第三章 导数的应用
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第三章 导数的应用. * 第五节 曲 率. 一、弧微分. 二、曲率及其计算公式. 三、曲率半径和曲率圆. 即该曲线的任一弧段 M 0 M 是有方向的,. M 0 M 为有向弧段. 一、弧微分.   设函数 y = f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内有连续导数,即 f  ( x ) 连续.        我们在方程为 y = f ( x ) ( a < x < b ) 的曲线上取定点 M 0 ( x 0 , y 0 ). 作为计算曲线弧长的起点,. 并规定:. 点 M ( x , y ) 是其上任意一点 ,.

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一、弧微分

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第三章 导数的应用

*第五节 曲 率

一、弧微分

二、曲率及其计算公式

三、曲率半径和曲率圆


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即该曲线的任一弧段 M0M是有方向的,

M0M 为有向弧段.

一、弧微分

  设函数 y = f (x) 在区间(a, b)内有连续导数,即 f  (x) 连续.

       我们在方程为 y = f (x) (a < x < b)的曲线上取定点 M0(x0, y0)

作为计算曲线弧长的起点,

并规定:

点 M(x, y) 是其上任意一点,

(1) 以 x 增大的方向作为曲线的正方向,

简称曲线 y = f (x) 为有向曲线,


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                  当M0M 的方向与曲线的正向相反对,s 取负号.

 当 M0M 的方向与曲线的正向一致时,s 取正号;

(2)记有向弧段M0M 的长度为s,

在曲线上相应地有一个点 M(x, y),

对于任意一个 x  (a, b),

那么 s 就有 一个确定的值与之对应,

因此弧长 s 为 x 的函数.

s = s(x),

且由规定(2)可知,它是一个单调递增的函数.


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函数 s = s(x) 的增量为 s = MM1,

y

M1

T

M

N

M0

x

x

x +x

O

当 x 增大到 x + dx 时,

而点 M 处的切线 MT 的纵坐标的增量为 dy,

可以证明 s 与 MT 之差是 x 的高阶无穷小量,

s

所以函数 s = s(x) 的微分,

根据微分定义,

dy

即弧微分


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若曲线方程为

dx =  (t) dt,dy = f (t)dt,


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y

B



s

A

 +

x

O

二、曲率及其计算公式

  定义1弧AB 的切线转角a 与该弧长s之比的绝对值叫做该弧的平均曲率,

记为K,即


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定义2当点B 沿曲线L 趋向于A 时(上图(a)),

则称此极限为曲线L 在点A 处的曲率,记为K,

若弧AB 的平均曲率的极限存在,


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B

a

O

a

R

A

这时,弧 AB 上切线的转角等于半径 OA 与 OB 的夹角,

设圆的半径为 R,

又 s=R · a,

因此


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对曲线y = f (x) 的曲率计算问题.

由于 = arctan y,

由于y = tan ,

于是有


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若曲线由参数方程

所以其曲率公式为


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例1 计算函数y = x3在点(0, 0)与(-1, -1)处的曲率.

解 因为

y= 3x2,y  = 6x,

所以曲线在任意点处曲率为

即得点 M(0, 0)处的曲率 K(0)= 0.

将x = 0 代入上式,

将x = -1 代入上式,

即得点 M(-1, -1)处的曲率为


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(a > 0)在 t =  处的曲率.

例2 求曲线

解 因为

x = a(1 - cos t),

x = a sin t,

y = a sin t,

y = a cos t.


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所以得曲率

t =  代入上式,

即可得所求的曲率为


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三、曲率半径和曲率圆

  设曲线 y = f (x) 在某点 M (x, y) 的曲率为 K 且不为0,

称为该曲线在M (x, y) 处的曲率半径,

记为 R,

沿其凹向一侧的法线上取线段MC,

若在曲线y = f (x) 上的点M 处,

                     则点C 称为该曲线在点M 处的曲率中心.

其长等于曲率半径R,


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y

y = f (x)

C

M

O

x

以曲率半径 R 为半径的圆,

以 C 为中心,

叫做该曲线在点 M 处的曲率圆(如图).

  在研究曲线上某点附近的弧段的形态时,我们可以用曲线在该点的曲率圆上相应的弧段近似代替,以我们熟悉的圆的知识来分析曲线上这段弧的形态.


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y

y = 0.4x2

x

O

例3 设工件表面的截线为抛物线 y = 0.4x2.

现拟用砂轮磨削其内表面,

试问,选用多大直径的砂轮比较合适?

  解为了保证工件的形状与砂轮接触处附近的部分不被磨削太多,

          显然所选砂轮的半径应当小于或等于该抛物线上曲率半径的最小值.

为此,首先应计算其曲率半径的最小值,即曲率的最大值.


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y

y = 0.4x2

x

O

因为

y= 0.8x , y = 0.8,

所以曲率

因此,当 x = 0 时,

欲使曲率最大,

应使上式分母最小,

曲率最大,

K= 0.8.

于是曲率半径的最小值为

 即直径不超过 2.50 单位长的砂轮.

可见,应选半径不超过 1.25 单位长,


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