Matematika
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 37

Matematika PowerPoint PPT Presentation


  • 217 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Matematika. Számok, számítások. Egyiptomi számrendszer. Tízes számrendszer. Minden tíz hatványnak külön írásjele van. Ezeket többszörözik. Később a hieratikus írásnál külön számjegyek, amelyek helyiértéktől függően néznek ki. Egyiptomi számtan.

Download Presentation

Matematika

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Matematika

Matematika

Számok, számítások


Egyiptomi sz mrendszer

Egyiptomi számrendszer

Tízes számrendszer. Minden tíz hatványnak külön írásjele van. Ezeket többszörözik.

Később a hieratikus írásnál külön számjegyek, amelyek helyiértéktől függően néznek ki.


Egyiptomi sz mtan

Egyiptomi számtan

  • Csak egység számlálójú törteket használtak (kivéve 2/3és 3/4). A többi törtet ilyenek összegeként írták fel. Pl.: 1/5 duplája az 1/3+1/15-öt. Ezek a felbontások nehéz feladatok, táblázatokat használtak.

  • Szorzást kettőzéssel végezték el. 12*12 = 8*12+4*12 (időnként kiegészítették tízszerezéssel és felezéssel). Osztást is így végezték.


Rhind papirusz 26 feladata

Rhind papirusz 26. feladata

  • Egy mennyiség, ¼-ét hozzáadjuk. 15 lesz.

  • Számolj 4-től. Kiszámolod ¼-ét: 1.

  • Összesen 5.

  • Számolj 5-től, hogy 15-öt találj.

    • 15

    • 210

    • 3 az eredmény

  • Számolj 3-tól, 4-szer.

    • 13

    • 26

    • 412

    • 12 az eredmény


Matematika

  • A mennyiség 12. ¼-e: 3. Összeg: 15.

    • 112

    • ¼3

    • Összesen 15

  • Mint látható ellenőrzés is tartozik a feladathoz.

  • Nincsenek megfogalmazva az algoritmusok, hanem példákon keresztül tanulják meg.


A feladat m dszerei

A feladat módszerei

  • Az algoritmus itt az volt, hogy egy rossz megoldásból kiindulunk. Ez gyakori trükk az ókori számtanban. Kipróbálták 4-re, majd megnézték, hogy mennyivel kell megszorozni 4-et, hogy a jó eredményt kapják.

  • A műveleteknek standard szöveges alakjai vannak. Pl.: „számolj N-től, M-szer” a szorzás. „Számolj N-től, hogy M-et találj” az osztás.

  • A számolási technikákat is leírja a nehezebb részeknél, de nem mindenhol. Például a 4 negyedének a kiszámolását nem részletezi.


Mezopot miai sz mrendszer

Mezopotámiai számrendszer

Függőleges ékek egyesek

Vízszintes „csőrök” tízesek

60-as és 10-es számrendszer keveréke

Helyiértékes számrendszer:

Nulláknak üres hely, de a szám végén nincs.


Nulla s a t rtek

Nulla és a törtek

  • A szeleukida korban már van írásjel a nullának: az, ami a mondat végét is jelenti, vagyis a pont. De még mindig nincs a szám végén nulla. Az előző 743 lehetne akár 12*3600+23*60 is.

  • A törteket is ugyanúgy írták. Vagyis a 743 lehetne akár 12+23/60-ad is, vagy 12/60+23/3600. A törteknek azonban külön írásjelei is voltak, és a végeredményben gyakran ezt használták.


Matematika

  • A csillagászati táblázatokkal együtt átvették az indiaiak és a görögök is, innen a szögperc és szögmásodperc átváltás. Ennek hatására alakult ki a mi helyiértékes számrendszerünk is. Még Kopernikusz is használt teljesen szexagezimális számrendszert, az egészekre is. (Ptolemaiosz csak a törtekre).

  • Mezopotámiában is volt más írásmód, például „2 me 25” vagyis „2 száz 25” egy tábla keltezésénél.


Matematikai t bl zatok

Matematikai táblázatok

  • Matematikai szövegek két korszakból maradtak ránk: i.e.18. sz. az óbabiloni korból, és a szeleukida korból (Nagy Sándor után, i.e.3. századtól az i.e.1. századig).

  • Nagyjából kétszáz táblányi táblázat, legtöbbjük Nippurból.

  • Feladatszövegekből száz tábla.

  • Osztó-, szorzó- és reciproktáblázatok


1 feladat

1. Feladat


2 feladat

2. Feladat


Mezopot miai algoritmusok

Mezopotámiai algoritmusok

  • Táblázatok mellett számoltak is, pl.: 7/20 kiszámításához vették a 20 reciprokát (3/60) majd beszorozták 7-tel: 21/60

Gyök közelítő algoritmus

x’=1/2(x+a/x) képlettel írjuk le ma (x’ az új közelítés, x az előző, és a-ból vonunk gyököt.

Volt algoritmusuk pitagoraszi számhármasok előállítására is.


Matematika

  • Magasabb fokú egyenletek bizonyos fajtáira algoritmusok.

  • Hatvány számítások

  • Az algoritmusok absztraktak: akkor is elvégezték a szorzást, ha a szorzótényező 1 volt, mert az algoritmus így szól.


K nai sz mok

Kínai számok

  • Jelölt tizedes számrendszer, a mai napig.

  • -2. században a már korábban is használt számlálópálcikák hatására átalakultak a számjegyek. Tízes számrendszer.

  • Mértékrendszer egységesítéssel próbálkoznak, tízes alapú váltással, hogy könnyen lehessen számolni.

  • Tizedes törtek megjelennek a 3. században. Ezek is azt segítik, hogy az egészeknél bevált algoritmusokat használva kellő pontosság elérhető legyen. Európába is innen került át szamarkandi közvetítéssel.

  • Kézjelek tízig egy kézen.


Lo shu b v s n gyzet

Lo Shu - Bűvös négyzet

  • Teknős hátán jelent meg Yü-nek.

  • Yi-jingben szerepel

  • Lehet, hogy köze van a kút földrendszerhez?

  • 8 család műveli a földet

  • a középső parcella az áldozati adó gabona


Sz ml l t bla s sz ml l p lc k

Számlálótáblaés számlálópálcák

  • Számlálópálcákkal számjegyenként rakják ki a számot, és minden helyiérték el van forgatva az előzőhöz képest, hogy ne legyen félreérthető. Lényegében százas számrendszer az eredmény.

  • Számlálótábla négyzetrácsos, a számok leírása egyszerű, 0-nál üres négyzet van. Műveletek elvégzését segíti, hasonlóan ahhoz, amikor mi négyzethálós papíron összeadunk, kivonunk, szorzunk.


Matematika

π

  • Gyakorlatban 3-mal számoltak.

  • Egy időben, akár egy szövegben, eltérő értékek használata.

  • Liu Hui a 3. században 192 oldalú szabályos sokszöggel közelítette a π-t. 3.14

  • Az 5. században pedig 24576 oldalú szabályos sokszöggel 3.1415926-ot kaptak.


Suan jing

Suan Jing

  • -250 körül született a „Matematika kilenc fejezetben”, de később többször átdolgozták. Legfontosabb Liu Hui, a 3. századból, aki egy tizedik könyvet csatolt hozzá.

  • 246 feladatot tartalmaz, mind „szöveges feladat”, kérdésből, válaszból, és a számolás módjából áll. Bizonyítás természetesen nincs.

  • Hivatalnokok vizsgatankönyve, ezért a gyakorlatban használható feladatokat eljárásokat tanítja.


Matematika

  • Szöveges feladatok vannak természetesen.

  • „Egy mező szélessége 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8 bu. A mező területe 1 mu. Mekkora a hosszúság?”

  • Vannak egyértelműen csak a matematikáról szóló feladatok:

  • „3+1/3 ember között kell szétosztani 6+1/3+3/4 pénzérmét. Kérdés: Mennyit kapnak egyenként?”


Feladat megold s

Feladat megoldás

  • 5 pénzt kell elosztani 5 ember közt úgy, hogy a részek egy számtani sorozat szomszédos elemei legyenek, és az első két ember összesen ugyanannyit kapjon, mint a többi három összesen.

  • Oldjuk meg ezt a feladatot!


Matematika

  • Kínai módszer: rakjunk ki egyesekből a számlálótáblára egy ötös piramist.

  • Az első két sor összege 9, az utolsó háromé 6, ez nem jó, javítsuk ki.

  • Ha minden sorhoz 3-at adunk akkor 15 lesz az első kettő és az utolsó három összege.

  • Most az összeg viszont harminc, nekünk viszont öt kell, osszuk le mindegyiket hattal.


Suan jing1

Suan Jing

  • A 8. fejezetben fang-zheng szabály, amely determináns segítségével old meg lineáris egyenletrendszereket. A determináns felírás megegyezik a számlálótáblás felírással. Európában csak a 17. században jelenik meg Leibnitznél a determináns és a mátrix.

  • A 9. fejezetben Pitagoraszi számhármasokat előállító „algoritmus”

  • Másodfokú egyenletet hasonlóan oldották meg, mint ahogy mi most.


K nai matematikusok

Kínai matematikusok

  • A hivatalnokok tankönyveit ismerjük, de azokról, akik kifejlesztették az ott tanított algoritmusokat keveset. Matematikusokról csak későbbről maradtak fent anyagaink.

  • A csillagászatnál használt matematikával csak a asztrológiai hivatal foglalkozott.

  • A kínai matematikusok egyedül dolgoztak, hobbiból, eredményeik gyakran elfelejtődtek, kevés forrás maradt meg.


Matematika

  • Maradékszámítás nagyon fejlett. Főleg naptár számítás motiválhatta. Kínai maradék tétel név még a mi gimnáziumunkba is eljutott, de igazából sok sok tételt lehetne kínainak hívni.

  • Qin Jiushao (1247) általános megoldást ír le a kongruenciás egyenletekre, még arra az esetre is, amikor nem relatív prímek.


Matematika

  • Magasabb fokú egyenletek megoldási algoritmusa, amely megegyezik az 1819-es Horner formulával. Az előbb említett Qin Jiushao például tizedfokú polinom gyökét állítja elő.

  • Többismeretlenes egyenleteket is magasabb fokú polinomra alakítottak át.

  • Wang Xiaodong már a 7. század, harmad- és negyedfokú egyenleteket old meg. Nála jelent meg a számtani sorozat összegképlete az arányosság helyett.


Tov bbi eredm nyek

További eredmények

  • Zhu Shijie (1299) Pascal háromszög.

  • Yang Hui (1261, 1275) binomiális együttható.

  • Másodfokú egyenletek elméletét fejti ki. Magyarázatokat hiányolja a régi kínai matematikusoknál.

  • Páratlan számok összegképletét megadja, négyzetszámok, háromszögszámok összegképletét nála is megtaláljuk, de korábbi.


Indiai sz mok

Indiai számok

  • Első emlékek -3. századból, Asóka idejéből származnak (Indiában az írás későn terjedt el). Ekkor rögtön két számrendszerük van: egy mezopotámiai eredetű és egy bráhmi.

  • Bráhmi írás szemjegyeiből alakult ki az indiai, abból az arab, abból pedig a mi „arab” számjegyeink.


Matematika

  • Árjabhatta (az első név szerint ismert hindu matematikus, 5. sz.) betűkkel jelöli a számokat.

  • A mássalhangzók a számok, a magánhangzók a helyiértéket jelölik, de százasával. Mintha az „a” jelölné az egyeseket és tizeseket, az „i” a százasokat és ezreseket. Tehát (latin abc-re átírva) bada =13, fi = 400.

  • Kínaira hasonlít, és a százas csoportosítás, és az jobbról balra írás is kínai eredetre utal.


Matematika

  • Tanítványa Bhászkara (i.sz. 520) már elhagyta a helyiérték jelölőket, és betűk helyett a bráhmi számjegyeket használta. Két évtized múlva fordították meg a balról jobbra irányba a számokat.

  • A nullát jelentő szunja szó már létezett, de jelölését vagy a görögöktől (hatvanas számrendszert használó Szaszanidáktól) vagy a kínaiaktól vették át.

  • Így állt össze, a mi általunk is használt tízes alapú, helyiértékes, nullával rendelkező számírás.


Matematikai k nyvek

Matematikai könyvek

  • Indiai matematika két fő mozgatója az áldozati oltár kimérésének feladata, és a csillagászati számítások elvégzése volt.

  • Szulvaszútra, avagy a mérőzsinór szútrája (-5. század körül keletkezett). Derékszög kijelölésére használható kötélhosszak (vagyis pitagoraszi számhármasok), szerkesztési feladatok találhatóak benne.


Matematikai k nyvek1

Matematikai könyvek

  • Szúrja sziddhánta: a nap rendszere (i.sz. 3. század, de van aki i.e.2. századra datálja, van aki i.sz.8.-ra) sok görög, mezopotámiai, esetleg kínai hatás ismerhető fel benne. Ptolemaiosz almagesztjére sok részlete emlékeztet. Itt jelenik meg a szinusz ma ismert formájában (Ptolemaiosz még húrok hosszát, és nem a félhúrokat írta fel).

  • Hindu „jiva” húr szót arabok „jibá”-nak fordították, de sémi nyelv lévén nem jelölték a magánhangzókat, tehát „jb”-t írtak. A latinra elfordítótták, „jaib”-nak olvasták, ami öblöt jelent. Így lett szinusz, ami latinul ölt, öblöt jelent. Magyarítva pedig kebel lett (koszinuszból pedig pótkebel).


Rjabhatta

Árjabhatta

  • Legtöbb könyv vegyes tartalmú, nem csak matematika van bennük.

  • Matematikai tartalmuk is vegyes.

  • Árjabhatta (500 körül)

    • négyzet és köbvonás

    • Terület és térfogatszámítás

    • Számtani sorozatok, kamatszámítás

    • Másodfokú egyenlet megoldása

    • Gömbi trigonometria

  • Felváltva használ pontos és közelítő értékeket.


Brahmagupta 598 660

Brahmagupta (598-660)

  • Verses formában írt (mint a többiek is), 20 kötetet, amiből 12 matematika tárgyú.

  • Elsőként ismerteti részletesen előjeles műveletek szabályait (vagyonnak illetve adósságnak nevezve őket)

  • Nála 0:0=0, és voltak 0 nevezőjű törtek is.

  • A diophantoszi egyenletek általános megoldását kidolgozta.

  • A másodfokú diophantoszi egyenlet megoldását Ácsárja Bhászkara oldotta meg a 12. században.


Csarja bh szkara

Ácsarja Bhászkara

  • Leánya a legenda szerint férj nélkül maradt, és neki írta Lilávati című matematika könyvét.

  • Egy feladat innen: az oszlop tetején páva ül, az oszlop tövében egy kígyó lakik. A kígyó jön haza,mikor is a páva megpillantja háromszor olyan messzire, mint az oszlop magassága. A páva egyenes vonalban lecsapott a kígyóra, mielőtt az beért volna az odvába és elkapta. Ha a páva és a kígyó ugyanolyan gyorsak, milyen messze voltak az oszlop tövétől a találkozás pillanatában?


Bizony t s hi nya

Bizonyítás hiánya

  • A bizonyítás igénye görög jellegzetesség.

  • Máshol a tekintélyelv uralkodik: adott az eljárás, így kell csinálni Egyiptomban például Thottnak, a tudományok istenének tulajdonították az algoritmusokat.

  • Görögöknél lehet, hogy a demokrácia hatására jelent meg a logika, a retorika és a bizonyítás.

  • Demonstráció megmutatást jelentett a görögöknél.


Matematika

  • Görögöknél pont a bizonyíthatóság adja a matematika tekintélyét.

  • Kínában a leghíresebb matematika könyv a Suan Jing (kilenc fejezetes könyv). -250 körüli.

  • Ez a könyv a hivatalnokok vizsgakönyve, ezért gyakorlati élethez kapcsolódó példákat tartalmaz.

  • Liu Hui (+2. sz.) bizonyítja egyes algoritmusait a Suan Jingnek.


  • Login