 3의 배수도 5의 배수도 아닌 것의 개수는?

  9. 6.3 부분집합의 개수 계산: 조합 “But ‘glory’ doesn’t mean ‘a nice knock-down argument,’” Alice objected. “When I use a word,” Humpty Dumpty said, in rather a scornful tone, “it means just what I choose it to meanneither more nor less.” Lewis Carroll, Though the Looking Glass, 1872

  10. 조합 • 예제 • 12명의 그룹에서 프로젝트를 수행할 팀을 구성하기 위해 5명을 선발한다. 가능한 경우의 수? • n개의 원소를 갖는 집합 S에 대해, S로부터 r개의 원소를 선택하는 방법의 개수? • 정의 • 음이 아니고 r n인 정수 n과 r에 대하여, n개의 원소를 갖는 집합의 r-조합(r-combination)은 n개의 원소 중 r개를 뽑아 만든 부분집합이다. 기호 C(n, r)은 n개의 원소를 갖는 집합의 r-조합의 개수를 나타낸다. 다른 표기:

  11. 조합 • 예제 • S{Ann, Bob, Cyd, Dan}에 대하여, 3명을 뽑아 위원회를 구성하는 각각의 방법은 S의 3-조합이다. • S의 3-조합을 모두 나열하면? • C(4, 3)의 값은? • 예제 • 집합 {0, 1, 2, 3}에서 순서를 고려하지 않고 2개의 원소를 선택하는 경우의 수는?

  12. r-조합의 개수 • 순열과 조합 간의 관계 • 순열의 수 P(n, r)은 다음과 같이 구할 수 있음 • n개의 원소를 갖는 집합의 r-조합의 수를 구함 • 각각의 r-조합에 대하여 r개를 나열하는 경우의 수를 계산 • 따라서, P(n, r)  C(n, r)r!임을 알 수 있다.

  13. r-조합의 개수 • 예제 • 12명의 그룹에서 둘은 항상 같이 일을 하거나 같이 일을 하지 않는다. 5명의 팀을 짜는 방법의 개수는? • C(10, 3) + C(10, 5) • 위에서 두 명이 헤어져 같이 일을 하지 않기로 했다. 5명의 팀을 짜는 방법의 개수는? • C(10, 4) + C(10, 4) + C(10, 5)

  14. r-조합의 개수 • 예제 • 남자 5명과 여자 7명의 그룹이 있다. • 남자 3명과 여자 2명으로 된 팀을 구성하는 방법의 개수는? • C(5, 3)C(7, 2) • 적어도 1명을 남자를 포함하는 팀을 구성하는 방법의 개수는? • C(12, 5)  C(7, 5) • 많아야 1명의 남자를 포함하는 팀을 구성하는 방법의 개수는? • C(5, 0)C(7, 5) + C(5, 1)C(7, 4)

  15. 1 2 3 4 5 6 7 8 r-조합의 개수 • 예제 • 3개의 A와 5개의 B를 포함하는 문자열의 개수? • 즉, 8개에서 3개를 고르는 경우의 수와 같음 • C(8, 3) A 세 개를 어디다 넣을지 결정하자

  16. r-조합의 개수 • 예제 • MISSISSIPPI에 포함된 문자들의 서로 다른 배열 방법의 개수는? • C(11, 4)C(7, 4)C(3, 2)C(1, 1) • 정리 6.4.2 • n개의 개체를 가진 집합에 종류 1이 n1개, 종류 2가 n2개, …, 종류 k가 nk개 있고 n1 + n2 + … + nk  n이라면 n개의 개체를 나열하는 서로 다른 순열의 수는 다음과 같다.

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